2019-2020学年安徽省六安市叶集区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年安徽省六安市叶集区八年级（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下面说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式
B．与是同类二次根式
C．形如的式子是二次根式
D．若＝a，则a＞0
2．（4分）下列化简中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x+2）＝1D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
4．（4分）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11
5．（4分）在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（ ）
A．∠B+∠C＝90°B．∠A+∠C＝90°C．∠A+∠B＝90°D．∠B＝∠C
6．（4分）一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（4分）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．∠A+∠B＝180°B．∠B+∠C＝180°C．∠A＝∠BD．∠B＝∠D
8．（4分）已知一组数据，则无理数出现的频率是（ ）
A．20%B．40%C．60%D．80%
9．（4分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元，若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（x+1）（4﹣0.5x）＝15B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15D．（3+x）（4﹣0.5x）＝15
10．（4分）如图，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）表示一个整数，那么表示n的最小正整数是 ．
12．（5分）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是1，则m＝ ．
13．（5分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF＝ cm．
14．（5分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？
16．（8分）阅读下面问题：＝﹣1；＝﹣；＝﹣2．
（1）根据以上规律推测，化简：①；②（n为正整数）．
（2）根据你的推测，比较和的大小．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
18．（8分）已知如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求这个四边形的面积．
五、解答题（共2小题，满分20分）
19．（10分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．
20．（10分）如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
六、（本大题12分）
21．（10分）定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
①摆出等边“整数三角形”；
②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．
七、（本大题12分）
22．（10分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示；
（1）求y（千克）与销售价x的函数关系式；
（2）该经销商想要获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
八、（本大题14分）
23．（14分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
2019-2020学年安徽省六安市叶集区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，其40分）
1．（4分）下面说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式
B．与是同类二次根式
C．形如的式子是二次根式
D．若＝a，则a＞0
【分析】根据最简二次根式的定义以及同类二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：（B）＝2，故2与不是同类二次根式，故B错误；
（C）形如（a≥0）的式子是二次根式，故C错误；
（D）若＝a，则a≥0，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的相关概念，本题属于基础题型．
2．（4分）下列化简中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：A、＝，故原题计算错误；
B、＝，故原题计算错误；
C、＝，故原题计算错误；
D、＝，故原题计算正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握＝（a≥0，b＞0）．
3．（4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x+2）＝1D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、原方程为分式方程；故A选项错误；
B、当a＝0时，即ax2+bx+c＝0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故B选项错误；
C、由原方程，得x2+x﹣3＝0，符合一元二次方程的要求；故C选项正确；
D、方程3x2﹣2xy﹣5y2＝0中含有两个未知数；故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．（4分）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11
【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．
【解答】解：x2﹣8x+5＝0，
x2﹣8x＝﹣5，
x2﹣8x+16＝﹣5+16，
（x﹣4）2＝11．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
5．（4分）在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（ ）
A．∠B+∠C＝90°B．∠A+∠C＝90°C．∠A+∠B＝90°D．∠B＝∠C
【分析】根据勾股定理的逆定理得出∠A＝90°，根据三角形的内角和定理得出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝90°，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
6．（4分）一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据n边形的外角和为360°得到外角为钝角的个数最多为3个．
【解答】解：∵一个多边形的外角和为360°，
∴外角为钝角的个数最多为3个．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的外角和：n边形的外角和为360°．
7．（4分）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．∠A+∠B＝180°B．∠B+∠C＝180°C．∠A＝∠BD．∠B＝∠D
【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可得出结论．
【解答】解：A、当∠A+∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；
B、当∠B+∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；
C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形；
D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形；
故选：C．
【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用，矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．
8．（4分）已知一组数据，则无理数出现的频率是（ ）
A．20%B．40%C．60%D．80%
【分析】直接利用无理数的定义得出其个数，再利用频率＝得出答案．
【解答】解：∵一组数据，无理数为：π，2共2个，
∴无理数出现的频率是：×100%＝40%．
故选：B．
【点评】此题主要考查了频数与频率，正确得出无理数的个数是解题关键．
9．（4分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元，若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（x+1）（4﹣0.5x）＝15B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15D．（3+x）（4﹣0.5x）＝15
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝15即可．
【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4﹣0.5x）＝15，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．
10．（4分）如图，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】依据勾股定理以及面积法即可得到CE的长，再根据△CEF是等腰直角三角形，即可得到EF的长；利用勾股定理求得BE的长，即可得到BF的长，进而得出B'F的长．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴由勾股定理可得BA＝10，
∵将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，
∴∠AEC＝∠CED＝90°，∠ACE＝∠DCE，
∴CE⊥AB，
∵S△ABC＝AB×EC＝AC×BC，
∴EC＝＝4.8，
在Rt△BCE中，BE＝＝6.4，
∵将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
∴BF＝B'F，∠BCF＝∠B'CF，
∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，
