2020届二轮复习函数与方程、不等式相结合问题学案（全国通用）

专题二 函数与导数
问题五：函数与方程、不等式相结合问题
一、考情分析
函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.
二、经验分享
(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．
(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．学@科网
(3) 已知函数零点情况求参数的步骤
①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即得参数的取值范围．
(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围．
(5)“a＝f(x)有解”型问题,可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．
三、知识拓展
1．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号．
2．三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
四、题型分析
(一) 函数与方程关系的应用
函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.
【例1】【2018浙江杭州地区重点中学期中】已知函数（）有四个不同的零点,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把函数（）有四个不同的零点转化为方程有三个不同的根,再利用函数图象求解
【点评】 零点问题也可转化为方程的根的问题,的根的个数问题,可以转化为函数和图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程根的个数．
【小试牛刀】【2018届北京北京师大附中高中三年级期中】已知函数, .若函数 恰有6个不同的零点,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵函数, ．∴当时,即时,则,当时,即时,则,①当,即时, 只与的图象有两个交点,不满足题意,应该舍去；②当时, 与的图象有两个交点,需要直线与函数的图象有四个交点时才满足题意,∴,又,解得,综上可得： 的取值范围是,故选D．
(二) 函数与不等式关系的应用
函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数y＝f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.
【例2】已知函数 ,,若对任意的,都有成立,则实数的取值范围为 .学科+网
【分析】根据题中条件：对任意的,都有成立,将问题转化为.再由题中所给两函数的特征：函数是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数的最大值；而另一个函数中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值,即可得到不等式,则可求出的取值范围.
【解析】对任意的,都有成立,即.观察的图象可知,当时,函数；因为,所以所以,,解得或,故答案为或．

【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式：对是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.
【小试牛刀】【2018届湖南衡阳高三12月联考】已知函数,若恰好存在3个整数,使得成立,则满足条件的整数的个数为 （ ）
A. 34 B. 33 C. 32 D. 25
【答案】A
【解析】画出的函数图象如图所示：

当时, ,当时, ,∵, , ,, ∴当时, ；当时, , ；当时, ∵恰好存在3个整数,使得成立∴整数的值为及, , , ,共34个,故选A
(三) 函数、方程和不等式关系的应用
函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.
【例3】已知函数,其中m,a均为实数．
(1)求的极值；学￥科网
(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值；
(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得 成立,求的取值范围．
【分析】(1)求的极值,就是先求出,解方程,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式恒成立的转化,由（1）可确定在上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数在上也是增函数,不妨设,这样题设绝对值不等式可变为
,整理为,由此函数在区间上为减函数,则在（3,4）上恒成立,要求的取值范围．采取分离参数法得恒成立,于是问题转化为求在上的最大值；（3）由于的任意性,我们可先求出在上的值域,题设“在区间上总存在,使得
成立”,转化为函数在区间上不是单调函数,极值点为（）,其次,极小值,最后还要证明在上,存在,使,由此可求出的范围.

（2）当时,,．
∵在恒成立,∴在上为增函数．
设,∵> 0在恒成立,
∴在上为增函数．
设,则等价于,
即．
设,则u(x)在为减函数．
∴在（3,4）上恒成立．
∴恒成立．
设,∵=,xÎ[3,4],
∴,∴< 0,为减函数．
∴在[3,4]上的最大值为v(3) = 3 -．
∴a≥3 -,∴的最小值为3 -．
（3）由（1）知在上的值域为．
∵,,
当时,在为减函数,不合题意．
当时,,由题意知在不单调,
所以,即．①
此时在上递减,在上递增,
∴,即,解得．②
由①②,得．
∵,∴成立．
下证存在,使得≥1．
取,先证,即证．③
设,则在时恒成立．
∴在时为增函数．∴,∴③成立．
再证≥1．
∵,∴时,命题成立．
综上所述,的取值范围为． 学+科网
【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值.
【小试牛刀】【2018中原名校高三上学期第三次质量考评】已知定义在的函数,若关于的方程有且只有个不同的实数根,则实数的取值集合是 ．
【答案】
【解析】设,当时,,显然符合题意.时,一正一负根,,方程的根大于,只有根；时,两根同号,只能有一个正根在区间,而,对称轴,,,所以.所以取值集合为,故答案为.
五、迁移运用
1．【2018届安徽皖南八校高三第二次联考】已知函数若关于的方程至少有两个不同的实数解,则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
令,关于的方程至少有两个不同的实数解等价于, 至少有两个不同的实数解,即函数的图象与直线至少有两个交点,作出函数的图象如图所示,直线过定点,故可以寻找出临界状态下虚线所示,联立,故,即,令,解得, ,故,结合图象知,实数的取值范围为,故选A.
2．【2018届湖北省稳派教育高三上学期第二次联考】已知定义在R上的函数满足,若关于的方程恰有5个不同的实数根,则的取值范围是
A. B. C. (1,2) D. (2,3)
【答案】B

