还剩20页未读，
继续阅读
2019-2020学年安徽省芜湖市无为市八年级（下）期末数学试卷 解析版
展开
2019-2020学年安徽省芜湖市无为市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个正确的，每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的一律得0分．
1．（4分）若式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a≠1 C．a＞1 D．a≥﹣2且a≠1
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．﹣＝﹣0.6 C．＝±6 D．＝
3．（4分）五个正整数2、4、5、m、n的平均数是3，且m≠n，则这五个数的中位数是（ ）
A．5 B．4 C．3.5 D．3
4．（4分）下列各图能表示y是x的函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）某快递公司快递员六月第三周投放快递物品件数为：有3天是20件，有1天是30件，有3天是40件，这周里日平均投递物品件数为（ ）
A．28件 B．29件 C．30件 D．31件
6．（4分）如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对
7．（4分）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
8．（4分）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
9．（4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．以直角三角形纸片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图的方式放置在最大正方形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（ ）
A．直角三角形纸片的面积
B．最大正方形纸片的面积
C．最大正方形与直角三角形的纸片面积和
D．较小两个正方形纸片重叠部分的面积
10．（4分）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A⇒B⇒C⇒D⇒A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝70°，则∠B的度数为 ．
12．（5分）如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是 ．
13．（5分）已知x＝+1，则x2﹣2x﹣3＝ ．
14．（5分）在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AB＝2，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则线段BD的长为 ．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（+1）2﹣+2．
16．（8分）如图，E、F分别为平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE＝CF．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝3，CD＝4，DA＝12，∠ADB＝90°，求四边形ABCD的面积．
18．（8分）已知线段AB，直线l垂直平分AB且交AB于点O，以O为圆心，AO长为半径作弧，交直线l于C，D两点，分别连接AC，AD，BC，BD．
（1）根据题意，补全图形；
（2）求证：四边形ACBD为正方形．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．
20．（10分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
9
8
8
7
乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
六、（本题满分12分）
21．（12分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则a＝ ，b＝ ；
（2）已知x是的算术平方根，求4x2+4x﹣2020的值；
（3）当1≤x≤2时，化简＝ ．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某学校为了防控新型冠状病毒，购买了甲、乙两种消毒液进行校园环境消毒．已知学校第一次购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶，共花费3600元；第二次购买了甲种消毒液60瓶和乙种消毒液40瓶，共花费3400元．
（1）每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元？
（2）学校准备第三次购买这两种消毒液，其中甲种消毒液比乙种消毒液多10瓶，并且总花费不超过3500元，最多能购买多少瓶甲种消毒液？
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．
2019-2020学年安徽省芜湖市无为市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个正确的，每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的一律得0分．
1．（4分）若式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a≠1 C．a＞1 D．a≥﹣2且a≠1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【解答】解：式子有意义，
则a+2≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≥﹣2且a≠1．
故选：D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．﹣＝﹣0.6 C．＝±6 D．＝
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：A.＝3，本选项错误；
B．﹣＝﹣0.6，本选项正确；
C.＝6，本选项错误；
D.＝﹣，本选项错误；
故选：B．
3．（4分）五个正整数2、4、5、m、n的平均数是3，且m≠n，则这五个数的中位数是（ ）
A．5 B．4 C．3.5 D．3
【分析】根据五个正整数2、4、5、m、n的平均数是3，且m≠n，可以得到m、n的值，从而可以得到这组数据的中位数．
【解答】解：∵五个正整数2、4、5、m、n的平均数是3，且m≠n，
∴（2+4+5+m+n）÷5＝3，
∴m+n＝4，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
