2020届二轮复习二项式定理的应用证明不等式教案（全国通用）
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1．二项式定理
⑴二项式定理
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．
⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数．
②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
⑷几点注意
①通项是的展开式的第项，这里．
②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设，则得公式：．
⑥通项是中含有五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．
2．二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：
对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
⑵二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．
当时，的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是
，
，．．．，
，，．．．，
．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．
③二项式系数的和为，即．
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．
二项式定理的应用2证明不等式
【例1】 已知：，求证：，
【考点】证明不等式
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设，，则
．
【例2】 ，求证：
【考点】证明不等式
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设，则．于是：
．
【例3】 且，求证：
【考点】证明不等式
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】
【例4】 求证：
【考点】证明不等式
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】
【例5】 求证：
【考点】证明不等式
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】
所以．
【例6】 ，求证：．
【考点】证明不等式
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】显然时，原不等式成立．
时，将原不等式变为
设，则，于是：
．
【例7】 求证：
【考点】证明不等式
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】（至少有4项）．
．
【例8】 对于，．
【考点】证明不等式
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】展开式的通项
．
展开式的通项
．
由二项式展开式的通项明显看出，
所以．
【例9】 求证：
【考点】证明不等式
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】首先显然．其次
【例10】 已知是正整数，且，⑴证明；⑵证明．
【考点】证明不等式
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴对于，有，
同理，
由于，故对整数，有，
所以，即．
⑵由二项式定理得：，，
由⑴知（），
而，，所以．因此．
又，（）．
∴，即．
【例11】 已知函数满足（），，并且使成立的实数有且只有一个．
⑴求的解析式；
⑵若数列的前项和为，满足，当时，，
求数列的通项公式．
⑶在⑵的条件下，令（），
求证：当时，有．
【考点】证明不等式
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴令，由得．
即只有一根，又，故．
联立解得，，则，．
⑵当时，，∴．
∵当时，，∴．
当时，，则（），
两式相减得（），
∴，即，
从而数列是以为首项，为公比的等比数列．
∴，∴．
⑶∵，
∴（）．
∴．
当时，，
∴．
∴．
