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2020届二轮复习不等式与线性规划教案（全国通用）
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2020届二轮复习 不等式与线性规划 教案（全国通用）
1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．
①作差(商)法；②利用函数的单调性．
2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质
(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac
(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(4)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；
3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．
4．牢记常见类型不等式的解法．
(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．
(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．
(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．
5．简单线性规划
(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．
(2)简单的线性规划问题
解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．
考点一 不等式性质及解不等式
例1、(1)不等式组的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
解析：基本法：由x(x＋2)＞0得x＞0或x＜－2；由|x|＜1得－1＜x＜1，所以不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.
答案：C
(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
速解法：令x＝0，f(x)＝f(0)＝－1＜0.
f(2x－1)＝f(－1)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0.
不适合f(x)＞f(2x－1)，排除C.
令x＝2，f(x)＝f(2)＝ln 3－，
f(2x－1)＝f(3)，由于f(x)＝ln(1＋|x|)－在(0，＋∞)上为增函数
∴f(2)＜f(3)，不适合．排除B、D，故选A.
答案：A
高频考点二 基本不等式及应用
例2、【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
【变式探究】(1)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：基本法：因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
速解法：如图a，b分别是直线＋＝1在x，y轴上的截距，A(a,0)，B(0，b)，当a→1时，b→＋∞，当b→1时，a→＋∞，只有点(1,1)为AB的中点时，a＋b最小，此时a＝2，b＝2，∴a＋b＝4.
答案：C
(2)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
解析：基本法：x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝＝＝＋，
∵x＞0，y＞0，∴＋≥2＝，
当且仅当＝，即x＝y时等号成立，故所求最小值为.
答案：
高频考点三 求线性规划中线性目标函数的最值
例3、（2018年天津卷）设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.，本题选择C选项.
【变式探究】【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得A(−6,−3)，
则z=2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
【变式探究】(1)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：基本法：作出可行域，如图：
由z＝x＋y得y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点
A时，z取得最大值，zmax＝1＋＝.
速解法：由得点(－2，－1)，则z＝－3
由得点(0,1)，则z＝1
由得点则z＝.
答案：
(2)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处，z取得最小值，
因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3，故选B.
速解法：由z＝x＋ay得y＝－x＋
当a＜0时，由可行域知，当y＝－x＋过A点时最小，z有最大值，不合题意．
当a＞0时，y＝－x＋过A点时，最小，z也最小，故只能选B.
答案：B
4．数列与不等式
数列
1. （2018年北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D。
2. （2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
3. （2018年全国I卷理数）设为等差数列的前项和，若，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
4. （2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
5. （2018年江苏卷）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
【答案】27
【解析】设，则
由得
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时，，为等差数列项数，且.
由
得满足条件的最小值为.
6. （2018年全国I卷理数）记为数列的前项和，若，则_____________．
【答案】
【解析】根据，可得，两式相减得，即，
当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，
所以，故答案是.
7. （2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（Ⅱ）设，数列前n项和为.
由解得.
由（Ⅰ）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
8. （2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.
【解析】（I）设等比数列的公比为q.由
可得.因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得
由，可得
从而 故
所以数列的通项公式为，
数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，
故.
（ii）因为，
所以
9. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
【答案】（1）d的取值范围为．
（2）d的取值范围为，证明见解析。
【解析】（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
（2）由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
10. （2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s
（2）求的表达式(用n表示)．
【答案】（1）2 5
（2）n≥5时，
【解析】（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当n≥5时，
，
因此，n≥5时， ．
11. （2018年全国Ⅱ卷理数） 记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
12. （2018年全国Ⅲ卷理数）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或
（2）
【解析】（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
不等式
1. （2018年天津卷）设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.，本题选择C选项.
2. （2018年全国I卷理数）已知集合，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解不等式得，所以，
所以可以求得，故选B.
3. （2018年全国Ⅲ卷理数）设，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.
,即
又
即
故选B.
4. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 (1). -2 (2). 8
【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.
5. （2018年天津卷）已知，且，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】由可知，
且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
6. （2018年北京卷）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．
【答案】3
【解析】作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.
7. （2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.
8. （2018年全国I卷理数）若，满足约束条件，则的最大值为_____________．
【答案】6
【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.
9. （2018年全国Ⅱ卷理数）若满足约束条件则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.
1.【2017北京，理4】若x，y满足 则x + 2y的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
2.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
3.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
4.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得A(−6,−3)，
则z=2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
5.【2017山东，理4】已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是
（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6
【答案】C
【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，
当其经过直线与的交点时，最大为，选C.
6.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
（A） （B）1（C） （D）3
【答案】D
【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D.
1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．
2.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
3.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.
4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．
5.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
6.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
7.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线经过点时，z取得最大值.由得 ，即，则．
8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足，则的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为
1.【2015高考北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.
2．【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B. 6 C. D. 4
【答案】C
【解析】不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时z最小，
由，解得，即A（1，），
此时z=3×1+2×=，
故选：B．
3.【2015高考天津，理2】设变量 满足约束条件，则目标函数的最大值为( )
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，z有最大值18
4.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润
由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．
5.【2015高考福建，理5】若变量 满足约束条件则 的最小值等于 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
6.【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.
7.【2015高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
8.【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 ．
【答案】.
9．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．
【答案】
【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．
【考点定位】线性规划．
10.【2015高考湖南，理4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
【答案】A.
【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，故选A.
11.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】B
【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..学——科网
12.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．
1. 【2014高考安徽卷理第5题】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）
A, B. C.2或1 D.
【答案】D
【解析】题中的约束条件表示的区域如下图，将化成斜截式为，要使其取得最大值的最优解不唯一，则在平移的过程中与重合或与重合，所以或.
【考点定位】线性规划
2. 【2014高考北京版理第6题】若、满足，且的最小值为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】若，没有最小值，不合题意；
若，则不等式组表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线在点处取得最小值，所以，解得.故选D.
【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值
3. 【2014高考福建卷第11题】若变量满足约束条件则的最小值为________.
【答案】1
【解析】依题意如图可得目标函数过点A时截距最大.即.
【考点定位】线性规划.
4. 【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.
【答案】88
【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.
【考点定位】函数的最值.
5. 【2014高考广东卷理第3题】若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，
直线交直线于点，交直线于点，
作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；
当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即
.
因此，，故选C.
【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值
6. 【2014高考湖南卷第14题】若变量满足约束条件，且的最小值为，则.
【答案】
【考点定位】线性规划
7. 【2014辽宁高考理第16题】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .
【答案】
【解析】法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即……①
因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，
取最大值时，或，
当时，，
当时，，
综上可知当时，
法二：柯西不等式：由可得：
，
当且仅当时取等号，即时，取等号，
这时或
当时，，
当时，，
综上可知当时，
【考点定位】柯西不等式.
8. 【2014全国1高考理第9题】不等式组的解集为D,有下面四个命题：
， ，
，
其中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出可行域，如图所示，设，则，当直线过点时，取到最小值，，故的取值范围为，所以正确的命题是，选B．
【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词．
10. 【2014山东高考理第5题】已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】由及指数函数的性质得，所以，，选.
【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.
11. 【2014山东高考理第9题】 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）
A.5 B.4 C. D.2
【答案】
【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线的交点时，取得最小值，即，代人得，，所以，时，，选.
【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.
12. 【2014四川高考理第4题】若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，又.选D
【考点定位】不等式的基本性质.
13. 【2014四川高考理第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.
【考点定位】程序框图与线性规划.
14. 【2014浙江高考理第13题】当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】作出不等式组所表示的区域，由得，由图可知，，且在点取得最小值在取得最大值，故，，故取值范围为．
【考点定位】线性规划.
