2020届二轮复习组合学案（全国通用）

　组合(一)

学习目标　1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题.

知识点一　组合的定义

思考　①从3,5,7,11中任取两个数相除；

②从3,5,7,11中任取两个数相乘.

以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？

答案　①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数是无需排列.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

知识点二　组合数与组合数公式

　从3,5,7,11中任取两个数相除

思考1　可以得到多少个不同的商？

答案　A＝4×3＝12.

思考2　如何用分步乘法计数原理求商的个数？

答案　第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法.由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA＝12.

思考3　你能得出C的计算公式吗？

答案　因为A＝CA，所以C＝＝6.

类型一　组合概念的理解

例1　判断下列问题是组合问题还是排列问题？

(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？

(2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？

(3)从7本不同的书中取出5本给某同学.

(4)3人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法？

(5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？

解　(1)因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序无关，故它是组合问题.

(2)一种火车票与起点、终点顺序有关，

例“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，故它是排列问题.

(3)从7本不同的书中取出5本给某同学，在每种取法中取出的5本书并不考虑书的顺序，故它是组合问题.

(4)因为一种分工方法就是从5种不同工作中取出3种，按一定顺序分给3人去干，故它是排列问题.

(5)因为3本书是相同的，把3本书无论分给哪三个人都不需考虑顺序，故它是组合问题.

故(1)(3)(5)是组合问题，(2)(4)是排列问题.

反思与感悟　判断一个问题是否是组合问题的流程

跟踪训练1　给出下列问题：

(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？

(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？

(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？

(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？

(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？

(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？

在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题.

解析　(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.

(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.

(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.

(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题.

(5)命中的4枪均为2枪连中，没有顺序，是组合问题.

(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题.

答案　(1)(3)(5)　(2)(4)(6)

类型二　组合的列举问题

例2　从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，列出所有组合为________.

答案　ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.

解析　要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来.如图所示.

反思与感悟　用树形图来写所有组合时，当前面的元素写完后，后面再不能出现该元素，要避免重复和遗漏.

跟踪训练2　写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合.

解　所有组合为ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.

类型三　组合数公式及应用

角度1　有关组合数的计算与证明

例3　(1)计算C－C·A；

(2)证明：mC＝nC.

解　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.

(2)mC＝m·

＝

＝n·＝nC.

反思与感悟　(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算；

(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算：

(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：

①C＝C；②C＝C＋C.

跟踪训练3　(1)计算C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)

A.C  B.C

C.C－1  D.C－1

(2)计算：C＋C＋C＋C＝________.

解析　(1)C＋C＋C＋…＋C

＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C

＝C＋C＋…＋C－1＝…

＝C＋C－1＝C－1

(2)C＋C＋C＋C＝C＋C＋C

＝C＋C＝C＝C＝210.

答案　(1)C　(2)210

角度2　含组合数的方程或不等式

例4　(1)已知－＝，求C＋C.

(2)解不等式：C>C.

解　(1)∵－＝

∴－＝

即－

＝

∴1－＝

即m2－23m＋42＝0

解得：m＝2或21.

∵0≤m≤5，∴m＝2，

∴C＋C＝C＋C＝C＝84.

(2)由C>C得

⇒

⇒又n∈N*.

∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.

反思与感悟　1.解答(1)易忽略根的检验而产生增根的错误，(2)易忽略n∈N*而导致错误.

2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意.

跟踪训练4　解方程3C＝5A.

解　原式可变形为3C＝5A，

即

＝5(x－4)(x－5)，

所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.

所以x＝11或x＝－2(舍去负根).

经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.

1.下列问题中，组合问题的个数是(　　)

①从全班50人中选出5人组成班委会；

②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；

③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；

④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商.

A.1  B.2  C.3  D.4

答案　B

解析　对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.对于③，从1,2,3，…，9中任取两个数求积是组合问题.因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题.

2.满足方程＝C的x值为(　　)

A.1,3,5，－7   B.1,3

C.1,3,5   D.3,5

答案　B

解析　依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或5；x＝－7或x＝3.经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意.

3.不等式C<C的解为(　　)

A.3≤n≤7   B.3≤n≤6

C.n＝3,4,5   D.n＝3,4,5,6,7

答案　D

解析　由题意知3≤n≤12，且n∈N*，由题意得<，解得n<7.5，∴n＝3,4,5,6,7.

