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2020届二轮复习三角函数（一）学案（全国通用）
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年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
三角函数（一）
教学目的
教学内容
一、 知识网络
二、 命题分析
1．从近几年高考来看，对于本单元的考查，一般是以1～3个客观题和1个解答题形式出现，以中、低档题为主．考查的内容主要有：三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识．解答题常与平面向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合，但难度不大．
2．预计在今后的高考中，与三角函数有关的问题将继续作为高考的重点进行考查．其中，角的概念多结合三角函数的基础知识进行考查．三角函数的图像和性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移和伸缩等，多以小而活的选择题和填空题形式出现．形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数将依然作为必考内容出现在高考题中，并与三角恒等变形、平面向量、解三角形等知识结合，形成小型综合题．解三角形问题将会以选择题或填空题形式出现，主要考查正、余弦定理及利用三角函数公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形形状为主．
三、复习建议
1．复习中要注意几个知识点的综合应用，这就要求我们要从整体上掌握本单元的知识结构，注重知识点之间的联系和综合运用并加大练习力度，解决公式的综合运用问题，提高计算能力．
2．掌握正弦函数、余弦函数和y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质，这是历年高考的重点．
3．在训练中，强化“变换”意识，但训练难度不宜过大，立足课本，掌握常见问题的解法，熟记课本中出现的公式和常用到的重要的结论，并注意其变形应用．
4．从“整体处理”的思想高度去认识理解运用“五点法”，尤其是对y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质的理解、应用．
5．在复习过程中，要着重加强三角函数应用意识的训练．
四、知识讲解
第一节 任意角、弧度制及三角函数定义
（一）高考目标
考纲解读
1．了解任意角的概念．
2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
考向预测
1．三角函数的定义及应用是本节考查重点，注意三角函数值符号的确定．
2．主要以选择题、填空题的形式考查．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．角的有关概念
(1)角：角可以看成由 绕着端点从一个位置 到另一个位置所成的 .旋转开始时的射线叫做角α的 ，旋转终止时的射线叫做角α的 ，射线的端点叫做角α的 ．
(2)角的分类：角分 (按角的旋转方向)．
(3)在直角坐标系内讨论角
①象限角：角的顶点在原点，始边在 上，角的终边在第几象限，就说这个角是 ．
②象限界角：若角的终边在 ，就说这个角不属于任何象限，它叫
③与角α终边相同的角的集合：{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(4)弧度制
①1弧度的角： 叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③以“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值与所取的r的大小 ，仅与 有关．
④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝ 弧度．
⑤弧长公式： ，扇形面积公式：S扇形＝l·r＝|α|r2.
2．任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为 ，以比值为 的函数．
3．设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为 ，即 ，其中cosα＝ ，sinα＝ ，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)，则tanα＝ .我们把有向线段OM、MP、AT(或AT′)叫做α的 ．
（三）基础自测
1．与610°角终边相同的角可表示为( )
A．k·360°＋230°，k∈Z B．k·360°＋250°，k∈Z
C．k·360°＋70°，k∈Z D．k·360°＋270°，k∈Z
[答案] B
[解析] 由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终边相同．
2．已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] ∵sinα＝＝－，且α的终边在第四象限，
∴α＝π.
3．若－π>θ>－，则点(tanθ，sinθ)在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] 易知θ在第二象限，则tanθ<0，sinθ>0.
4．若α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值为( )
A. B．－ C．－ D．－
[答案] C
[解析] P(2sin30°，－2cos30°)即P(1，－)，∴r＝2，故sinα＝－，故选C.
5．已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋＝________.
[答案] 0
[解析] 设α终边上任一点P(k，－3k)，
则r＝＝＝|k|.
当k>0时，r＝k，
∴sinα＝＝－，cosα＝＝，
∴10sinα＋＝－3＋3＝0.
当k<0时，r＝－k，∴sinα＝，cosα＝－，∴10sinα＋＝0.
6．若<θ<，则sinθ、cosθ、tanθ的大小关系为__________．
[答案] cosθ
7．若角θ的终边上一点P(－，m)(m>0)，且sinθ＝m，求 tanθ，cosθ的值．
[解析] ∵m>0，则P(－，m)在第二象限，
x＝－，y＝m，r＝，
∴sinθ＝，
又∵sinθ＝m＝，∴＝.
