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2019-2020学年安徽省蚌埠市八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年安徽省蚌埠市八年级（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
2．（3分）如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5cm，BC＝3cm，那么平行线a，b之间的距离为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．不能确定
3．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
4．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．7，8，9
C．，2，3D．32，42，52
5．（3分）某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．60（1﹣2x）＝40B．60（1﹣x）2＝40
C．40（1+2x）＝60D．40（1+x）2＝60
6．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）
A．3B．6C．12D．24
7．（3分）如图是小明和小华射击成绩的统计图，两人都射击了10次，下列说法错误的是（ ）
A．小明成绩的方差比小华成绩的方差小
B．小明和小华成绩的众数都是8环
C．小明和小华成绩的中位数都是8环
D．小明和小华的平均成绩相同
8．（3分）下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（ ）
A．无实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（ ）
A．10°B．12°C．15°D．18°
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．若P是矩形ABCD边上一动点，且使得∠APB＝60°，则这样的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）若最简二次根式与可以合并，则a＝ ．
12．（4分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝1，则另一个根为 ．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝AD，要使四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 ．（只写出一个即可）
14．（4分）实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简：＝ ．
15．（4分）如图，BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，AB＝AC＝a，BD＝3b，CD＝b，则a＝ ．（用含b的代数式表示）
16．（4分）如图，直线y＝x+2与y轴、x轴分别交于点A，B，D是AB的中点，P是射线BO上的动点，以DP为对称轴折叠△APD得到△A'PD．若以点A'，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形，则第三象限内的点A'的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分66分）
17．（8分）化简：﹣2×+（+1）2．
18．（10分）如图，在▱ABCD中，在CD，AB上分别取点E，F，若DE＝BF，求证：AE∥CF．
19．（10分）为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时，每天可售出500个，并且售价每上涨1元，其每天的销售量就减少100个．若物价部门规定该品牌粽子的售价不能超过进价的200%，则该超市将每个粽子的售价定为多少元时，才能使每天的利润为800元？
20．（12分）某校九年级在一次体育模拟测试中，随机抽查了部分学生的体育成绩，根据成绩分成如下六组：A.40≤x＜45，45≤x＜50，C.50≤x＜55，D.55≤x＜60，E.60≤x＜65，F.65≤x≤70．并根据数据制作出如下不完整的统计图．请根据统计图解决下列问题，
（1）补全频数分布直方图，并求出m的值；
（2）若测试成绩不低于60分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）在（2）的条件下，若该校九年级有1800名学生，且都参加了该次模拟测试，则成绩优秀的学生约有多少人？
21．（12分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
22．（14分）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．
（1）如图（1），△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE＝45°，求证：△ABC是等腰三角形．
（2）如图（2），在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，猜想AB2，BC2，AC2之间的数量关系，并加以证明．
（3）如图（3），四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别是OA，OD的中点，连接BM，CN并延长，交于点E．
①求证：△BCE是中垂三角形；
②若，请直接写出BE2+CE2的值．
2019-2020学年安徽省蚌埠市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得2﹣x≥0，
解得，x≤2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（3分）如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5cm，BC＝3cm，那么平行线a，b之间的距离为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．不能确定
【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，并由勾股定理可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥b，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm），
∴平行线a、b之间的距离是：AC＝4cm．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，以及勾股定理，关键是掌握平行线之间距离的定义，以及勾股定理的运用．
3．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2倍即720．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．
