2020届二轮复习隐零点问题学案（全国通用）

                              专题08  隐零点问题

有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题.

类型一  根据隐零点化简求范围

典例1. 已知函数的图像在点(其中为自然对数的底数)处的切线斜率为3.

（1）求实数的值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

【答案】

【解析】解析：（1），由解得；

（2），，， 

令，有，那么. 

不妨设，由，，则可知，且. 

因此，当时，，；当时，，；

即可知，                  

所以，得到满足条件的的最大正整数为3.

类型二  根据隐零点分区间讨论

典例2 已知函数，为何值时，方程有唯一解.

【答案】

【解析】

 ，                    

当时，有；                                

设，；又，，不妨设，

则可知.                    

当时，得到； ，

令，易知，且时，；时，；

  综上可知在区间上为减函数，在区间上为增函数；画图函数图像：

   因此，可知所求的范围为.      

类型三  根据隐零点构造新函数

典例3  已知函数，当时，，求实数a的取值范围．

【答案】

【解析】，首先，当时，在上恒成立，则有．

其次，当时，令，，由题1可知，当，即时，．此时,同样有．再者，当时，函数与相交于点和．同时，当时，；当时，. 即可知，将代入得到：

，令，则．

又由变式2可知，那么，即在区间上递减，因此有，与矛盾，故不合题意．

综上可知，满足题意的实数a的取值范围为．

1．已知函数，.（且为常数，为自然对数的底）

（1）讨论函数的极值点个数；

（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，无极值点；当时，有且仅有1个极值点；（2）

【解析】

（1）的定义域为，

，

因为函数在上恒成立，

所以函数在区间上单调递增，且值域为，

①当时，在区间上恒成立，

即，

故在上单调递增，

所以无极值点；

②当时，

方程有唯一解，设为，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以是函数的极小值点，

即函数只有1个极值点.

（2）当时，不等式对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

记，

，

记，

因为在恒成立，

所以在上单调递增，

且，，

所以存在使得，

且时，，，函数单调递减；

当时，，，函数单调递增；.

所以，即，

又因为

，

，

，

所以，

因此 ，

所以，解得.

综上，实数的取值范围是.

2．已知 .

（1）若是上的增函数，求的取值范围；

（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.

【答案】(1) (2) 三个零点

【解析】

（1）由得，

由题意知恒成立，即，设，，

时，递减，时，，递增；

故，即，故的取值范围是.

（2）当时，单调，无极值；

当时，，

一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点.

另一方面，，设 ，则，从而

在递增，则，即，又在递增，所以

在区间有一个零点.

因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，

，当时，即；当时，即

；当时，即：从而在递增，在

递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.

下面证明：，

由得，即，由

得 ，

令，则，

①当时，递减，则，而，故；

②当时，递减，则，而，故；

一方面，因为，又，且在递增，所以在

上有一个零点，即在上有一个零点.

另一方面，根据得，则有：

，

又，且在递增，故在上有一个零点，故在

上有一个零点.

又，故有三个零点.

3．已知函数，.

（Ⅰ）令

①当时，求函数在点处的切线方程；

②若时，恒成立，求的所有取值集合与的关系；

（Ⅱ）记，是否存在，使得对任意的实数，函数在上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）①；②见解析；（2）2

【解析】

（1）①由题意，可得，

则，所以，

所以在处的切线方程为

②由，即

则，，

因为在上单调递减，所以，

存在，使得，

函数在上单调递增，在上单调递减，，

由得，，

∴，所以的所有取值集合包含于集合.

（Ⅱ）令  ，

（1），，

由于，，，，，

由零点存在性定理可知，，函数在定义域内有且仅有一个零点.

（2），，，，，

同理可知，函数在定义域内有且仅有一个零点.

（3）假设存在，使得，

则，消，得.

令，，所以单调递增.

∵，，∴，

此时，

所以满足条件的最小正整数.

4．已知函数（为自然对数的底数）．

（1）记，求函数在区间上的最大值与最小值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）∵，

∴，

令，则，

所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增，

∴，

．

（2）∵对任意恒成立，

∴对任意恒成立，

∴对任意恒成立．

令，则．

由于，所以在上单调递增．

又，，

所以存在唯一的，使得，且当时，，时，．

即在单调递减，在上单调递增．

∴．

又，即，∴．

∴．

∵，∴．

又∵对任意恒成立，∴，

又，∴．

5．己知函数 .

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，，求的取值范围，并证明.