15. 【2014天津高考理第2题】设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【答案】B．
【解析】由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线经过点时，，故选B．
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线性目标函数的最值问题．
16. 【2014大纲高考理第14题】设满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】5.
【解析】画出二元一次不等式组表示的平面区域（图4阴影部分）．，把平移可知当直线过点时，取最大值：．
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线线目标函数的最值的计算．
17. 【2014高考上海理科】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
【答案】
【解析】，当且仅当时等号成立.
【考点定位】基本不等式.
18.【2014高考安徽卷第21题】设实数，整数， .
（1）证明：当且时，；
（2）数列满足，，证明：.
【答案】（1）证明：当且时，；（2）.
【解析】
（1）证明：用数学归纳法证明
①当时，，原不等式成立.
②假设时，不等式成立.
当时，
所以时，原不等式也成立.
综合①②可得，当且时，对一切整数，不等式均成立.
证法1：先用数学归纳法证明.
①当时，由题设知成立.②假设时，不等式成立.
由易知.
当时，.
当得.
由（1）中的结论得.
因此，即.所以时，不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
再由可得，即.
综上所述，.
证法2：设，则，并且
.
由此可得，在上单调递增，因而，当时，.
①当时，由，即可知
，并且，从而.
故当时，不等式成立.
②假设时，不等式成立，则当时，，即有.
所以当时，原不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
【考点定位】数学归纳法证明不等式、构造函数法证明不等式.
1．若点A(a，b)在第一象限且在直线x＋2y＝4上移动，则log2a＋log2b( )
A．有最大值2 B．有最小值1
C．有最大值1 D．没有最大值和最小值
解析：基本法：由题意，知a＋2b＝4(a＞0，b＞0)，则有4＝a＋2b≥2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以0＜ab≤2，所以log2a＋log2b＝log2ab≤log22＝1，故选C.
答案：C
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
3．设实数x，y满足不等式组，则x2＋y2的取值范围是( )
A．[1,2] B．[1,4]
C．[，2] D．[2,4]
解析：基本法：如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]，故选B.
答案：B
4．设x，y满足约束条件，则目标函数z＝的取值范围为( )
A．[－3,3] B．[－3，－2]
C．[－2,2] D．[2,3]
解析：基本法：(特殊点数形结合法)根据的几何意义，观察图形中点的位置作可行域如图阴影部分所示
＝表示点(x，y)与点(－2,0)连线的斜率．
当过A点(－1，－2)时，k1＝＝－2为最小；当过点B(－1,2)，k2＝＝2为最大．故选C.
速解法：根据可行域的特征进行排除．可行域关于x轴对称，故的最大值与最小值互为相反数，排除B、D.又直线过B点时，斜率为2.故选C.
答案：C
5．设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解析：结合题意分段求解，再取并集．
当x<1时，x－1<0，ex－1
当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，
∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8]．
答案：(－∞，8]
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．
解析：基本法：先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)>x，即得不等式的解集．
设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝当x>0时，由x2－4x>x得x>5；当x<0时，由－x2－4x>x得－5
速解法：数形结合作出y1＝x2－4x与y2＝x的图象使y1的图象在y2图象的上部所对应的x的范围．
设y1＝f(x)＝x2－4x，y2＝x(x>0)．
令y1＝y2，∴x2－4x＝x，∴x＝0或x＝5.
作y1＝f(x)及y2＝x的图象，
则A(5,5)，由于y1＝f(x)及y2＝x都是奇函数，作它们关于(0,0)的对称图象，则B(－5，－5)，由图象可看出当f(x)>x时，x∈(5，＋∞)及(－5,0)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
7．若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
解析：基本法：画出可行域，并分析z的几何意义，平移直线y＝－3x求解．
画出可行域如图所示．
∵z＝3x＋y，
∴y＝－3x＋z.
∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．
由
解得B(1,1)，
∴zmax＝3×1＋1＝4.
速解法：利用边界端点代入比较，由图知
A(－1,0)，C(0,2)．
由得B(1,1)代入z＝3x＋y得最大值为3×1＋1＝4.