∴这组数据按照从小到大排列是1，2，3，4，5，
∴这五个数的中位数是3，
故选：D．
4．（4分）下列各图能表示y是x的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故A选项错误；
B、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故B选项错误；
C、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故C选项错误；
D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以y是x的函数，故D选项正确．
故选：D．
5．（4分）某快递公司快递员六月第三周投放快递物品件数为：有3天是20件，有1天是30件，有3天是40件，这周里日平均投递物品件数为（ ）
A．28件 B．29件 C．30件 D．31件
【分析】求出这7天的总件数，再求出平均数即可，也可以利用加权平均数的计算方法进行计算，即20件、30件、40件按3：1：3的比例进行计算．
【解答】解：（20×3+30+40×3）÷7＝30件，
故选：C．
6．（4分）如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对
【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO的长即可．
【解答】解：由题意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，
∴OB＝＝3米，
在Rt△COD中，OC＝2米，CD＝5米，
∴OD＝＝米，
∴BD＝OD﹣OB＝（﹣3）≈1.58（米）．
故选：A．
7．（4分）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
【分析】过点E作EG⊥AD于G，证四边形ABEG是矩形，得出EG＝AB，平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD的面积，即可得出结论．
【解答】解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示：
则∠AGE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴EG＝AB，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD的面积，
即▱AEDF的面积保持不变；
故选：D．
8．（4分）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
【分析】根据一次函数的图象和性质得出a＜0，b＞0，再逐个判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；
故选：D．
9．（4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．以直角三角形纸片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图的方式放置在最大正方形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（ ）
A．直角三角形纸片的面积
B．最大正方形纸片的面积
C．最大正方形与直角三角形的纸片面积和
D．较小两个正方形纸片重叠部分的面积
【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），
较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，
则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，
故选：D．
10．（4分）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A⇒B⇒C⇒D⇒A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．
【解答】解：由于点P是在正方形的边上移动，所以P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示为D．
故选：D．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝70°，则∠B的度数为 70° ．
【分析】根据四边形的内角和等于360°求出∠C，再根据平行四边形的邻角互补列式计算即可得解．
【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
在四边形AECF中，∠C＝360°﹣∠EAF﹣∠AEC﹣∠AFC＝360°﹣70°﹣90°﹣90°＝110°，
在▱ABCD中，∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
12．（5分）如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是 y＝3x﹣1 ．
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y＝3x+b，然后将点（0，﹣1）代入即可得出直线的函数解析式．
【解答】解：设平移后直线的解析式为y＝3x+b，
把（0，﹣1）代入直线解析式得﹣1＝b，
解得 b＝﹣1．
所以平移后直线的解析式为y＝3x﹣1．
故答案为：y＝3x﹣1．
13．（5分）已知x＝+1，则x2﹣2x﹣3＝ 1 ．
【分析】将x的值代入原式，再依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：当x＝+1时，
原式＝（+1）2﹣2（+1）﹣3
＝6+2﹣2﹣2﹣3
＝1，
故答案为：1．
14．（5分）在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AB＝2，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则线段BD的长为 3或4 ．
【分析】根据题意可以求得∠A的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可解答．
【解答】解：如图，∵∠B＝∠C＝30°，
∴AB＝AC，
∴∠BAC＝120°，
当∠ADB＝90°时，
∵AB＝AC，AD⊥BC，AB＝2，
∴BD＝，
当∠BAD＝90°时，
∵AB＝AC，AD⊥AB，AB＝2，
∴BD＝2×，
故答案为：3或4．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（+1）2﹣+2．
【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2+1+2﹣3+2×
＝2+1+2﹣3+
＝3．