4．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．7，8，9
C．，2，3D．32，42，52
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、72+82≠92，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、22+（）2≠32，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、92+162≠252，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．（3分）某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．60（1﹣2x）＝40B．60（1﹣x）2＝40
C．40（1+2x）＝60D．40（1+x）2＝60
【分析】根据关系式：3月份猪肉价格×（1﹣月平均下降率）2＝5月份猪肉价格，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：
60（1﹣x）2＝40．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）
A．3B．6C．12D．24
【分析】根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的，再由平行四边形的面积得出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴＝，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的面积和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对角线互相平分．
7．（3分）如图是小明和小华射击成绩的统计图，两人都射击了10次，下列说法错误的是（ ）
A．小明成绩的方差比小华成绩的方差小
B．小明和小华成绩的众数都是8环
C．小明和小华成绩的中位数都是8环
D．小明和小华的平均成绩相同
【分析】根据方差，众数，中位数，平均数的定义一一判断即可．
【解答】解：A、根据折线统计图可知，小明成绩的波动较小，小华成绩的波动较大，故小明成绩的方差较小．本选项正确，不符合题意．
B、小明和小华的成绩中，8环出现的次数均最多，故众数都是8环．本选项正确，不符合题意．
C、将小明和小华的成绩分别按大小顺序排列，每组数据的中间两个数都是8，故中位数都是8环．本选项正确，不符合题意．
D、小明的平均成绩为7.6环，小华的平均成绩为7.1环．本选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了数据的集中趋势与离散程度，体现了数据分析的核心素养．
8．（3分）下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（ ）
A．无实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根
【分析】先计算判别式的值得到△＝b2，再利用b≠0可得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2，
而a，b是不为0的常数，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（ ）
A．10°B．12°C．15°D．18°
【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AC＝AE，根据三角形的外角性质求出∠DEC、∠BEC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接DE，
∵∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴DE＝AC＝AE，
∴∠EDA＝∠DAC＝45°，
∴∠DEC＝∠EDA+∠DAC＝90°，
同理，∠BEC＝60°，
∴∠DEB＝90°+60°＝150°，
∵DE＝AC，BE＝AC，
∴DE＝BE，
∴∠DBE＝×（180°﹣150°）＝15°，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．若P是矩形ABCD边上一动点，且使得∠APB＝60°，则这样的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】取CD中点P，连接AP，BP，由勾股定理可求AP＝BP＝4，即可证△APB是等边三角形，可得∠APB＝60°，过点A，点P，点B作圆与AD，BC各有一个交点，即这样的P点一共3个．
【解答】解：如图，取CD中点P，连接AP，BP，
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°
∵点P是CD中点
∴CP＝DP＝2
∴AP＝＝4，
BP＝＝4
∴AP＝PB＝AB
∴△APB是等边三角形
∴∠APB＝60°，
过点A，点P，点B作圆与AD，BC的相交，
∴这样的P点一共有3个
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）若最简二次根式与可以合并，则a＝ 6 ．
【分析】根据题意可知二次根式与是同类二次根式，可得到a﹣1＝5，从而可求得a的值．
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴a﹣1＝5，
解得：a＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，依据同类二次根式的定义得到关于a的方程是解题的关键．
12．（4分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝1，则另一个根为 x＝﹣1 ．
【分析】把x＝1代入方程求出c的值，进而求出另一根．
【解答】解：把x＝1代入方程得：c＝1，
方程为x2﹣1＝0，即x2＝1，
开方得：x＝1或x＝﹣1，
则另一根为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的性质是解本题的关键．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝AD，要使四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 ∠ABC＝90°或AC＝BD ．（只写出一个即可）
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可．
【解答】解：条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，
理由是：∵在▱ABCD中，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝90°或AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．
【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识点，能熟记正方形的判定是解此题的关键．