可知m＝，tanθ＝＝－，cosθ＝＝－.
（四）典型例题
1.命题方向：判断角所在象限
[例1] (1)若sinθ·cosθ>0，试确定θ所在象限．
(2)已知α为第二象限角，则为第几象限角？
[分析] (1)先确定sinθ与cosθ的符号，再判断θ所在象限；(2)用不等式表示出α的范围，讨论可得所在象限．
[解析] (1)由sinθ·cosθ>0，得① 或②
由①知θ在第一象限，由②知θ在第三象限，
∴θ在第一或第三象限．
(2)∵α为第二象限角，
∴2kπ＋<α<π＋2kπ，k∈Z.
∴kπ＋<<＋kπ，k∈Z.
k为偶数时k＝2n(n∈Z)，2nπ＋<<2kπ＋为第一象限角；
k为奇数时k＝2n＋1(n∈Z)，2nπ＋<<2nπ＋为第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
[点评] 问题(1)主要是利用三角函数值在各象限的符号来判断，注意θ是满足两个条件的公共解．
问题(2)主要是利用不等式表示出的范围，对k进行讨论，然后利用终边相同角的特点，即可确定所在象限．
跟踪练习1：
设θ为第三象限角，试判断的符号
[解析] ∵θ为第三象限角，∴2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，
kπ＋<
2nπ＋<<2nπ＋π(n∈Z)，此时在第二象限，
(2n＋1)π＋<<(2n＋1)π＋(n∈Z)，
即2nπ＋<<2nπ＋(n∈Z)，此时在第四象限，
∴sin<0，cos>0，∴<0.综上可知：<0.
2.命题方向：弧长公式及扇形面积公式的应用
[例2] 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
[分析] (1)直接套用公式l＝αR可求弧长，利用S弓＝S扇－S△可求弓形面积．
(2)将S扇表示为α的函数，转化为函数求最大值问题．
[解析] (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，l＝，
S弓＝S扇－S△＝××10－×102sin60°＝50(－)．
(2)解法1：扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR.
∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α·＝×α·＝·≤，
∴当α＝即α＝2(α＝－2舍去)时，
扇形面积有最大值.
解法2：由已知2R＋l＝C，∴R＝(l
∴当l＝时，Smax＝，此时α＝＝＝2，
∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.
[点评] 此类问题是将三角函数问题与不等式问题进行综合考查的，扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，在应用时应注意，不要把角度制与弧度制混用，造成度量单位不一致．
跟踪练习2
(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
(2)一扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[解析] (1)设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是（2r＋r）θ.依题意，
得（2r＋r）θ＝πr，
∴θ＝π－2＝(π－2)×()≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，
∴扇形的面积为S＝r2θ＝(π－2)r2.
(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，
即l＝20－2r(0
S＝(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，
所以当且仅当r＝5时S有最大值25.此时
l＝20－2×5＝10，α＝＝2.
所以当α＝2 rad时，扇形的面积取最大值.
3.命题方向：三角函数的定义应用
已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．
[分析] 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r，由于含有参数a，要注意分类讨论．
[解析] r＝＝5|a|.
若a>0，r＝5a，α角在第二象限，sinα＝＝＝，
cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－；
若a<0，r＝－5a，a角在第四象限，
sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
跟踪练习3：
已知角α的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角α在[0,2π)内的值为( )
A.或 B.或π C. D.
[答案] D
[解析] ∴sin>0，cos<0，
∴点(sin，cos)落在第一象限，
又∵tanα＝＝，∴α＝，故选D.
4.命题方向：单位圆的应用
已知：α∈，求证：sinα<α
[分析] 构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形和扇形的面积来证明．
[证明] 设角α与单位圆交于P，则MP＝sinα，AT＝tanα，如图所示， 的长l＝α.连接AP.
△POA的面积＝OA·MP＝sinα.
扇形OAP的面积＝l·OA＝α.
△OAT的面积＝OA·AT＝tanα.
∵S△POA
在(0,2π)内使sinx>cosx成立的x的取值范围是______．
[答案]
[解析] 由三角函数定义结合三角函数线知，在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为.