16．（8分）如图，E、F分别为平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE＝CF．
【分析】根据平行四边形的性质证明∠2＝∠FCB，进而可得∠1＝∠FCB，然后证明四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠2＝∠FCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠FCB，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝3，CD＝4，DA＝12，∠ADB＝90°，求四边形ABCD的面积．
【分析】首先根据勾股定理计算出BD长，再根据勾股定理逆定理证明∠BCD＝90°，然后再利用直角三角形的面积公式计算可得四边形ABCD的面积．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2，
∴BD2＝132﹣122＝25，
又∵BC2+CD2＝32+42＝25，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴．
18．（8分）已知线段AB，直线l垂直平分AB且交AB于点O，以O为圆心，AO长为半径作弧，交直线l于C，D两点，分别连接AC，AD，BC，BD．
（1）根据题意，补全图形；
（2）求证：四边形ACBD为正方形．
【分析】（1）直接根据题意画出图形即可；
（2）直接利用基本作图方法结合正方形的判定方法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）证明：∵直线l垂直平分AB，
∴AC＝BC，BD＝AD，∠AOC＝∠AOD＝90°，
在△AOC和△AOD中
，
∴△AOC≌△AOD（SAS），
∴AC＝BC＝BD＝AD，
∴四边形ACBD是菱形，
又∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠CAD＝45°+45°＝90°，
∴菱形ACBD为正方形．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．
【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明CD⊥AB，根据垂线段最短可得答案；
（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，利用勾股定理列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）是，
理由：∵62+2.52＝6.52，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，
∴CD⊥AB，
∴CD是从村庄C到河边最近的路；
（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，
∵CD⊥AB，
∴62+（x﹣2.5）2＝x2，
解得：x＝8.45，
答：路线BC的长为8.45千米．
20．（10分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
9
8
8
7
乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．
【解答】解：（1）甲的平均成绩是：
（9+8+8+7）÷4＝8，
乙的平均成绩是：
（10+6+7+9）÷4＝8，
（2）甲的方差是：
[（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2]＝，
乙的方差是：
[（10﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝．
所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适．
六、（本题满分12分）
21．（12分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则a＝ 2 ，b＝ 1 ；
（2）已知x是的算术平方根，求4x2+4x﹣2020的值；
（3）当1≤x≤2时，化简＝ 2 ．
【分析】（1）利用完全平方公式得到7﹣4＝22﹣2×2×+（）2＝（2﹣）2，从而得到a、b的值；
（2）根据算术平方根的定义得到x＝，利用题中的方法化简得到x＝，再利用代数式变形得到4x2+4x＝2，然后利用整体代入的方法计算4x2+4x﹣2020的值；
（3）利用完全平方公式得到原式＝+，化简得到原式＝|+1|+|﹣1|，然后根据x的范围去绝对值后合并即可．故答案为2，1；2．
【解答】解：（1）7﹣4＝22﹣2×2×+（）2＝（2﹣）2，
∴a＝2，b＝1；
（2）根据题意得x＝＝＝＝，
∴2x+1＝，
∴（2x+1）2＝3，
∴4x2+4x＝2，
∴4x2+4x﹣2020＝2＝2﹣2020＝﹣2018；
（3）原式＝+
＝+
＝|+1|+|﹣1|，
∵1≤x≤2，
∴原式＝+1+1﹣
＝2．
故答案为2，1；2．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某学校为了防控新型冠状病毒，购买了甲、乙两种消毒液进行校园环境消毒．已知学校第一次购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶，共花费3600元；第二次购买了甲种消毒液60瓶和乙种消毒液40瓶，共花费3400元．
（1）每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元？
（2）学校准备第三次购买这两种消毒液，其中甲种消毒液比乙种消毒液多10瓶，并且总花费不超过3500元，最多能购买多少瓶甲种消毒液？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元；
（2）根据题意，可以得到费用与甲种消毒液数量的函数关系，然后根据总花费不超过3500元，即可得到甲种消毒液数量的取值范围，即可得到最多能购买多少瓶甲种消毒液．
【解答】解：（1）设每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是x元、y元，
，
解得，，
答：每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是30元、40元；
（2）设购买a瓶甲种消毒液，则购买了（10﹣a）瓶乙种消毒液，
∵总花费不超过3500元，
∴30a+40（a﹣10）≤3500，
解得，a≤55，
∵a为整数，
∴a的最大值为55，
答：最多能购买55瓶甲种消毒液．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．
【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DM＝BD＝．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3，