又∵CE⊥AB，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴CE＝EF＝4.8，
∵BF＝BE﹣EF＝6.4﹣4.8＝1.6，
∴B'F＝1.6＝，
故选：B．
【点评】本题考查了折叠问题，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）表示一个整数，那么表示n的最小正整数是 3 ．
【分析】先将化简为最简二次根式，再取a的最小正整数值，使被开方数开得尽．
【解答】解：＝3
当n＝3，9…时，都可以开方，
∵3是最小正整数，
∴n＝3时，被开方数开得尽，结果为整数，故n＝3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握．
12．（5分）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是1，则m＝ 2 ．
【分析】根据关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是1，从而可以求得m的值，本题得以解决
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是1，
∴12﹣3×1+m＝0，
解得，m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确方程的解一定适合方程，代入即可解答问题．
13．（5分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF＝ 3 cm．
【分析】首先由▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求得OA＝AB，OB＝BD，又由AC+BD＝24cm，可求得OA+OB的长，继而求得AB的长，然后由三角形中位线的性质，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC，OB＝BD，
∵AC+BD＝24cm，
∴OA+OB＝12cm，
∵△OAB的周长是18cm，
∴AB＝6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF＝AB＝3cm．
故答案为：3．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意由平行四边形的性质求得AB的长是关键．
14．（5分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 5或4或5 ．
【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE＝AE＝5即可；
②当1PE＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出等边AP1即可；
③当P2A＝P2E时，底边AE＝5；即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
①当AP＝AE＝5时，
∵∠BAD＝90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE＝AE＝5；
②当P1E＝AE＝5时，
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，
∴P1B＝＝4，
∴底边AP1＝＝4；
③当P2A＝P2E时，底边AE＝5；
综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5或4或5；
故答案为：5或4或5．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？
【分析】根据相反数的性质得出关于x的方程，整理成一般式后利用因式分解法求解可得．
【解答】解：根据题意，得：3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，
整理，得：x2+6x﹣7＝0，
则（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x+7＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣7，x2＝1．
∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．（8分）阅读下面问题：＝﹣1；＝﹣；＝﹣2．
（1）根据以上规律推测，化简：①；②（n为正整数）．
（2）根据你的推测，比较和的大小．
【分析】（1）①根据题目中的例子，可以写出的值；
②根据题目中的例子，可以写出的值；
（2）根据题目中的例子，可以得到＝，＝，然后即可比较出和的大小．
【解答】解：（1）①
＝
＝﹣；
②＝；
（2）＝，＝，
∵＞，
∴＜，
∴＜．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
【分析】（1）要使方程有两个不相等的实数根，只需根的判别式大于0即可；
（2）由k为负整数可得到k的值，代入原方程，然后解这个方程即可．
【解答】解：（1）由题可得：（﹣3）2﹣4（1﹣k）＞0，
解得k＞﹣；
（2）若k为负整数，则k＝﹣1，
此时原方程为x2﹣3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
【点评】本题主要考查了根的判别式，解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），则有b2﹣4ac≥0⇔方程有两实根，b2﹣4ac＞0⇔方程有两不等实根，b2﹣4ac＝0⇔方程有两相等实根，b2﹣4ac＜0⇔方程没有实根．
18．（8分）已知如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求这个四边形的面积．
【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，
又AB＝4，BC＝3，
∴根据勾股定理得：AC＝＝5，
又AD＝13，CD＝12，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×12×5＝36．
【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
五、解答题（共2小题，满分20分）
19．（10分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
解得：x＝3.2
答：折断处离地面的高度是3.2尺．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
20．（10分）如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
【分析】（1）证出∠A＝90°即可；
（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，
又∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6﹣x
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2
∴x2+22＝（6﹣x）2，
解得：x＝
∴AQ的长是．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．
六、（本大题12分）
21．（10分）定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
①摆出等边“整数三角形”；
②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．
【分析】（1）利用勾股定理求出6，8，10和5，12，13符合要求，即可得出答案；
（2）首先设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为，进而求出不存在等边“整数三角形”．
【解答】解：（1）小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：
小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：
（2）①不能摆出等边“整数三角形”．
理由如下：
设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为．
因为，若边长a为整数，那么面积一定非整数．
所以不存在等边“整数三角形”；
②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知熟练利用勾股定理求出勾股数是解题关键．
七、（本大题12分）
22．（10分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示；
（1）求y（千克）与销售价x的函数关系式；
（2）该经销商想要获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
【分析】（1）设函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；
（2）先把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入得
，
解得．
故y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；
（2）（x﹣10）（﹣2x+60）＝150，
﹣2x2+80x﹣600＝150，
解得x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）．
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用及一次函数的应用的知识，解题的关键是能够从实际问题中抽象出一次函数模型，难度不大．
八、（本大题14分）
23．（14分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）欲证明PC＝PE，只要证明△ABP≌△CBP即可；
（2）利用“8字型”证明角相等即可解决问题；
（3）首先证明△ABP≌△CBP（SAS）推出PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，再证明△EPC是等边三角形，可得PC＝CE，即可解决问题；
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°；
（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，∴PC＝PE，
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠DEP，∴∠DCP＝∠DEP，
∵∠CFP＝∠EFD，∴∠CPF＝∠EDF
∵∠ABC＝∠ADC＝120°，
∴∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE；
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2021/5/27 16:54:50；用户：独角戏；邮箱：rFmNtx6h-_TK3QDacRg2UJR_YWI@；学号：38811713