答案：4
1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．
①作差(商)法；②利用函数的单调性．
2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质
(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac
(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(4)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；
3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．
4．牢记常见类型不等式的解法．
(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．
(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．
(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．
5．简单线性规划
(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．
(2)简单的线性规划问题
解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．
考点一 不等式性质及解不等式
例1、(1)不等式组的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
解析：基本法：由x(x＋2)＞0得x＞0或x＜－2；由|x|＜1得－1＜x＜1，所以不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.
答案：C
(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
速解法：令x＝0，f(x)＝f(0)＝－1＜0.
f(2x－1)＝f(－1)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0.
不适合f(x)＞f(2x－1)，排除C.
令x＝2，f(x)＝f(2)＝ln 3－，
f(2x－1)＝f(3)，由于f(x)＝ln(1＋|x|)－在(0，＋∞)上为增函数
∴f(2)＜f(3)，不适合．排除B、D，故选A.
答案：A
高频考点二 基本不等式及应用
例2、【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
【变式探究】(1)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：基本法：因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
速解法：如图a，b分别是直线＋＝1在x，y轴上的截距，A(a,0)，B(0，b)，当a→1时，b→＋∞，当b→1时，a→＋∞，只有点(1,1)为AB的中点时，a＋b最小，此时a＝2，b＝2，∴a＋b＝4.
答案：C
(2)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
解析：基本法：x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝＝＝＋，
∵x＞0，y＞0，∴＋≥2＝，
当且仅当＝，即x＝y时等号成立，故所求最小值为.
答案：
高频考点三 求线性规划中线性目标函数的最值
例3、（2018年天津卷）设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.，本题选择C选项.
【变式探究】【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得A(−6,−3)，
则z=2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
【变式探究】(1)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：基本法：作出可行域，如图：
由z＝x＋y得y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点
A时，z取得最大值，zmax＝1＋＝.
速解法：由得点(－2，－1)，则z＝－3
由得点(0,1)，则z＝1
由得点则z＝.
答案：
(2)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处，z取得最小值，
因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3，故选B.
速解法：由z＝x＋ay得y＝－x＋
当a＜0时，由可行域知，当y＝－x＋过A点时最小，z有最大值，不合题意．
当a＞0时，y＝－x＋过A点时，最小，z也最小，故只能选B.
答案：B
4．数列与不等式
数列
1. （2018年北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D。
2. （2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
3. （2018年全国I卷理数）设为等差数列的前项和，若，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
4. （2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
5. （2018年江苏卷）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
【答案】27
【解析】设，则
由得
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时，，为等差数列项数，且.
由
得满足条件的最小值为.
6. （2018年全国I卷理数）记为数列的前项和，若，则_____________．
【答案】
【解析】根据，可得，两式相减得，即，
当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，
所以，故答案是.
7. （2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（Ⅱ）设，数列前n项和为.
由解得.
由（Ⅰ）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
8. （2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.
【解析】（I）设等比数列的公比为q.由
可得.因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得
由，可得
从而 故
所以数列的通项公式为，
数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，
故.
（ii）因为，
所以
9. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
【答案】（1）d的取值范围为．
（2）d的取值范围为，证明见解析。
【解析】（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
（2）由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
10. （2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s
（2）求的表达式(用n表示)．
【答案】（1）2 5
（2）n≥5时，
【解析】（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当n≥5时，
，
因此，n≥5时， ．
11. （2018年全国Ⅱ卷理数） 记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
12. （2018年全国Ⅲ卷理数）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或
（2）
【解析】（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
不等式
1. （2018年天津卷）设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.，本题选择C选项.
2. （2018年全国I卷理数）已知集合，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解不等式得，所以，
所以可以求得，故选B.
3. （2018年全国Ⅲ卷理数）设，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.
,即
又
即
故选B.
4. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 (1). -2 (2). 8
【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.