3．【2018届山东省烟台高三上学期第三次诊断】已知定义在R的函数是偶函数,且满足上的解析式为,过点作斜率为k的直线l,若直线l与函数的图象至少有4个公共点,则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意知道函数是偶函数,且满足,故函数还是周期为4的函数,根据表达式画出图像是定义在R上的周期性的图像,一部分是开口向下的二次函数,一部分是一次函数,当k>0时,根据题意知两图像有两个交点,当直线和图像,,相切时是一种临界,要想至少有4个交点,斜率要变小；故设切点为 当k<0时,临界是过点（-6,1）时,此时,要想至少有4个交点需要逆时针继续旋转,斜率边大,直到和x轴平行.故两种情况并到一起得到：实数k的取值范围是.故答案为：C.
4．【2018届上海市浦东新区高三数学一模】关于的方程恰有3个实数根、、,则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
5.【2018山西省运城市高三上学期期中】函数是偶函数,且在内是增函数,,则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数为偶函数,故为奇函数,在内是增函数,,所以时,当时,,根据对称性,有当时,当时,.由此可知即为两者异号的解集为.
6.【2018湖北孝感高三上学期第一次联考】定义域在上的奇函数,当时,,则关于的方程所有根之和为,则实数的值为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】因为函数为奇函数,所以可以得到当时,,当时,
,所以函数图象如下图,函数的零点即为函数与的交点,如上图所示,共个,当时,令,解得：,当时,令,解得：,当时,令,解得：,所以所有零点之和为：,.故本题正确答案为B.
[来源:]
7.【2018重庆八中高三上学期二调】对于函数,设,,…,（,且）,令集合,则集合为（ ）
A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集
【答案】B
【解析】由题设可知,,,,,故从开始组成了一个以为首项,以周期为重复出现一列代数式,由得,故的解为,故选B．
8.【2018中原名校高三上学期第三次质量考评】定义在实数集上的函数,满足,当时,.则函数的零点个数为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】是偶函数,图象关于直线对称,周期是,画图可得,零点个数为,故选B.

9.【2018辽宁盘锦市高中11月月考】设函数则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令,则,当时,,由的导数为,在时,,在递增,即有,则方程无解；当时,成立,由,即,解得,且；或,解得,即为．综上可得的范围是．故选C.
10. 【2018湖北荆州高三上学期第一次质量检测】已知函数,用表示中最小值,设,则函数的零点个数为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】 由可得；由可得,且当时,．当时无意义,结合函数的图象可知方程有三个根.故应选C.

11.【2018河南八市重点高中上学期第三次测评】函数的零点个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由已知得,令,即,在同一坐标系内作出函数与的图象 两个函数有两个不同的交点,所以函数的零点的个数为,故选B.

