2020届二轮复习函数零点学案（全国通用）
展开培优点二 函数零点
1．零点的判断与证明
例1：已知定义在上的函数，
求证：存在唯一的零点，且零点属于．
【答案】见解析
【解析】，，，在单调递增，
，，，，使得
因为单调，所以的零点唯一．
2．零点的个数问题
例2：已知函数满足，当，，若在区间内，
函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，当时，，
所以，而有三个不同零点与有三个不同交点，如图所示，可得直线应在图中两条虚线之间，所以可解得：
3．零点的性质
例3：已知定义在上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先做图观察实根的特点，在中，通过作图可发现在关于中心对称，
由可得是周期为2的周期函数，则在下一个周期中，关于中心对称，以此类推。
从而做出的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看图像，，可视为将的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，
所以对称中心移至，刚好与对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点，
其中，与关于中心对称，所以有。所以．故选C．
4．复合函数的零点
例4：已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】考虑通过图像变换作出的图像（如图），因为最多只能解出2个，若要出七个根，则，，所以，解得：．
一、选择题
1．设，则函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，∴，
∵函数的图象是连续的，且为增函数，
∴的零点所在的区间是．故选B．
2．已知是函数的零点，若，则的值满足（ ）
A． B．
C． D．的符号不确定
【答案】C
【解析】在上是增函数，若，则．
3．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在上是增函数，则由题意得，解得，
故选C．
4．若，则函数的两个零点分别位于区间（ ）
A．和内 B．和内
C．和内 D．和内
【答案】A
【解析】∵，∴，，，
由函数零点存在性定理可知，在区间，内分别存在零点，又函数是二次函数，
最多有两个零点．因此函数的两个零点分别位于区间，内，故选A．
5．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为函数是定义域为的奇函数，所以，即0是函数的一个零点，当时，令，则，分别画出函数和的图象，
如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数有一个零点，
根据对称性知，当时函数也有一个零点．
综上所述，的零点个数为3．故选C．
6．函数的零点个数为（ ）
A．3 B．2 C．7 D．0
【答案】B
【解析】方法一：由得或，解得或，
因此函数共有2个零点．
方法二：函数的图象如图所示，由图象知函数共有2个零点．
7．已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，即，解得；当时，，即，
解得，即实数的取值范围是．故选D．
8．若函数在区间内存在一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当时，与轴无交点，不合题意，所以；函数在区间内是单调函数，所以，即，解得或．故选B．
9．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数的零点就是方程的根，画出的大致图象（图略）．观察它与直线的交点，得知当或时，有交点，即函数有零点．故选D．
10．已知是奇函数且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，因为是上的单调函数，所以，只有一个实根，即只有一个实根，则，解得．
11．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数与的大致图象．分两种情形：
（1）当时，，如图①，当时，与的图象有一个交点，符合题意．
（2）当时，，如图②，要使与的图象在上只有一个交点，
只需，即，解得或（舍去）．
综上所述，．故选B．
12．已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：
（1）方程有且只有6个根
（2）方程有且只有3个根
（3）方程有且只有5个根
（4）方程有且只有4个根
则正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数．
（1）中可得，，，进而有2个对应的，有2个，有2个，总计6个，（1）正确；
（2）中可得，，进而有1个对应的，有3个，总计4个，
（2）错误；
（3）中可得，，，进而有1个对应的，有3个，有1个，总计5个，（3）正确；
（4）中可得：，，进而有2个对应的，有2个，共计4个，（4）正确
则综上所述，正确的命题共有3个．
二、填空题
13．函数的零点个数为________．
【答案】2
【解析】由，得，作出函数和的图象，
由上图知两函数图象有2个交点，故函数有2个零点．
14．设函数与的图象的交点为，若，，则所在的区间是______．
【答案】
【解析】令，则，易知为增函数，且，，∴所在的区间是．
15．函数的零点个数是________．
【答案】2
【解析】当时，令，解得（正根舍去），所以在上有一个零点；
当时，恒成立，所以在上是增函数．又因为，，所以在上有一个零点，综上，函数的零点个数为2．
16．已知函数，，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是________________．
【答案】
【解析】设，，
在同一直角坐标系中作出，的图象如图所示．
由图可知有4个互异的实数根等价于与的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以有两组不同解，
消去得有两个不等实根，
所以，即，
解得或．又由图象得，∴或．
三、解答题
17．关于的二次方程在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】显然不是方程的解，
时，方程可变形为，
又∵在上单调递减，在上单调递增，
∴在上的取值范围是，∴，∴，
故的取值范围是．
18．设函数．
（1）作出函数的图象；
（2）当且时，求的值；
（3）若方程有两个不相等的正根，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）．
【解析】（1）如图所示．
（2）∵
故在上是减函数，而在上是增函数．
由且，得且，∴．
（3）由函数的图象可知，当时，方程有两个不相等的正根．