【答案】(1)见解析；(2)见证明

【解析】

（1）解：因为，函数的定义域为，

所以．

当时，，

所以函数在上单调递增．

当时，由，得（负根舍去），

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减；在上单调递增．

综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增

（2）先求的取值范围：

方法1:由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

要使函数有两个零点，首先，解得．

因为，且，

下面证明．

设，则．

因为，所以．

所以在上单调递增，

所以 ．

所以的取值范围是．

方法2:由，得到．

设，则．

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以由 ．

因为时，，且，

要使函数有两个零点，必有．

所以的取值范围是．

再证明：

方法1:因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则．

所以即．

所以，即，，．

要证，即证．

即证，即证．

因为，所以即证，

或证 ．

设，．

即，．

所以．

所以在上单调递减，

所以．

所以．

方法2:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．

所以即．

所以，即，，．

要证，需证．

即证，即证．

因为，所以即证 ．

设，

则，．

所以在上单调递减，

所以 ．

所以．

方法3:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．

所以即．

要证，需证．

只需证．

即证，即证．

即证．

因为，所以，即．

所以．

而，

所以成立．

所以．

方法4:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．

由已知得即．

先证明，即证明 ．

设，则．

所以在上单调递增，所以，所证不等式成立．

所以有 ．

即．

因为（），

所以，即．

所以．

方法5:要证，其中 ， ，

即证．

利用函数的单调性，只需证明．

因为，所以只要证明，其中 ．

构造函数，，

则．

因为

（利用均值不等式）

，

所以在上单调递减．

所以．

所以在上恒成立．

所以要证的不等式成立．

6．已知函数．（无理数）

（1）若在单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，设函数，证明：当时，．（参考数据）

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）

在单调递增，

在（1，＋∞）恒成立，

设h（x）＝（x＋x2）ex－1－，

由题意h（x）≥0在（1，＋∞）恒成立，h'（x）＝ex－1（x2＋3x＋1），

当x∈（1，＋∞）时，x2＋3x＋1＞0，

故h'（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）单调递增，

所以h（x）＞h（1）＝2－，故2－≥0， ≤2，

综上∈（－∞，2]．

（2）当＝0时，f（x）＝xex－1，

g（x）＝ex－x2－x，

g'（x）＝ex－2x－1，

设m（x）＝ex－2x－1，

则m'（x）＝ex－2，令m'（x）＝0，解得x＝ln2，

当x∈（0，ln2）时，m'（x）＜0，m（x）单调递减，

当x∈（ln2，＋∞）时，m'（x）＞0，m（x）单调递增．

因此m（x）≥m（ln2）＝eln2－2ln2－1＝1－2ln2＜0，

即g'（ln2）＝1－2ln2＜0，，

又g'（0）＝0，，

故存在x0∈（ln2，），使g'（x0）＝0，

即，．

当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，

x∈（x0，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，

，

由于x0∈（ln2，），

函数单调递减，

故

所以，当x＞0时，．

7．已知函数

（1）若，求函数的极值和单调区间；

（2）若，在区间上是否存在，使，若存在求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为 极小值为3，无极大值(2)见解析

【解析】

（1）当时，

，且

时，时，

有极小值

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为

极小值为3，无极大值.

（2）

时，，时

为函数的唯一极小值点

又，当时

在区间上若存在，使，则 ，

解得

当时，在为单调减函数，

，不存在，使

综上所述，在区间上存在，使，此时

8．已知函数 

(1)若=1时，求函数的最小值；

(2)若函数 有两个零点，求实数a的取值范围.

【答案】（1）0 （2）

【解析】

解：（1）,,则，当时，，函数单调递减，当时，为增，在处取最小值0.

（2）由，得，

∴当 时，函数在上单调递减，

∴当时，在 上最多有一个零点.

∵有两个零点，∴ .

令 ，，显然有一正根和一负根，

∴在上只有一个零点，

设这个零点为 ，当 时，；

当时，；

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值 ，

即,

，

可得在上是增函数，且 ，

∴，

得

∴,即.

9．设函数，其中为自然对数的底数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若，，求证：无零点.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）若，则，

.

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由可知，，

当时，，显然没有零点；

当时，设，，在单调递增，

又h（0）＝﹣a＜0，h（2）＝2e﹣a＞0，

∴h（x）在（0，2）上存在唯一一个零点，不妨设为x0，则x0a，

∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，

即g′（x）＞0，

∴g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

∴g（x）的最小值为g（x0）alnx0，

∵x0a，∴﹣1，两边取对数可得x0﹣1＝lna﹣lnx0，即lnx0＝lna+1﹣x0，

∴g（x0）a（lna+1﹣x0）ax0﹣alna﹣a≥2a﹣alna﹣a＝a﹣alna，（当且仅当x0＝1时取等号），

令m（a）＝a﹣alna，则m′（a）＝﹣lna，

∴当a∈（0，1）时，m′（a）＞0，当a∈（1，e]时，m′（a）＜0，

∴m（a）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减．

∴当0＜a≤e时，m（a）≥0，当且仅当a＝e时取等号，

由x0a可知当a＝1时，x0＝1，故当a＝e时，x0≠1，故g（x0）＞m（a）≥0，

∴g（x0）＞0．

∴当0≤a≤e时，g（x）没有零点．

10．已知函数（其中是自然对数的底数，，）在点处的切线方程是.

（I）求函数的单调区间；

（II）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（I）递减区间为，单调递增区间为；（II）

【解析】

（I）由条件可知，对函数求导得，

于是，解得.

所以，，令得，

于是当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为

（II）由（I）知，

解法1：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.

令，则只需即可.

.令，

则，所以在上单调递增，

又，，所以有唯一的零点，且，

在上单调递减，在上单调递增，

因，两边同时取自然对数，则有，

即，

构造函数，则，

所以函数在上单调递增，

因，所以，即，

所以 ，即，

于是实数的取值范围是.

解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.

先证明，令，则.

于是当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号）.

所以当时，有，

所以，即，当且仅当时取等号，

于是实数的取值范围是.