12. 【2018河南百校联盟高三11月质检】已知函数满足,当时,,若在上,方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】

由题意,时,当时,,如图
在有两解,有两解,设函数在上单调递减,在上单调递增,.故选：D．
13.【河北石家庄2018届高三上学期第一次质检,10】已知函数,则的解集为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】因为当时,；当时,,所以,等价于,即,解得,所以的解集为,故选B．
14.【2018江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】设函数（,为自然对数的底数）,若曲线上存在一点使得,则的取值范围是 ．　
【答案】
15.【2018江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】已知函数为定义在上的偶函数,在上单调递减,并且,则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题设可得,即,故可化为,又,故,且.故应填答案.学科=网
16．【2018届12月浙江省重点中学期末热身联考】已知,函数,若存在三个互不相等的实数,使得成立,则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】若存在三个互不相等的实数,使得成立,则方程存在三个不相等的实根,当时, ,令,则,令,得,当时, ,即在上为减函数,
当时, ,即在上为增函数,∴,则在上存在一个实根,∴在上存在两个不相等的实根,即, 有两个不相等的实根,∴,∴,故答案为
17．【2018届福建省闽侯高三12月月考】已知函数,若函数有个零点,则实数的取值范围为 __________ .
【答案】

18.【2018湖南百所重点中学高三上学期阶段诊测】已知定义在上的函数的周期为3.当时,.
（1）求的值；
（2）若关于的方程在区间上有实根,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵函数的周期为3,∴,,
∴.
（2）设,则,∵函数的周期为3,
∴.
方程在上有实根在上有实根,设,
∵,∴,∵,
∴,
又∵,∴,∴,
∴实数的取值范围为.
19.定义在上的函数及二次函数满足： ,,且的最小值是．
（Ⅰ）求和的解析式；
（Ⅱ）若对于,均有成立,求实数的取值范围；
（Ⅲ）设讨论方程的解的个数情况．
【答案】（Ⅰ）,
（Ⅱ）
（Ⅲ）三个解．
【解析】（Ⅰ）∵①,则②
由①②联立解得： ；
是二次函数,可设
又,∴抛物线对称轴为．∴．
根据题意函数有最小值为,∴．
又,故
（Ⅱ）设,,
依题意知：当时,
∵,在上单调递增,

,解得,
实数的取值范围是；
（Ⅲ）图像解法：的图象如图所示： 令,则

而有两个解, 有个解．
有个解．

代数解法：令,则
（1）由得：或,
解得．
（2）若,则或,
∴；[来源:]
若,则或
由解得,而无解
综上所述,方程共有三个解．
20.已知函数．[来源:]
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时,；
（3）若函数有两个零点,,比较与的大小,并证明你的结论.
【答案】（1）时,f（x）在上递增,上递减,上递增；时,f（x）在上递增；时,f（x）在上递增,上递减,上递增；时,f（x）在上递增,在上递减；（2）见解析；（3）．

C．,即时,f（x）在上递增,上递减,上递增；
且,故此时f（x）在上有且只有一个零点．
综上所述：时,f（x）在上递增,上递减,上递增；
时,f（x）在上递增；
时,f（x）在上递增,上递减,上递增；
时,f（x）在上递增,在上递减；
（2）


设
∴
∴在上单调递减
∴得证．
（3）由（1）知,函数要有两个零点,,则
∴,不妨设
∴由（2）得
∴,∴,∴
21.已知函数
（1）若函数在上无零点,请你探究函数在上的单调性；
（2）设,若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围．
【答案】（1）若：在上无单调性,若：在上单调递增,若：在上单调递减,在上单调递增；（2）．[来源:]
【解析】（1）令,从而可知,∵,∴,故满足在上无零点的实数的取值范围是,若：,在上无单调性,若：,在上单调递增,若：则,∴在上单调递减,在上单调递增；（2）,而在上恒成立等价于,∴实数的取值范围是．
22.【2018届海南省八校高三上学期新起点联盟考试】设函数,其中.
(1)若直线与函数的图象在上只有一个交点,求的取值范围；
(2)若对恒成立,求实数的取值范围.

(2)当时, , ,令得；
令得, 递增；
令得, 递减,
∴在处取得极小值,且极小值为,
∵,∴,
∵当即时, ,∴,即,∴无解,
当即时, ,∴,即,又,∴,综上, .