∴MH＝CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝＝．
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个正确的，每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的一律得0分．
1．（4分）若式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a≠1 C．a＞1 D．a≥﹣2且a≠1
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．﹣＝﹣0.6 C．＝±6 D．＝
3．（4分）五个正整数2、4、5、m、n的平均数是3，且m≠n，则这五个数的中位数是（ ）
A．5 B．4 C．3.5 D．3
4．（4分）下列各图能表示y是x的函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）某快递公司快递员六月第三周投放快递物品件数为：有3天是20件，有1天是30件，有3天是40件，这周里日平均投递物品件数为（ ）
A．28件 B．29件 C．30件 D．31件
6．（4分）如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对
7．（4分）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
8．（4分）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
9．（4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．以直角三角形纸片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图的方式放置在最大正方形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（ ）
A．直角三角形纸片的面积
B．最大正方形纸片的面积
C．最大正方形与直角三角形的纸片面积和
D．较小两个正方形纸片重叠部分的面积
10．（4分）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A⇒B⇒C⇒D⇒A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝70°，则∠B的度数为 ．
12．（5分）如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是 ．
13．（5分）已知x＝+1，则x2﹣2x﹣3＝ ．
14．（5分）在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AB＝2，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则线段BD的长为 ．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（+1）2﹣+2．
16．（8分）如图，E、F分别为平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE＝CF．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝3，CD＝4，DA＝12，∠ADB＝90°，求四边形ABCD的面积．
18．（8分）已知线段AB，直线l垂直平分AB且交AB于点O，以O为圆心，AO长为半径作弧，交直线l于C，D两点，分别连接AC，AD，BC，BD．
（1）根据题意，补全图形；
（2）求证：四边形ACBD为正方形．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．
20．（10分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
9
8
8
7
乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
六、（本题满分12分）
21．（12分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则a＝ ，b＝ ；
（2）已知x是的算术平方根，求4x2+4x﹣2020的值；
（3）当1≤x≤2时，化简＝ ．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某学校为了防控新型冠状病毒，购买了甲、乙两种消毒液进行校园环境消毒．已知学校第一次购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶，共花费3600元；第二次购买了甲种消毒液60瓶和乙种消毒液40瓶，共花费3400元．
（1）每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元？
（2）学校准备第三次购买这两种消毒液，其中甲种消毒液比乙种消毒液多10瓶，并且总花费不超过3500元，最多能购买多少瓶甲种消毒液？
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．
2019-2020学年安徽省芜湖市无为市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个正确的，每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的一律得0分．
1．（4分）若式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a≠1 C．a＞1 D．a≥﹣2且a≠1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【解答】解：式子有意义，
则a+2≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≥﹣2且a≠1．
故选：D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．﹣＝﹣0.6 C．＝±6 D．＝
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：A.＝3，本选项错误；
B．﹣＝﹣0.6，本选项正确；
C.＝6，本选项错误；
D.＝﹣，本选项错误；
故选：B．
3．（4分）五个正整数2、4、5、m、n的平均数是3，且m≠n，则这五个数的中位数是（ ）
A．5 B．4 C．3.5 D．3
【分析】根据五个正整数2、4、5、m、n的平均数是3，且m≠n，可以得到m、n的值，从而可以得到这组数据的中位数．
【解答】解：∵五个正整数2、4、5、m、n的平均数是3，且m≠n，
∴（2+4+5+m+n）÷5＝3，
∴m+n＝4，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
∴这组数据按照从小到大排列是1，2，3，4，5，