14．（4分）实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简：＝ ﹣2m ．
【分析】根据m、n在数轴上的位置判断出m+n＜0，m﹣n＞0，再根据二次根式的性质进行化简即可得出答案．
【解答】解：根据数轴可得：m+n＜0，m﹣n＞0，
则＝﹣（m+n）﹣（m﹣n）＝﹣m﹣n﹣m+n＝﹣2m；
故答案为：﹣2m．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．
15．（4分）如图，BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，AB＝AC＝a，BD＝3b，CD＝b，则a＝ b ．（用含b的代数式表示）
【分析】根据勾股定理求得BC2＝AB2+AC2＝BD2+CD2．
【解答】解：如图，BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，AB＝AC＝a，BD＝3b，CD＝b，
则由勾股定理知：BC2＝AB2+AC2＝BD2+CD2，即a2+a2＝（3b）2+b2．
所以a＝b．
故答案是：b．
【点评】本题主要考查了勾股定理和等腰直角三角形，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
16．（4分）如图，直线y＝x+2与y轴、x轴分别交于点A，B，D是AB的中点，P是射线BO上的动点，以DP为对称轴折叠△APD得到△A'PD．若以点A'，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形，则第三象限内的点A'的坐标为 （﹣1，﹣1）或（﹣3，﹣1） ．
【分析】如图，根据题意PA＝PA′＝AD＝BD＝AB，根据勾股定理求得OP的长，然后根据平行四边形的性质即可求得Rt△BDE≌Rt△PA′F（HL），对称PF＝BE＝2，DE＝A′F＝1，从而求得A′的坐标．
【解答】解：如图，∵以点A'，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴PA′＝BD＝AB，
∵PA＝PA′，
∴PA＝AB，
∵直线y＝x+2与y轴、x轴分别交于点A、B、D是AB的中点，
∴A（0，2），B（﹣4，0），
∴AB＝＝2，D（﹣2，1），
∴PA＝，
作DE⊥OB于E，A′F⊥OB于F，
∵D（﹣2，1），
∴BE＝2，
∵OP2+OA2＝PA2，即OP2+22＝（）2
∴OP＝1，
∵四边形A′BDP是平行四边形，
∴DE＝A′F，
∵BD＝A′P，
∴Rt△BDE≌Rt△PA′F（HL），
∴PF＝BE＝2，DE＝A′F＝1，
当P在x轴的正半轴时，如图2，OF＝1，当P在x轴的负半轴时，如图1，OF＝3，
∴A′（﹣1，﹣1）或（﹣3，﹣1），
故答案为（﹣1，﹣1）或（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，轴对称的性质，求得D的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，满分66分）
17．（8分）化简：﹣2×+（+1）2．
【分析】原式利用二次根式乘除法则，以及完全平方公式计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣2+2+2+1
＝2﹣2+2+2+1
＝5．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（10分）如图，在▱ABCD中，在CD，AB上分别取点E，F，若DE＝BF，求证：AE∥CF．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB＝CD，再求出CE＝AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形AFCE是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可得证．
【解答】证明：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∵DE＝BF，
∴CD﹣DE＝AB﹣BF，
即CE＝AF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，主要利用了平行四边形的一组对边平行且相等以及有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
19．（10分）为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时，每天可售出500个，并且售价每上涨1元，其每天的销售量就减少100个．若物价部门规定该品牌粽子的售价不能超过进价的200%，则该超市将每个粽子的售价定为多少元时，才能使每天的利润为800元？
【分析】设每个粽子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润＝（定价﹣进价）×销售量，列出方程求解即可．
【解答】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．
根据题意，得（x﹣3）[500﹣100×（x﹣4）]＝800，
解得x1＝7，x2＝5．
∵售价不能超过进价的200%，
∴x≤3×200%．即x≤6．
∴x＝5．
答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．（12分）某校九年级在一次体育模拟测试中，随机抽查了部分学生的体育成绩，根据成绩分成如下六组：A.40≤x＜45，45≤x＜50，C.50≤x＜55，D.55≤x＜60，E.60≤x＜65，F.65≤x≤70．并根据数据制作出如下不完整的统计图．请根据统计图解决下列问题，
（1）补全频数分布直方图，并求出m的值；
（2）若测试成绩不低于60分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）在（2）的条件下，若该校九年级有1800名学生，且都参加了该次模拟测试，则成绩优秀的学生约有多少人？
【分析】（1）根据B组的频数和所对的圆心角的度数，可以计算出本次调查的人数，再根据频数分布直方图中的数据，可以得到E组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整，根据直方图中的数据，可以计算出m的值；
（2）根据直方图中的数据，可以计算出本次测试的优秀率是多少；
（3）根据（2）中的结果，可以计算出成绩优秀的学生约有多少人．
【解答】解：（1）本次抽查的学生有：6÷＝50（人），
E组学生有：50﹣2﹣6﹣8﹣16﹣4＝14（人），
补全的频数分布直方图如右图所示，
m＝360×＝115.2，
即m的值是115.2；
（2）×100%＝36%，
即本次测试的优秀率是36%；
（3）1800×36%＝648（人），
答：成绩优秀的学生约有648人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（12分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分两种情形①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2；分别列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．
