2020届二轮复习切线处理情况多，曲线不同法定度学案（全国通用）
展开【题型综述】
圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.
【典例指引】
类型一 导数法求抛物线切线
例1 【2017课表1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．
类型二 椭圆的切线问题
例2（2014广东20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
类型三 直线与椭圆的一个交点
例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆的焦距为4，且过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点,连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.
【解析】（1）因为椭圆过点
且 *
椭圆C的方程是
（2）
由题意，各点的坐标如上图所示，
则的直线方程：
化简得
又，*
所以带入
求得最后
所以直线与椭圆只有一个公共点.
类型四 待定系数求抛物线的切线问题
例4 【2013年高考广东卷】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．
（3）由抛物线的定义可知，
所以
联立，消去得，
当时，取得最小值为*
【扩展链接】
- 椭圆的切线方程：椭圆上一点处的切线方程是；椭圆外一点所引两条切线方程是.
- 双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是；双曲线上一点所引两条切线方程是.
- 抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；抛物线上一点所引两条切线方程是.
4.设抛物线的焦点为，若过点的直线分别与抛物线相切于两点，则.
5.设椭圆:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.
6.设双曲线:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.