5. （2018年天津卷）已知，且，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】由可知，
且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
6. （2018年北京卷）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．
【答案】3
【解析】作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.
7. （2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.
8. （2018年全国I卷理数）若，满足约束条件，则的最大值为_____________．
【答案】6
【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.
9. （2018年全国Ⅱ卷理数）若满足约束条件则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.
1.【2017北京，理4】若x，y满足 则x + 2y的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
2.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
3.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
4.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得A(−6,−3)，
则z=2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
5.【2017山东，理4】已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是
（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6
【答案】C
【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，
当其经过直线与的交点时，最大为，选C.
6.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
（A） （B）1（C） （D）3
【答案】D
【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D.
1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．
2.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
3.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.
4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．
5.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
6.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
7.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线经过点时，z取得最大值.由得 ，即，则．
8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足，则的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为
1.【2015高考北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.
2．【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B. 6 C. D. 4
【答案】C
【解析】不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时z最小，
由，解得，即A（1，），
此时z=3×1+2×=，
故选：B．
3.【2015高考天津，理2】设变量 满足约束条件，则目标函数的最大值为( )
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，z有最大值18
4.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润
由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．
5.【2015高考福建，理5】若变量 满足约束条件则 的最小值等于 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
6.【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.
7.【2015高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
8.【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 ．
【答案】.
9．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．
【答案】
【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．
【考点定位】线性规划．
10.【2015高考湖南，理4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
【答案】A.
【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，故选A.
11.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】B
【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..学——科网
12.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．
1. 【2014高考安徽卷理第5题】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）
A, B. C.2或1 D.
【答案】D
【解析】题中的约束条件表示的区域如下图，将化成斜截式为，要使其取得最大值的最优解不唯一，则在平移的过程中与重合或与重合，所以或.
【考点定位】线性规划
2. 【2014高考北京版理第6题】若、满足，且的最小值为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】若，没有最小值，不合题意；
若，则不等式组表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线在点处取得最小值，所以，解得.故选D.
【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值
3. 【2014高考福建卷第11题】若变量满足约束条件则的最小值为________.
【答案】1
【解析】依题意如图可得目标函数过点A时截距最大.即.
【考点定位】线性规划.
4. 【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.
【答案】88
【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.
【考点定位】函数的最值.
5. 【2014高考广东卷理第3题】若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，
直线交直线于点，交直线于点，
作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；
当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即
.
因此，，故选C.
【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值
6. 【2014高考湖南卷第14题】若变量满足约束条件，且的最小值为，则.
【答案】
【考点定位】线性规划
7. 【2014辽宁高考理第16题】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .
【答案】
【解析】法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即……①
因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，
取最大值时，或，
当时，，
当时，，
综上可知当时，
法二：柯西不等式：由可得：
，
当且仅当时取等号，即时，取等号，
这时或
当时，，
当时，，
综上可知当时，
【考点定位】柯西不等式.
8. 【2014全国1高考理第9题】不等式组的解集为D,有下面四个命题：
， ，
，
其中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出可行域，如图所示，设，则，当直线过点时，取到最小值，，故的取值范围为，所以正确的命题是，选B．
【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词．
10. 【2014山东高考理第5题】已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】由及指数函数的性质得，所以，，选.
【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.
11. 【2014山东高考理第9题】 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）
A.5 B.4 C. D.2
【答案】
【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线的交点时，取得最小值，即，代人得，，所以，时，，选.
【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.
12. 【2014四川高考理第4题】若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，又.选D
【考点定位】不等式的基本性质.
13. 【2014四川高考理第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.
【考点定位】程序框图与线性规划.
14. 【2014浙江高考理第13题】当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】作出不等式组所表示的区域，由得，由图可知，，且在点取得最小值在取得最大值，故，，故取值范围为．
【考点定位】线性规划.
15. 【2014天津高考理第2题】设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【答案】B．
【解析】由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线经过点时，，故选B．
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线性目标函数的最值问题．
16. 【2014大纲高考理第14题】设满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】5.