综上所述BN的长为或．
【点评】本题参考勾股定理的逆定理、解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
22．（14分）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．
（1）如图（1），△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE＝45°，求证：△ABC是等腰三角形．
（2）如图（2），在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，猜想AB2，BC2，AC2之间的数量关系，并加以证明．
（3）如图（3），四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别是OA，OD的中点，连接BM，CN并延长，交于点E．
①求证：△BCE是中垂三角形；
②若，请直接写出BE2+CE2的值．
【分析】（1）先判断出DE是△ABC的中位线，进而判断出△AOD≌△BOE（SAS），即可得出结论；
（2）先判断出AC＝2AD，BC＝2BE，再借助勾股定理，即可得出结论；
（3）①先判断出MN∥BC，，即可得出结论；
②同（2）的方法即可判断出
【解答】（1）证明：如图（1），∵BD⊥AE，∠BAE＝45°，
∴∠ABD＝45°．
连接DE，
由题意可得，AC＝2AD，BC＝2BE，DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠AED＝∠BAE＝∠ABD＝∠EDB＝45°，
∴OD＝OE，OA＝OB．
又∵∠AOD＝∠BOE＝90°，
∴△AOD≌△BOE（SAS），
∴AD＝BE，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）AC2+BC2＝5AB2．
证明：如图（2），连接DE，∵AE，BD分别是边BC，AC上的中线，
∴AC＝2AD，BC＝2BE，，
∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，，
在Rt△AOD中，AD2＝OD2+OA2，
在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，
∴AC2+BC2＝4（AD2+BE2）＝4（OA2+OD2+OB2+OE2）＝；
（3）①证明：如图（3），连接MN．
∵点M，N分别是OA，OD的中点，
∴MN是△AOD的中位线，
则MN∥AD，且．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CM⊥BN，AD＝BC，且AD∥BC，
∴MN∥BC，，
∴EM＝MB，EN＝NC，
∴CM，BN是△BCE的中线，
∴△BCE是中垂三角形．
②∵AB＝2，
同（2）的方法得，BE2+CE2＝5AB2＝5×（2）2＝40．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理、等腰三角形的判定、三角形的中位线以及菱形的性质，考查对几何问题进行分析和推理的能力，体现了逻辑推理的核心素养．
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日期：2021/5/27 16:58:19；用户：独角戏；邮箱：rFmNtx6h-_TK3QDacRg2UJR_YWI@；学号：38811713
1．（3分）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
2．（3分）如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5cm，BC＝3cm，那么平行线a，b之间的距离为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．不能确定
3．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
4．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．7，8，9
C．，2，3D．32，42，52
5．（3分）某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．60（1﹣2x）＝40B．60（1﹣x）2＝40
C．40（1+2x）＝60D．40（1+x）2＝60
6．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）
A．3B．6C．12D．24
7．（3分）如图是小明和小华射击成绩的统计图，两人都射击了10次，下列说法错误的是（ ）
A．小明成绩的方差比小华成绩的方差小
B．小明和小华成绩的众数都是8环
C．小明和小华成绩的中位数都是8环
D．小明和小华的平均成绩相同
8．（3分）下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（ ）
A．无实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（ ）
A．10°B．12°C．15°D．18°
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．若P是矩形ABCD边上一动点，且使得∠APB＝60°，则这样的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）若最简二次根式与可以合并，则a＝ ．
12．（4分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝1，则另一个根为 ．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝AD，要使四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 ．（只写出一个即可）
14．（4分）实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简：＝ ．
15．（4分）如图，BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，AB＝AC＝a，BD＝3b，CD＝b，则a＝ ．（用含b的代数式表示）
16．（4分）如图，直线y＝x+2与y轴、x轴分别交于点A，B，D是AB的中点，P是射线BO上的动点，以DP为对称轴折叠△APD得到△A'PD．若以点A'，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形，则第三象限内的点A'的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分66分）
17．（8分）化简：﹣2×+（+1）2．
18．（10分）如图，在▱ABCD中，在CD，AB上分别取点E，F，若DE＝BF，求证：AE∥CF．