（五）思想方法点拨：
1．弧度制与角度制不能混用，如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋(k∈Z)都是不正确的．
2．在学习中要正确区分象限角和象限界角(角的终边落在坐标轴上的角)及它们的表示方法，特别是第一象限的角
{α|k·360°<α
4．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更方便、简捷．
5．要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z,0≤α0<2π)，由α0所在象限即可判定出α所在的象限，由已知角的范围求复合角的范围时，通常要用不等式的性质来解决，切忌扩大角的范围．
6．扇形的弧长公式l＝|α|r和面积公式S＝lr，是解决有关圆问题的有效工具．
7．已知角的终边上一点坐标可利用三角函数的定义求三角函数的值，但注意可能情况的讨论．
8．三角函数值的符号在求角的三角函数值及三角恒等变形问题中，显然十分重要，根据三角函数的定义，可简记为：正弦，上正下负，余弦，右正左负．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．若－<α<0，则点Q(cosα，sinα)位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] 由于－<α<0，则cosα>0，sinα<0，即该点位于第四象限．
2．如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] 因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθcosθ<0,2cosθ<0，即，θ为第二象限角．
3．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于( )
A．0 B．2 C．－2 D．2tanα
[答案] A
[解析] ∵角α的终边在直线y＝－x上，
∴α＝kπ＋ (k∈Z)，∴sinα与cosα符号相反，
∴＋＝＋＝0.
4．已知扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
[答案] C
[解析] 设扇形圆心角为αrad，半径为r，弧长为l.
则∴或
∴α＝＝4或α＝1.∴选C.
5．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )
A．2 B．－2 C．2－ D.－2
[答案] C
[解析] 点P位于第一象限，且
tanα＝－cot2＝－tan＝tan，
∵2－∈，∴α＝2－.
6．若A、B、C为△ABC的三个内角，且A
[解析] 解法1：若C为锐角，由已知A
A
A．0 B．± C．0或 D．0或±
[答案] D
[解析] 由cos2θ＋cosθ＝0得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或.当cosθ＝－1时，有sinθ＝0；当cosθ＝时，有sinθ＝±.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或±.
8．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于( )
A．sin B. C. D．2sin
[答案] C
[解析] 设圆的半径为r.由题意知r·sin＝1，
∴r＝，∴弧长l＝α·r＝.
二、填空题
9．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为第__________象限角．
[答案] 一或三
[解析] 当k＝2n时，α＝n·360°＋45°，
当k＝(2n＋1)时，α＝n·360°＋225°，
∴α为第一或第三象限角．
10．函数y＝＋的定义域是________．
[答案] (k∈Z)
[解析] 由题意知即
∴x范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)
11．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于________．
[答案] 2
[解析] 依题意：
解得：m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3，
又sinα<0，∴α的终边落在第三象限，∴n<0，
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
三、解答题
12．已知扇形的面积为S，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．
[解析] 设l为扇形的弧长，由S＝l·r 得l＝，故扇形的周长C＝2r＋.即2r2－C·r＋2S＝0.
由于r存在，故方程有解，因此有Δ＝C2－16S≥0，
即C≥4.
∴周长C的最小值为4.此时，r＝＝，中心角α＝＝2rad
所以当扇形的中心角为2rad时，扇形的周长最小，最小值为4.
13．已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα＋的值．
[解析] ∵P(x，－)(x≠0)，
∴点P到原点的距离r＝.
又cosα＝x，∴cosα＝＝x.
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.
当x＝时，P点坐标为(，－)，
由三角函数的定义，有sinα＝－，＝－，
∴sinα＋＝－－＝－；
当x＝－时，同样可求得sinα＋＝.
14．设f(x)＝，求f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)的值．
[解析] f(x)＋f(60°－x)
＝＋＝＝＝.
∴f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝(f(1°)＋f(59°))＋(f(2°)＋f(58°))＋…＋(f(29°)＋f(31°))＋f(30°)＝29＋＝.
15．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P(1，－2)．求cos的值．
[解析] ∵P(1，－2)是角α终边上一点，由此求得
r＝|OP|＝，
∴sinα＝－，cosα＝.
∵sin2α＝2sinαcosα＝－，
cos2α＝cos2α－sin2α＝－.
∴cos＝cos2αcos＋sin2αsin＝·＋·＝－.
