2020届二轮复习交点零点有没有，极最符号异与否学案（全国通用）

【题型综述】

导数研究函数图象交点及零点问题 

利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：

①构造函数；

②求导；

③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；

④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；

⑤解不等式得解.

探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.

【典例指引】

例1．已知函数，．

（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；

（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．

【思路引导】

（1）根据导数的几何意义得到，即；（2）构造函数，研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到在（0，1）（）恒负， ，故只有一个公共点．

当时，，在（）单调递减；

当时，，在（0，1）单调递增．*

又，所以在（0，1）（）恒负

因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为（1，-1）．

例2．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数)

（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）

【思路引导】

（Ⅰ）函数与无公共点转化为方程在无解，令，得出是唯一的极大值点，进而得到，即可求解实数取值范围；

（Ⅱ）由不等式对恒成立，即对恒成立， 令，则，再令，转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得出结论.

        当且仅当故实数的取值范围为

       ∴存在，使得，即，则，………9分

          ∴当时， 单调递减；

         当时， 单调递增，

       则取到最小值 ，

       ∴，即在区间内单调递增

       ，

       ∴存在实数满足题意，且最大整数的值为.*

例3．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数的零点个数．

【思路引导】

（1）根据是二次函数，且关于的不等式的解集为，设出函数解析式，利用函数的最小值为，可求函数的解析式；（2）求导数，确定函数的单调性，可得当时， ，，结合单调性由此可得结论．

(2)∵，

∴，令，得， ．

当变化时，，的取值变化情况如下：

当时， ，

，又因为在上单调递增，因而在上只有1个零点，故在上仅有1个零点．*

点睛：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的端点值即为对应二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，利用导数判断函数的单调性，根据零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数．

例4．已知函数，．

（Ⅰ）求证：当时，；

（Ⅱ）若函数在（1，+∞）上有唯一零点，求实数的取值范围．

【思路引导】

（Ⅰ）求导，得，分析单调性得当时，即得证；（Ⅱ） 对t进行讨论①，在[1，+∞)上是增函数，所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，②若， 在[1，+∞)上是减函数，所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，③若0<t<1时分析单调性借助于第一问，找到，则当时，即成立；取，则当时， ，即，说明存在，使得，即存在唯一零点．

（Ⅱ）   

①若，则当时， ，所以在[1，+∞)上是增函数，

所以当时，，所以在(1，+∞)上没有零点，所以不满足条件．

②若，则当时，，所以在[1，+∞)上是减函数，*

所以当时，，所以在(1，+∞)上没有零点，所以不满足条件．

点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，最值；考查了分类讨论的思想；处理0<t<1时，注意前后问间的联系，找到，使得，根据单调性说明唯一存在，这是本题的难点所在；