高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2 指数幂的运算性质课后作业题

指数函数及其性质的应用

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　)

A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)

C．f(－2)>f(2) D．f(－4)>f(3)

AD　[由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝－|x|＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以AD正确．]

2．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)

A．6 B．1

C．3 D．

C　[函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是增函数，当x＝1时，ymax＝3.]

3．设a，b满足0<a<b<1，下列不等式中正确的是(　　)

A．aa<ab B．ba<bb

C．aa<ba D．bb<ab

C　[由于y＝ax与y＝bx为减函数，

故A、B错误；

因为>1，a>0，

所以a>1，

所以aa<ba；

因为>1，b>0，

所以b>1，

所以ab<bb；

故选C.]

4．函数y＝|2x－1|的大致图象是(　　)

A　　　　　　B

C　　　　　　D

C　[如图先作y＝2x的图象，再向下平移1个单位得y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的图象翻折上去得y＝|2x－1|的图象，如图实线部分．故选C.]

5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：

①这个指数函数的底数是2；

②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；

③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；

④浮萍每个月增加的面积都相等．

其中正确的是(　　)

A．①②③ B．①②③④

C．②③④ D．①②

D　[由a1＝2，得a＝2，所以y＝2t，故①正确；

当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；

当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后面积为23.5＜12，，故③错误；

＝2，故④错误．]

二、填空题

6．解方程：52x－6×5x＋5＝0的解集为________.

{0,1}　[令t＝5x，则原方程可化为t2－6t＋5＝0，

所以t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，

所以x＝1或x＝0.]

7．函数f(x)＝3－x2＋2ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________.

[1，＋∞)　[设u＝－x2＋2ax，则y＝3u是R上的增函数，而原函数在(－∞，1)内单调递增，所以u＝－x2＋2ax在(－∞，1)也是增函数，而u＝－x2＋2ax的单调增区间为(－∞，a)，

所以a≥1.]

8．若关于x的方程|x|＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．

[－1,0)　[法一：∵0<|x|≤1，

∴m<|x|＋m≤m＋1.

要使方程|x|＋m＝0有解，只要m<0≤m＋1，

解得－1≤m<0，故实数m的取值范围是[－1,0)．

法二：令y＝|x|＋m，作函数图象，如图，

依题意，函数y＝|x|＋m的图象与x轴有交点，

∴解得－1≤m<0，即m∈[－1,0)．]

三、解答题

9．已知指数函数f(x)的图象过点.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．

[解]　(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．

将点代入得＝a2.

解得a＝.

故f(x)＝x.

(2)由(1)知f(x)＝x，显然f(x)在R上是减函数，

又f(|x|)>f(1)，

所以|x|<1，解得－1<x<1.

即x的取值范围为(－1,1)．

10．已知f(x)＝.

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)讨论f(x)的单调性．

[解]　(1)f(x)的定义域为R，

又f(－x)＝＝

＝－＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数．

(2)f(x)＝＝1－，

又y＝(－1)x是减函数，且y>0，

所以y＝是增函数，

所以f(x)是减函数．

11．已知函数f(x)＝a2－x，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上(　　)

A．是增函数

B．是减函数

C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数

D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数

A　[因为当x>2时，2－x<0.f(x)>1，所以0<a<1，所以f(x)在R上是增函数，故选A.]

12．已知实数a，b满足等式a＝b，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中，不可能成立的有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

B　[画出函数y＝x与y＝x的图象，如图所示．

当x<0时，a＝b，则有a<b<0；

当x>0时，a＝b，则有a>b>0；

当x＝0时，a＝b，则有a＝b＝0.

所以题中的五个关系式中不可能成立的有两个．]

13．已知函数f(x)＝2x－1，对于满足0<x1<x2的任意x1，x2，给出下列结论：

(1)(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；

(2)x2f(x1)<x1f(x2)；

(3)f(x2)－f(x1)>x2－x1；

(4)>f()．

其中正确结论的序号是________．

(2)(4)　[由题知，函数f(x)单调递增，这与(1)所描述的单调性相反，故(1)错误；(2)中的式子可化为<，其表示点(x1，f(x1))与原点连线的斜率小于点(x2，f(x2))与原点连线的斜率，由函数f(x)图象的性质可知(2)正确；(3)表示过图象上两点的直线的斜率大于1，由函数f(x)的图象可知这个结论不一定正确；(4)描述了函数图象的下凹性，由函数图象可知正确．综上，可判断只有(2)(4)正确．]

14．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间是________.

(－∞，1]　[令u＝|x－1|，因为f(x)＝y＝u在R上单调递减，故要求f(x)的单调递增区间，只需求u＝|x－1|的单调递减区间，为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．]

15．定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

[解]　f(x)＝2x＋m，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0，

因为f(x)的定义域为[－1,1]，

所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1,1]内有解，

令t＝2x，则t∈，

故－2m＝t＋，

设g(t)＝t＋，则在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，

所以当t∈时，g(t)∈，

即－2m∈，

所以m∈.