第二节 同角的三角函数基本关系式与诱导公式
（一）高考目标
考纲解读
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π±α，±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
考向预测
1．同角三角函数间的关系，可能在与向量、解析几何、解三角形、数列等知识的交汇点处命题．
2．利用诱导公式求某角的三角函数值或求某三角函数式的值．
3．借助诱导公式对三角函数式进行化简或证明．
4．多以选择题或填空题的形式考查诱导公式．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系： ＋＝1(α∈R)．
(2)商数关系：
2．诱导公式(填表)：α∈R，有
－α
－α
＋α
π－α
π＋α
－α
＋α
2π－α
2kπ＋α
正弦
余弦
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说±α，k∈Z的三角函数值等于“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时，原函数值的符号．”
3．α角的终边与180°＋α角的终边关于 对称，α角的终边与－α角的终边关于 对称．
（三）基础自测
1．(2018·全国卷Ⅰ)cos300°＝( )
A．－ B．－ C. D.
[答案] C
[解析] 该题考查三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值．
cos300°＝cos(360°－60°)＝cos(－60°)＝cos60°＝.
2．(2018·无锡调研)若3sinα＋cosα＝0，则的值为( )
A. B. C. D．－2
[答案] A
[解析] 本小题主要考查同角三角函数基本关系式和倍角公式．
∵3sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－，
∴原式＝＝＝＝.
3．对非零实数x，y，z，定义一种运算“⊗”：x⊗y∈R；x⊗x＝1；x⊗(y⊗z)＝(x⊗y)z.或f(x)＝sinx⊗cosx，
则f＝( )
A．－ B. C. D.
[分析] 本题考查学生的思维能力、学习新知识、理解新定义的能力．切入点是：通过“⊗”运算的规则，
找出x⊗y.
[答案] D
[解析] 由x⊗1＝x⊗(x⊗x)＝(x⊗x)x＝x，
x＝x⊗1＝x⊗(y⊗y)＝(x⊗y)y，得x⊗y＝，所以f(x)＝sinx⊗cosx＝tanx，所以f＝tan＝.
4．(2018·温州高三摸底)若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝( )
A. B．2 C．－ D．－2
[答案] B
[解析] 将已知等式两边平方得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，故tanα＝2.
5．(2018·曲塘中学期中)已知＋＝，则sin2α＝________.
[答案] －
[解析] 由已知得sinα＋cosα＝sinαcosα，两边平方得1＋2sinαcosα＝sin2αcos2α，
化简得4sin22α－9sin2α－9＝0，则sin2α＝－或sin2α＝3(舍去)．
故sin2α＝－.
6．已知sin＝，则cos的值为________．
[答案]
[解析] ∵＋α＝＋，
∴cos＝cos＝－sin＝－.
7．已知α为第四象限角，且cosα＝，求1＋tan2α＋的值．
[解析] ∵α为第四象限角，且cosα＝，
∴sinα＝－＝－＝－，
tanα＝＝－，
∴1＋tan2α＋＝1＋(－)2＋＝1＋3＋＝.
（四）典型例题
1.命题方向：同角三角函数的关系
[例1] α是第四象限角，tanα＝－，则sinα等于 ( )
A. B．－ C. D．－
[解析] 解法1：∵，
解得sinα＝±.又∵α为第四象限角，
∴sinα<0，∴sinα＝－.故选D.
解法2：设tanα1＝，α1为锐角，
如图在Rt△ABC中，由tanα1＝，
设AC＝5，BC＝12，则AB＝13，
∴sinα1＝，
∵α为第四象限角，∴sinα<0，从而sinα＝－.
解法3：∵α是第四象限角，∴sinα<0，排除A、C，
又tanα＝＝－，由勾股数组5,12,13知排除B，∴选D.
[答案] D
[点评] 记住常用的勾股数组非常方便．常用的有：①3,4,5 ②5,12,13 ③7,24,25以及它们的倍数，如3k,4k,5k k∈N＋.
跟踪练习1：(2018·全国卷Ⅰ理)记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝( )
A. B．－ C. D．－
[答案] B
[解析] sin80°＝＝＝，
所以tan100°＝－tan80°＝－＝－.
2.命题方向：sinα±cosα与sinαcosα的关系
[例2] 已知－
(2)求的值．
[分析] (1)可与sin2x＋cos2x＝1联立求出sinx和cosx，再代入求值，(2)中注意化简的方向性和目的性：切化弦、扩角降幂，目的是化简为关于sinx和cosx的代数式．
[解析] 解法1：联立方程：
由①得sinx＝－cosx，将其代入②，整理得
25cos2x－5cosx－12＝0.