∴这五个数的中位数是3，
故选：D．
4．（4分）下列各图能表示y是x的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故A选项错误；
B、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故B选项错误；
C、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故C选项错误；
D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以y是x的函数，故D选项正确．
故选：D．
5．（4分）某快递公司快递员六月第三周投放快递物品件数为：有3天是20件，有1天是30件，有3天是40件，这周里日平均投递物品件数为（ ）
A．28件 B．29件 C．30件 D．31件
【分析】求出这7天的总件数，再求出平均数即可，也可以利用加权平均数的计算方法进行计算，即20件、30件、40件按3：1：3的比例进行计算．
【解答】解：（20×3+30+40×3）÷7＝30件，
故选：C．
6．（4分）如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对
【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO的长即可．
【解答】解：由题意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，
∴OB＝＝3米，
在Rt△COD中，OC＝2米，CD＝5米，
∴OD＝＝米，
∴BD＝OD﹣OB＝（﹣3）≈1.58（米）．
故选：A．
7．（4分）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
【分析】过点E作EG⊥AD于G，证四边形ABEG是矩形，得出EG＝AB，平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD的面积，即可得出结论．
【解答】解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示：
则∠AGE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴EG＝AB，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD的面积，
即▱AEDF的面积保持不变；
故选：D．
8．（4分）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
【分析】根据一次函数的图象和性质得出a＜0，b＞0，再逐个判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；
故选：D．
9．（4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．以直角三角形纸片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图的方式放置在最大正方形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（ ）
A．直角三角形纸片的面积
B．最大正方形纸片的面积
C．最大正方形与直角三角形的纸片面积和
D．较小两个正方形纸片重叠部分的面积
【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），
较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，
则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，
故选：D．
10．（4分）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A⇒B⇒C⇒D⇒A运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．
【解答】解：由于点P是在正方形的边上移动，所以P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示为D．
故选：D．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝70°，则∠B的度数为 70° ．
【分析】根据四边形的内角和等于360°求出∠C，再根据平行四边形的邻角互补列式计算即可得解．
【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
在四边形AECF中，∠C＝360°﹣∠EAF﹣∠AEC﹣∠AFC＝360°﹣70°﹣90°﹣90°＝110°，
在▱ABCD中，∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
12．（5分）如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是 y＝3x﹣1 ．
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y＝3x+b，然后将点（0，﹣1）代入即可得出直线的函数解析式．
【解答】解：设平移后直线的解析式为y＝3x+b，
把（0，﹣1）代入直线解析式得﹣1＝b，
解得 b＝﹣1．
所以平移后直线的解析式为y＝3x﹣1．
故答案为：y＝3x﹣1．
13．（5分）已知x＝+1，则x2﹣2x﹣3＝ 1 ．
【分析】将x的值代入原式，再依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：当x＝+1时，
原式＝（+1）2﹣2（+1）﹣3
＝6+2﹣2﹣2﹣3
＝1，
故答案为：1．
14．（5分）在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AB＝2，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则线段BD的长为 3或4 ．
【分析】根据题意可以求得∠A的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可解答．
【解答】解：如图，∵∠B＝∠C＝30°，
∴AB＝AC，
∴∠BAC＝120°，
当∠ADB＝90°时，
∵AB＝AC，AD⊥BC，AB＝2，
∴BD＝，
当∠BAD＝90°时，
∵AB＝AC，AD⊥AB，AB＝2，
∴BD＝2×，
故答案为：3或4．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（+1）2﹣+2．
【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2+1+2﹣3+2×
＝2+1+2﹣3+
＝3．
16．（8分）如图，E、F分别为平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE＝CF．