19．（10分）为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时，每天可售出500个，并且售价每上涨1元，其每天的销售量就减少100个．若物价部门规定该品牌粽子的售价不能超过进价的200%，则该超市将每个粽子的售价定为多少元时，才能使每天的利润为800元？
20．（12分）某校九年级在一次体育模拟测试中，随机抽查了部分学生的体育成绩，根据成绩分成如下六组：A.40≤x＜45，45≤x＜50，C.50≤x＜55，D.55≤x＜60，E.60≤x＜65，F.65≤x≤70．并根据数据制作出如下不完整的统计图．请根据统计图解决下列问题，
（1）补全频数分布直方图，并求出m的值；
（2）若测试成绩不低于60分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）在（2）的条件下，若该校九年级有1800名学生，且都参加了该次模拟测试，则成绩优秀的学生约有多少人？
21．（12分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
22．（14分）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．
（1）如图（1），△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE＝45°，求证：△ABC是等腰三角形．
（2）如图（2），在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，猜想AB2，BC2，AC2之间的数量关系，并加以证明．
（3）如图（3），四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别是OA，OD的中点，连接BM，CN并延长，交于点E．
①求证：△BCE是中垂三角形；
②若，请直接写出BE2+CE2的值．
2019-2020学年安徽省蚌埠市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得2﹣x≥0，
解得，x≤2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（3分）如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5cm，BC＝3cm，那么平行线a，b之间的距离为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．不能确定
【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，并由勾股定理可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥b，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm），
∴平行线a、b之间的距离是：AC＝4cm．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，以及勾股定理，关键是掌握平行线之间距离的定义，以及勾股定理的运用．
3．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2倍即720．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．
4．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．7，8，9
C．，2，3D．32，42，52
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、72+82≠92，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、22+（）2≠32，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、92+162≠252，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．（3分）某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．60（1﹣2x）＝40B．60（1﹣x）2＝40
C．40（1+2x）＝60D．40（1+x）2＝60
【分析】根据关系式：3月份猪肉价格×（1﹣月平均下降率）2＝5月份猪肉价格，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：
60（1﹣x）2＝40．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）
A．3B．6C．12D．24
【分析】根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的，再由平行四边形的面积得出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴＝，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的面积和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对角线互相平分．
7．（3分）如图是小明和小华射击成绩的统计图，两人都射击了10次，下列说法错误的是（ ）
A．小明成绩的方差比小华成绩的方差小
B．小明和小华成绩的众数都是8环
C．小明和小华成绩的中位数都是8环
D．小明和小华的平均成绩相同
【分析】根据方差，众数，中位数，平均数的定义一一判断即可．
【解答】解：A、根据折线统计图可知，小明成绩的波动较小，小华成绩的波动较大，故小明成绩的方差较小．本选项正确，不符合题意．
B、小明和小华的成绩中，8环出现的次数均最多，故众数都是8环．本选项正确，不符合题意．
C、将小明和小华的成绩分别按大小顺序排列，每组数据的中间两个数都是8，故中位数都是8环．本选项正确，不符合题意．
D、小明的平均成绩为7.6环，小华的平均成绩为7.1环．本选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了数据的集中趋势与离散程度，体现了数据分析的核心素养．
8．（3分）下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（ ）
A．无实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根
【分析】先计算判别式的值得到△＝b2，再利用b≠0可得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2，
而a，b是不为0的常数，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（ ）
A．10°B．12°C．15°D．18°
【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AC＝AE，根据三角形的外角性质求出∠DEC、∠BEC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接DE，