因为－
解法2：①sinx＋cosx＝
⇒＝(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx⇒2sinxcosx＝－⇒(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝，
由－0.
∴sinx－cosx<0，从而可得sinx－cosx＝－.
(2)由(1)得，＝
＝sinxcosx(2－cosx－sinx)＝×＝－.
[点评] (1)在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα(或cosα－sinα)中的一个，可利用方程的思想求出另外两个的值；(2)注意整体代入的思想方法．
跟踪练习2：
已知sinα，cosα是关于x的二次方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两根，求2tanα·的值．
[分析] 先将所给三角函数式化简，由方程的判别式Δ≥0，结合韦达定理求解．
[解析] 2tanα·＝·＝
由根与系数关系可得sinα＋cosα＝－且＝sinα·cosα＝
＝＝，所以m＝.
故原式＝＝.
3.命题方向：利用诱导公式进行化简与求值
[例3] 已知f(α)＝；
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．
[分析] 显然应用到诱导公式，可以直接从六组诱导公式中合理选用．
[解析] (1)f(α)＝＝－cosα.
(2)∵cos＝－sinα，
∴sinα＝－，cosα＝－＝－，
∴f(α)＝.
[点评] 熟练应用诱导公式是解答本题的关键．诱导公式应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．(能求值的要求出值)
[例4] 化简：
[分析] 化简上式，要认真观察“角”，显然需利用诱导公式，注意诱导公式的合理选用．
[解析] 解法1：
原式＝
＝
＝＝＝－·＝－1.
解法2：原式＝
＝＝＝－1.
[点评] 解决此类问题需合理运用诱导公式，用公式时需特别注意化简后函数的名称与符号，一定要细心计算，以免出错．
跟踪练习3：
化简：＋
[分析] 要认真观察“角”，运用诱导公式时特别注意函数名称与符号．
[解析] 原式＝＋
＝＋
＝－＝
＝＝1.
4.命题方向：三角函数公式在解三角形中的应用
[例5] 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
[分析] 由诱导公式可化简得到sinA＝sinB，cosA＝cosB，进而由sin2A＋cos2A＝1可求出A，进一步即可求出B和C.
[解析] 由已知得sinA＝sinB，cosA＝cosB，两式平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±.
若cosA＝－，则cosB＝－，
此时，A，B均为钝角，不可能，
∴cosA＝，故A＝，
cosB＝cosA＝⇒B＝，
C＝π－(A＋B)＝.
[点评] 1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A＋B＝π－C；
2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝.
2．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．
跟踪练习4：
在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.
[解析] ∵△ABC是锐角三角形，
∴A＋B>，即>A>－B>0，
∴sinA>sin，即sinA>cosB；
同理sinB>cosC，sinC>cosA，
∴sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.
（五）思想方法点拨
1．计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：
(1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；
(2)正化主：当已知角是大于360°的角时，可用k·360°＋α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间(0°，360°)上的角的三角函数值；
(3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号．要注意公式的合理选择和方法的灵活性．
3．在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要注意用“是否是同角”来区分和选用公式．
4．在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取．应用公式时把角α看成锐角，如果出现kπ±α的形式时，常对k值是奇数还是偶数进行分类讨论，以确定角所在的象限．
5．在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，一般思路是将切化弦，但在某些特殊问题中就不要化切为弦，只须利用倒数关系即可，否则解法较繁，如“求证＝tanαcotβ”，利用倒数关系可得简证．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．sin600°＋tan240°的值是( )
A．－ B. C．－＋ D.＋
[答案] B
[解析] sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan240°＝sin(180°＋60°)＋tan(180°＋60°)
＝－sin60°＋tan60°＝－＋＝.
2．设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B. C．－1 D．1
[答案] A
[解析] ＝＝＝.
又tan(5π＋α)＝m，
∴tanα＝m，∴原式＝.
3．若sin2θ＝且θ∈，则cosθ－sinθ的值是( )
A. B. C．－ D．－
[答案] C
[解析] (cosθ－sinθ)2＝1－sin2θ＝，
∵<θ<，∴cosθ
A．－ B. C. D．－
[答案] A
[解析] 因为00，cosx<0，且|sinx|>|cosx|，
∴tanx<0且|tanx|>1，故选A.