【分析】根据平行四边形的性质证明∠2＝∠FCB，进而可得∠1＝∠FCB，然后证明四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠2＝∠FCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠FCB，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝3，CD＝4，DA＝12，∠ADB＝90°，求四边形ABCD的面积．
【分析】首先根据勾股定理计算出BD长，再根据勾股定理逆定理证明∠BCD＝90°，然后再利用直角三角形的面积公式计算可得四边形ABCD的面积．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2，
∴BD2＝132﹣122＝25，
又∵BC2+CD2＝32+42＝25，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴．
18．（8分）已知线段AB，直线l垂直平分AB且交AB于点O，以O为圆心，AO长为半径作弧，交直线l于C，D两点，分别连接AC，AD，BC，BD．
（1）根据题意，补全图形；
（2）求证：四边形ACBD为正方形．
【分析】（1）直接根据题意画出图形即可；
（2）直接利用基本作图方法结合正方形的判定方法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）证明：∵直线l垂直平分AB，
∴AC＝BC，BD＝AD，∠AOC＝∠AOD＝90°，
在△AOC和△AOD中
，
∴△AOC≌△AOD（SAS），
∴AC＝BC＝BD＝AD，
∴四边形ACBD是菱形，
又∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠CAD＝45°+45°＝90°，
∴菱形ACBD为正方形．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．
【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明CD⊥AB，根据垂线段最短可得答案；
（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，利用勾股定理列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）是，
理由：∵62+2.52＝6.52，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，
∴CD⊥AB，
∴CD是从村庄C到河边最近的路；
（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，
∵CD⊥AB，
∴62+（x﹣2.5）2＝x2，
解得：x＝8.45，
答：路线BC的长为8.45千米．
20．（10分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
9
8
8
7
乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．
【解答】解：（1）甲的平均成绩是：
（9+8+8+7）÷4＝8，
乙的平均成绩是：
（10+6+7+9）÷4＝8，
（2）甲的方差是：
[（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2]＝，
乙的方差是：
[（10﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝．
所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适．
六、（本题满分12分）
21．（12分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则a＝ 2 ，b＝ 1 ；
（2）已知x是的算术平方根，求4x2+4x﹣2020的值；
（3）当1≤x≤2时，化简＝ 2 ．
【分析】（1）利用完全平方公式得到7﹣4＝22﹣2×2×+（）2＝（2﹣）2，从而得到a、b的值；
（2）根据算术平方根的定义得到x＝，利用题中的方法化简得到x＝，再利用代数式变形得到4x2+4x＝2，然后利用整体代入的方法计算4x2+4x﹣2020的值；
（3）利用完全平方公式得到原式＝+，化简得到原式＝|+1|+|﹣1|，然后根据x的范围去绝对值后合并即可．故答案为2，1；2．
【解答】解：（1）7﹣4＝22﹣2×2×+（）2＝（2﹣）2，
∴a＝2，b＝1；
（2）根据题意得x＝＝＝＝，
∴2x+1＝，
∴（2x+1）2＝3，
∴4x2+4x＝2，
∴4x2+4x﹣2020＝2＝2﹣2020＝﹣2018；
（3）原式＝+
＝+
＝|+1|+|﹣1|，
∵1≤x≤2，
∴原式＝+1+1﹣
＝2．
故答案为2，1；2．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某学校为了防控新型冠状病毒，购买了甲、乙两种消毒液进行校园环境消毒．已知学校第一次购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶，共花费3600元；第二次购买了甲种消毒液60瓶和乙种消毒液40瓶，共花费3400元．
（1）每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元？
（2）学校准备第三次购买这两种消毒液，其中甲种消毒液比乙种消毒液多10瓶，并且总花费不超过3500元，最多能购买多少瓶甲种消毒液？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元；
（2）根据题意，可以得到费用与甲种消毒液数量的函数关系，然后根据总花费不超过3500元，即可得到甲种消毒液数量的取值范围，即可得到最多能购买多少瓶甲种消毒液．
【解答】解：（1）设每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是x元、y元，
，
解得，，
答：每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是30元、40元；
（2）设购买a瓶甲种消毒液，则购买了（10﹣a）瓶乙种消毒液，
∵总花费不超过3500元，
∴30a+40（a﹣10）≤3500，
解得，a≤55，
∵a为整数，
∴a的最大值为55，
答：最多能购买55瓶甲种消毒液．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．
【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DM＝BD＝．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3，
∴MH＝CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝＝．
相关资料
更多