∵∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴DE＝AC＝AE，
∴∠EDA＝∠DAC＝45°，
∴∠DEC＝∠EDA+∠DAC＝90°，
同理，∠BEC＝60°，
∴∠DEB＝90°+60°＝150°，
∵DE＝AC，BE＝AC，
∴DE＝BE，
∴∠DBE＝×（180°﹣150°）＝15°，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．若P是矩形ABCD边上一动点，且使得∠APB＝60°，则这样的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】取CD中点P，连接AP，BP，由勾股定理可求AP＝BP＝4，即可证△APB是等边三角形，可得∠APB＝60°，过点A，点P，点B作圆与AD，BC各有一个交点，即这样的P点一共3个．
【解答】解：如图，取CD中点P，连接AP，BP，
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°
∵点P是CD中点
∴CP＝DP＝2
∴AP＝＝4，
BP＝＝4
∴AP＝PB＝AB
∴△APB是等边三角形
∴∠APB＝60°，
过点A，点P，点B作圆与AD，BC的相交，
∴这样的P点一共有3个
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）若最简二次根式与可以合并，则a＝ 6 ．
【分析】根据题意可知二次根式与是同类二次根式，可得到a﹣1＝5，从而可求得a的值．
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴a﹣1＝5，
解得：a＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，依据同类二次根式的定义得到关于a的方程是解题的关键．
12．（4分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝1，则另一个根为 x＝﹣1 ．
【分析】把x＝1代入方程求出c的值，进而求出另一根．
【解答】解：把x＝1代入方程得：c＝1，
方程为x2﹣1＝0，即x2＝1，
开方得：x＝1或x＝﹣1，
则另一根为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的性质是解本题的关键．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝AD，要使四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 ∠ABC＝90°或AC＝BD ．（只写出一个即可）
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可．
【解答】解：条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，
理由是：∵在▱ABCD中，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝90°或AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．
【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识点，能熟记正方形的判定是解此题的关键．
14．（4分）实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简：＝ ﹣2m ．
【分析】根据m、n在数轴上的位置判断出m+n＜0，m﹣n＞0，再根据二次根式的性质进行化简即可得出答案．
【解答】解：根据数轴可得：m+n＜0，m﹣n＞0，
则＝﹣（m+n）﹣（m﹣n）＝﹣m﹣n﹣m+n＝﹣2m；
故答案为：﹣2m．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．
15．（4分）如图，BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，AB＝AC＝a，BD＝3b，CD＝b，则a＝ b ．（用含b的代数式表示）
【分析】根据勾股定理求得BC2＝AB2+AC2＝BD2+CD2．
【解答】解：如图，BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，AB＝AC＝a，BD＝3b，CD＝b，
则由勾股定理知：BC2＝AB2+AC2＝BD2+CD2，即a2+a2＝（3b）2+b2．
所以a＝b．
故答案是：b．
【点评】本题主要考查了勾股定理和等腰直角三角形，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
16．（4分）如图，直线y＝x+2与y轴、x轴分别交于点A，B，D是AB的中点，P是射线BO上的动点，以DP为对称轴折叠△APD得到△A'PD．若以点A'，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形，则第三象限内的点A'的坐标为 （﹣1，﹣1）或（﹣3，﹣1） ．
【分析】如图，根据题意PA＝PA′＝AD＝BD＝AB，根据勾股定理求得OP的长，然后根据平行四边形的性质即可求得Rt△BDE≌Rt△PA′F（HL），对称PF＝BE＝2，DE＝A′F＝1，从而求得A′的坐标．
【解答】解：如图，∵以点A'，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴PA′＝BD＝AB，
∵PA＝PA′，
∴PA＝AB，
∵直线y＝x+2与y轴、x轴分别交于点A、B、D是AB的中点，
∴A（0，2），B（﹣4，0），
∴AB＝＝2，D（﹣2，1），
∴PA＝，
作DE⊥OB于E，A′F⊥OB于F，
∵D（﹣2，1），
∴BE＝2，
∵OP2+OA2＝PA2，即OP2+22＝（）2
∴OP＝1，
∵四边形A′BDP是平行四边形，
∴DE＝A′F，
∵BD＝A′P，
∴Rt△BDE≌Rt△PA′F（HL），
∴PF＝BE＝2，DE＝A′F＝1，
当P在x轴的正半轴时，如图2，OF＝1，当P在x轴的负半轴时，如图1，OF＝3，
∴A′（﹣1，﹣1）或（﹣3，﹣1），
故答案为（﹣1，﹣1）或（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，轴对称的性质，求得D的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，满分66分）
17．（8分）化简：﹣2×+（+1）2．
【分析】原式利用二次根式乘除法则，以及完全平方公式计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣2+2+2+1
＝2﹣2+2+2+1
＝5．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（10分）如图，在▱ABCD中，在CD，AB上分别取点E，F，若DE＝BF，求证：AE∥CF．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB＝CD，再求出CE＝AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形AFCE是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可得证．
