2020届二轮复习数列不等式的证明方法教案（全国通用）
展开【例1】用数归纳法证明:
【点评】利用数归纳法证明不等式时，关键在于第二步，证明这一步时，一定要利用前面的假设和已知条件.
【反馈检测1】已知，（其中）
（1）求及；
（2）试比较与的大小，并说明理由．
方法二 | 放缩法 |
解题步骤 | 一般放缩数列通项，或放缩求和的结果. |
【例2】已知函数
（1）当时，求函数在上的极值；
（2）证明：当时，；
（3）证明： .
（2）令
则
上为增函数.
（3）由（2）知
令得，
【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式，是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不等式，有时需要放缩通项，有时是需要放缩求和的结果，本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当，所以放的度很重要，有时需要把每一项都放缩，有时需要把前面两项不放缩，后面的都放缩，有时需要把后面的项不放缩，所以要灵活调整，以达到证明的目的. *
【反馈检测2】已知数列满足．
（1）求及通项公式；（2）求证：．
【反馈检测3】将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，5，10，17， 记为数列，第一列数1，4，9，16，25， 记为数列
（1）写出数列，的通项公式；
（2）若数列，的前n项和分别为，用数归纳法证明：；
（3）当时，证明：．
【反馈检测4】已知函数
（1）当时，比较与1的大小；
（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（3）求证：对于一切正整数，都有
【反馈检测5】已知函数.
（1）讨论的单调性与极值点；
（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；
（3）证明：.
方法三 | 分析法 |
解题步骤 | 从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件. |
【例3】已知函数是奇函数，且图像在点 处的切线斜率为3（为自然对数的底数）．
（1）求实数、的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（3）当时，证明：．
（2）当时，设，
则
设，则，在上是增函数
因为，，
所以，使
时，，，即在上为减函数；
同理在上为增函数
从而的最小值为
所以，的最大值为
【点评】本题的第3问，由于结论比较复杂，一下子看不出证明的方向，所以要采用分析法来证明.
【反馈检测6】已知函数.
（1）当时，试确定函数在其定义域内的单调性；
（2）求函数在上的最小值；
（3）试证明：.
高中数常见题型解法归纳及反馈检测第41讲：
数列不等式的证明方法参考答案
【反馈检测1答案】（1），；（2）当或时，,当时，．
【反馈检测1详细解析】
（1）取，则；取，则，
．
∵时，，
∴
∴．
即时结论也成立，
∴当时，成立.
综上得，当或时，；
当时，．
【反馈检测2答案】（1）， ；（2）见解析.
【反馈检测3答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析. *
【反馈检测3详细解析】
（1）由，得：，
．
① 当时，，∴，又，∴时等式成立；
② 假设时等式成立，即，
则时，
，
∴时等式也成立．
根据①②，都成立．
【反馈检测4答案】（1）或；（2）见解析.
【反馈检测4解析】（1）当时，，其定义域为
因为，所以在上是增函数
故当时，；当时，；
当时，
（2）当时，，其定义域为
，令得，
因为当或时，；当时，
所以函数在上递增，在上递减，在上递增
且的极大值为，极小值为
又当时，；当时，
因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅
有一个交点.所以或
（3）方法二：用数归纳法证明：①当时，不等式左边，右边
因为，所以，即时，不等式成立
②假设当时，不等式成立，即
那么，当时，
由（1）的结论知，当时，，即
所以
即
即当时，不等式也成立
综合①②知，对于一切正整数，都有
【反馈检测5答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减.
为极大值点，为极小值点；（2）见解析；（3）见解析.
（2）当时，令，
，当时，，时，，
∴在上递减，在上递增，∴，∴时，恒成立.
即时，恒成立，∴当时，的图象恒在的图象上方.
（3）由（2）知，即，∵，∴，
令，则，∴
∴
∴不等式成立.
【反馈检测6答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）；（3）见解析. *
【反馈检测6详细解析】（1）函数的定义域为，当时，，则
，
解不等式，得；解不等式，得，
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当，即当时，当，，当时，，
此时函数在处取得极小值，亦即最小值，
即，
综上所述，；
由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，
即函数在区间上单调递增，故，
故有，因此不等式在上恒成立，故原不等式得证，
即对任意，.