【解析】画出二元一次不等式组表示的平面区域（图4阴影部分）．，把平移可知当直线过点时，取最大值：．
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线线目标函数的最值的计算．
17. 【2014高考上海理科】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
【答案】
【解析】，当且仅当时等号成立.
【考点定位】基本不等式.
18.【2014高考安徽卷第21题】设实数，整数， .
（1）证明：当且时，；
（2）数列满足，，证明：.
【答案】（1）证明：当且时，；（2）.
【解析】
（1）证明：用数学归纳法证明
①当时，，原不等式成立.
②假设时，不等式成立.
当时，
所以时，原不等式也成立.
综合①②可得，当且时，对一切整数，不等式均成立.
证法1：先用数学归纳法证明.
①当时，由题设知成立.②假设时，不等式成立.
由易知.
当时，.
当得.
由（1）中的结论得.
因此，即.所以时，不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
再由可得，即.
综上所述，.
证法2：设，则，并且
.
由此可得，在上单调递增，因而，当时，.
①当时，由，即可知
，并且，从而.
故当时，不等式成立.
②假设时，不等式成立，则当时，，即有.
所以当时，原不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
【考点定位】数学归纳法证明不等式、构造函数法证明不等式.
1．若点A(a，b)在第一象限且在直线x＋2y＝4上移动，则log2a＋log2b( )
A．有最大值2 B．有最小值1
C．有最大值1 D．没有最大值和最小值
解析：基本法：由题意，知a＋2b＝4(a＞0，b＞0)，则有4＝a＋2b≥2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以0＜ab≤2，所以log2a＋log2b＝log2ab≤log22＝1，故选C.
答案：C
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
3．设实数x，y满足不等式组，则x2＋y2的取值范围是( )
A．[1,2] B．[1,4]
C．[，2] D．[2,4]
解析：基本法：如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]，故选B.
答案：B
4．设x，y满足约束条件，则目标函数z＝的取值范围为( )
A．[－3,3] B．[－3，－2]
C．[－2,2] D．[2,3]
解析：基本法：(特殊点数形结合法)根据的几何意义，观察图形中点的位置作可行域如图阴影部分所示
＝表示点(x，y)与点(－2,0)连线的斜率．
当过A点(－1，－2)时，k1＝＝－2为最小；当过点B(－1,2)，k2＝＝2为最大．故选C.
速解法：根据可行域的特征进行排除．可行域关于x轴对称，故的最大值与最小值互为相反数，排除B、D.又直线过B点时，斜率为2.故选C.
答案：C
5．设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解析：结合题意分段求解，再取并集．
当x<1时，x－1<0，ex－1
当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，
∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8]．
答案：(－∞，8]
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．
解析：基本法：先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)>x，即得不等式的解集．
设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝当x>0时，由x2－4x>x得x>5；当x<0时，由－x2－4x>x得－5
速解法：数形结合作出y1＝x2－4x与y2＝x的图象使y1的图象在y2图象的上部所对应的x的范围．
设y1＝f(x)＝x2－4x，y2＝x(x>0)．
令y1＝y2，∴x2－4x＝x，∴x＝0或x＝5.
作y1＝f(x)及y2＝x的图象，
则A(5,5)，由于y1＝f(x)及y2＝x都是奇函数，作它们关于(0,0)的对称图象，则B(－5，－5)，由图象可看出当f(x)>x时，x∈(5，＋∞)及(－5,0)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
7．若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
解析：基本法：画出可行域，并分析z的几何意义，平移直线y＝－3x求解．
画出可行域如图所示．
∵z＝3x＋y，
∴y＝－3x＋z.
∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．
由
解得B(1,1)，
∴zmax＝3×1＋1＝4.
速解法：利用边界端点代入比较，由图知
A(－1,0)，C(0,2)．
由得B(1,1)代入z＝3x＋y得最大值为3×1＋1＝4.
答案：4
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