【解答】证明：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∵DE＝BF，
∴CD﹣DE＝AB﹣BF，
即CE＝AF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，主要利用了平行四边形的一组对边平行且相等以及有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
19．（10分）为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时，每天可售出500个，并且售价每上涨1元，其每天的销售量就减少100个．若物价部门规定该品牌粽子的售价不能超过进价的200%，则该超市将每个粽子的售价定为多少元时，才能使每天的利润为800元？
【分析】设每个粽子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润＝（定价﹣进价）×销售量，列出方程求解即可．
【解答】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．
根据题意，得（x﹣3）[500﹣100×（x﹣4）]＝800，
解得x1＝7，x2＝5．
∵售价不能超过进价的200%，
∴x≤3×200%．即x≤6．
∴x＝5．
答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．（12分）某校九年级在一次体育模拟测试中，随机抽查了部分学生的体育成绩，根据成绩分成如下六组：A.40≤x＜45，45≤x＜50，C.50≤x＜55，D.55≤x＜60，E.60≤x＜65，F.65≤x≤70．并根据数据制作出如下不完整的统计图．请根据统计图解决下列问题，
（1）补全频数分布直方图，并求出m的值；
（2）若测试成绩不低于60分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）在（2）的条件下，若该校九年级有1800名学生，且都参加了该次模拟测试，则成绩优秀的学生约有多少人？
【分析】（1）根据B组的频数和所对的圆心角的度数，可以计算出本次调查的人数，再根据频数分布直方图中的数据，可以得到E组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整，根据直方图中的数据，可以计算出m的值；
（2）根据直方图中的数据，可以计算出本次测试的优秀率是多少；
（3）根据（2）中的结果，可以计算出成绩优秀的学生约有多少人．
【解答】解：（1）本次抽查的学生有：6÷＝50（人），
E组学生有：50﹣2﹣6﹣8﹣16﹣4＝14（人），
补全的频数分布直方图如右图所示，
m＝360×＝115.2，
即m的值是115.2；
（2）×100%＝36%，
即本次测试的优秀率是36%；
（3）1800×36%＝648（人），
答：成绩优秀的学生约有648人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（12分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分两种情形①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2；分别列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．
综上所述BN的长为或．
【点评】本题参考勾股定理的逆定理、解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
22．（14分）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．
（1）如图（1），△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE＝45°，求证：△ABC是等腰三角形．
（2）如图（2），在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，猜想AB2，BC2，AC2之间的数量关系，并加以证明．
（3）如图（3），四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别是OA，OD的中点，连接BM，CN并延长，交于点E．
①求证：△BCE是中垂三角形；
②若，请直接写出BE2+CE2的值．
【分析】（1）先判断出DE是△ABC的中位线，进而判断出△AOD≌△BOE（SAS），即可得出结论；
（2）先判断出AC＝2AD，BC＝2BE，再借助勾股定理，即可得出结论；
（3）①先判断出MN∥BC，，即可得出结论；
②同（2）的方法即可判断出
【解答】（1）证明：如图（1），∵BD⊥AE，∠BAE＝45°，
∴∠ABD＝45°．
连接DE，
由题意可得，AC＝2AD，BC＝2BE，DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠AED＝∠BAE＝∠ABD＝∠EDB＝45°，
∴OD＝OE，OA＝OB．
又∵∠AOD＝∠BOE＝90°，
∴△AOD≌△BOE（SAS），
∴AD＝BE，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）AC2+BC2＝5AB2．
证明：如图（2），连接DE，∵AE，BD分别是边BC，AC上的中线，
∴AC＝2AD，BC＝2BE，，
∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，，
在Rt△AOD中，AD2＝OD2+OA2，
在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，
∴AC2+BC2＝4（AD2+BE2）＝4（OA2+OD2+OB2+OE2）＝；
（3）①证明：如图（3），连接MN．
∵点M，N分别是OA，OD的中点，
∴MN是△AOD的中位线，
则MN∥AD，且．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CM⊥BN，AD＝BC，且AD∥BC，
∴MN∥BC，，
∴EM＝MB，EN＝NC，
∴CM，BN是△BCE的中线，
∴△BCE是中垂三角形．
②∵AB＝2，
同（2）的方法得，BE2+CE2＝5AB2＝5×（2）2＝40．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理、等腰三角形的判定、三角形的中位线以及菱形的性质，考查对几何问题进行分析和推理的能力，体现了逻辑推理的核心素养．
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日期：2021/5/27 16:58:19；用户：独角戏；邮箱：rFmNtx6h-_TK3QDacRg2UJR_YWI@；学号：38811713
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