4.下列等式不正确的是(　　)

A.C＝   B.C＝C

C.C＝C   D.C＝C

答案　D

1.排列与组合的联系与区别

(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素.

(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序.

2.关于组合数的计算

(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算；

(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算.

一、选择题

1.以下四个命题，属于组合问题的是(　　)

A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列

B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星

D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地

答案　C

解析　只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.

2.C＋C的值为(　　)

A.72  B.36  C.30  D.42

答案　B

解析　C＋C＝C＋C

＝＋＝15＋21＝36.

3.等于(　　)

A.  B.101  C.  D.6

答案　D

解析　＝＝＝A＝6.

4.若集合M＝{x|C≤21}，则组成集合M的元素共有(　　)

A.1个  B.3个  C.6个  D.7个

答案　B

解析　∵C＝1，C＝7，C＝＝21，∴x＝0,1,2.

5.若C＝C(n∈N*)，则n等于(　　)

A.5  B.7

C.5或7  D.5或6

答案　C

解析　由题意知2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，则n＝5或7.

6.组合数C(n>r≥1，n、r∈Z)恒等于(　　)

A.C   B.(n＋1)(r＋1)C

C.nrC   D.C

答案　D

解析　A中C

＝·＝C；

B中(n＋1)(r＋1)C

＝(n＋1)(r＋1)·

＝C；

C中nrC＝nr·

＝r2C；

D中C＝·＝C.

7.下列有关排列数、组合数计算正确的是(　　)

①C＝；

②(n＋2)(n＋1)A＝A；

③C＋C＋C＋…＋C＝C；

④C＋C是一个常数.

A.①②   B.②③

C.①④   D.②④

答案　D

解析　∵C＝，故①不正确.

②式中(n＋2)(n＋1)A＝(n＋2)(n＋1)n(n－1)…(n－m＋1)＝A，故②正确.

③式中C＋C＋C＋…＋C

＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1

＝C＋C＋C＋…＋C－1

＝C＋C＋…＋C－1＝C－1，故③不正确.

④式中n应满足解得：n＝2.

所以C＋C＝C＋C＝2.

故④正确.

二、填空题

8.C＋C＋C＋…＋C＝________.

答案　7 315

解析　原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝C＝7 315.

9.已知C，C，C成等差数列，则C＝________.

答案　91

解析　∵C，C，C成等差数列，

∴2C＝C＋C，

∴2×

＝＋

整理得n2－21n＋98＝0，

解得n＝14，n＝7(舍去)，

则C＝C＝91.

10.不等式C>3C的解集为________.

答案　{7,8}

解析　∵C>3C，

∴>，

即>得m>.

又∵m∈N*且1≤m≤8，∴m＝7或8.

故不等式C>3C的解集为{7,8}.

11.C＋C＝________.

答案　466

解析　∵

即

∴≤n≤.∵n∈N*，∴n＝10.

∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝466.

12.以下四个式子：①C＝；

②A＝nA；

③C÷C＝；

④C＝C.

其中正确的个数是________.

答案　4

解析　①式显然成立；

②式中A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，

A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝nA，故②式成立；

对于③式C÷C＝＝＝，故③式成立；

对于④式C＝＝＝C，故④式成立.

三、解答题

13.现有1克，2克，4克，10克的砝码各一个，在天平上能称出多少种不同质量的物体(只允许砝码放在天平右边的盘子里).

解　按使用砝码的个数进行分类列举：

(1)若使用一个砝码，则能称1克、2克、4克、10克，共4种质量的物体.

(2)若使用两个砝码，则能称(1＋2)克，(1＋4)克，(1＋10)克，(2＋4)克，(2＋10)克，(4＋10)克，共6种质量的物体.

(3)若使用三个砝码，则能称1＋2＋4克，1十2＋10克，1＋4＋10克，2＋4＋10克，共4种质量的物体.

(4)若使用四个砝码，则能称1＋2＋4＋10克，共1种质量的物体.

所以，总共能称4＋6＋4＋1＝15(种)不同质量的物体.

14.(1)已知＝，求正整数n的值.

(2)解不等式：－<.

解　(1)已知可化简为＋1＝，即C＝C.

即

＝·，

整理得n2－3n－54＝0，解得n＝9或n＝－6(舍去)，

所以n＝9即为所求.

(2)通过将原不等式化简可以得到

－<.

又x≥5，可得x2－11x－12<0，解得5≤x<12.

又x∈N*，∴x∈{5,6,7,8,9,10,11}.