2020届二轮复习导数的运算及导数的几何意义学案（全国通用）

2020届二轮复习    导数的运算及导数的几何意义  学案（全国通用）

知识点1．导数的概念

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.

2．函数f(x)的导函数

称函数为f(x)的导函数．

【典例1】一质点运动的方程为.

（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；

（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）∵

∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,

.

（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度

求导法：质点在t时刻的瞬时速度

，当t=1时，v=-6×1=-6.

【规律方法】

1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：

①求函数的增量；

②求平均变化率；

③得导数，简记作：一差、二比、三极限.

2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数

【变式1】若，则（     ）

A．                B．              C．               D．

【答案】B

【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为，所以

，选B；

法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以

（其中：），故选B.

知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1. 基本初等函数的导数公式

2．导数的运算法则

（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

（3） (g(x)≠0)．

 (4) 复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

【典例2】【2018年天津卷文】已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．

【答案】e

【总结提升】

1.求函数导数的一般原则如下：

(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；

(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；

(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.

2.复合函数的求导方法

求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.

①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；

②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；

③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；

④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.

【变式2】【2018届陕西省咸阳市三模】已知三次函数的图象如图所示，则__________．

【答案】1.

【解析】

，由的图象知，

∴，，

∴，

故答案为1.

知识点3．函数在处的导数几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

【典例3】（2019·天津高考真题（文）） 曲线在点处的切线方程为__________.

【答案】

【解析】

，

当时其值为，

故所求的切线方程为，即。

【规律方法】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

曲线切线方程的求法：

(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：

①求出函数f(x)的导数f′(x)；

②求切线的斜率f′(x0)；

③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．

(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．

【变式3】（2019·全国高考真题（文））已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，

将代入得，故选D．

考点1  求曲线的切线方程

【典例4】（2019·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．

【易错提醒】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

【变式4】（2019·天津高考模拟（文））曲线在点处的切线斜率为_____________.

【答案】12

【解析】

由题意可得：,

∴

∴曲线在点处的切线斜率为12，

故答案为：12

考点2  求切点坐标

【典例5】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.

【答案】.

【解析】

设点，则.又，

当时，，

点A在曲线上的切线为，

即，

代入点，得，

即，

考查函数，当时，，当时，，

且，当时，单调递增，

注意到，故存在唯一的实数根，此时，

故点的坐标为.

【方法总结】

已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.

【变式5】设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线上点P处的切线垂直，则点P的坐标为         ．

【答案】（1，1）

【解析】∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex.

∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.

设P(x0，y0)(x0＞0)，

∵函数的导函数为，

∴曲线在点P处的切线的斜率，

由题意知k1k2＝－1，即1·（）＝－1，

解得x＝1，又x0＞0，∴x0＝1.

又∵点P在曲线上，

∴y0＝1，故点P的坐标为(1,1).

考点3  求参数的值(范围)

【典例6】（2018年全国卷Ⅲ理）曲线在点处的切线的斜率为，则________．

【答案】

【解析】

则

所以

故答案为-3.

【规律方法】

根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．

【变式6】（2018届云南省昆明第一中学第八次月考）已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

依题意设曲线与在公共点处的切线相同.

∵，

∴，

∴，即

∵

∴，

故选D.

考点4  导数的运算

【典例7】（2018届北京市人大附中十月月考）已知函数则的值为________.

【答案】1

【解析】由题得

所以，

所以，故填1.

【总结提升】

(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．

(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．

【变式7】已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 017(x)等于(　　)

A.－sin x－cos x    B.sin x－cos x

C.－sin x＋cos x    D.sin x＋cos x

【答案】D

【解析】

∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，

∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，

∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，

∴fn(x)是以4为周期的函数，

∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x，故选D.