5．已知tanθ＝2，则＝( )
A．2 B．－2 C．0 D.
[答案] B
[解析] ＝＝＝＝－2.
6．已知tan2α＝－2，且满足<α<，则 的值为( )
A. B．－ C．－3＋2 D．3－2
[答案] C
[解析] ＝＝.
又tan2α＝－2＝⇒2tan2α－2tanα－2＝0.解得tanα＝－或.
又<α<，∴tanα＝.原式＝＝－3＋2.
7．已知cos＝，则cos－sin2的值是( )
A. B．－ C. D.
[答案] B
[解析] ∵cos＝cos＝－cos＝－，
而sin2＝1－cos2＝1－＝，
∴原式＝－－＝－.
8．若sinα＋cosα＝tanα，则α的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] 方法一：排除法．
在上，sinα＋cosα>1，而tanα在上小于1，故排除答案A、B；因为sinα＋cosα≤，而在上tanα>，sinα＋cosα与tanα不可能相等，故排除D.
方法二：由sinα＋cosα＝tanα，0<α<，
∴tan2α＝1＋2sinαcosa＝1＋sin2α，
∵0<α<，∴0<2α<π，
∴0
∴1
9．(2018·全国卷Ⅱ)已知α是第二象限角且tanα＝－，则cosα＝__________.
[答案] －
[解析] 本题考查了同角三角函数关系．
∵tanα＝＝－ ①
又sin2α＋cos2α＝1 ②
又α为第二象限角cosα<0，∴cosα＝－.
10．若a＝sin(sin2018°)，b＝sin(cos2018°)，c＝cos(sin2018°)，d＝cos(cos2018°)，则a、b、c、d从小到大的顺序是________．
[答案] b
∴a＝sin(－sin32°)＝－sin(sin32°)<0，
b＝sin(－cos32°)＝－sin(cos32°)<0，
c＝cos(－sin32°)＝cos(sin32°)>0，
d＝cos(－cos32°)＝cos(cos32°)>0，
又0
11．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ (k∈Z)．若f(2018)＝5，则f(2018)＝_____ ___.
[答案] －5
[解析] ∵f(2018)＝asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＝－asinα－bcosβ＝5，
∴asinα＋bcosβ＝－5.
∴f(2018)＝asinα＋bcosβ＝－5.
三、解答题
12．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，求下列各式的值：
(1)sinα－cosα；
(2)sin3＋cos3.
[分析] (1)化简已知条件sinα＋cosα＝，再平方求sinαcosα则可求(sinα－cosα)2，最后得sinα－cosα.
(2)化简cos3α－sin3α，再因式分解并利用(1)求解．
[解析] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sinα＋cosα＝，
两边平方，得1＋2sinα·cosα＝，
故2sinα·cosα＝－.
又0，cosα<0.
(1)(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－＝，∴sinα－cosα＝.
(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α
＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)
＝－×＝－.
13．已知cos＝2sin.求的值．
[解析] ∵cos＝2sin，
∴－sinα＝－2sin，
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
∴＝＝
＝＝＝＝＝
＝＝＝＝.
14．已知sinθ，cosθ是方程x2－(－1)x＋m＝0的两根．
(1)求m的值；
(2)求＋的值．
[解析] (1)由韦达定理可得
，
由①得1＋2sinθ·cosθ＝4－2.
将②代入得m＝－，满足Δ＝(－1)2－4m≥0，故所求m的值为－.
(2)先化简：
＋＝＋＝＋＝＝cosθ＋sinθ＝－1.
15．已知tanα是方程x2＋x＋1＝0的两个根中较小的根，求α的值．
[解析] ∵tanα是方程x2＋x＋1＝0的较小根，
∴方程的较大根是.由根与系数的关系知
tanα＋＝－，即＝－
∴sinα＝－.
解得α＝2kπ＋，或α＝2kπ－，k∈Z.
当α＝2kπ＋(k∈Z)时，tanα＝，cotα＝；
当α＝2kπ－(k∈Z)时，tanα＝－，cotα＝－，不合题意．∴α＝2kπ＋，k∈Z.
年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
三角函数（一）
教学目的
教学内容
一、 知识网络
二、 命题分析
1．从近几年高考来看，对于本单元的考查，一般是以1～3个客观题和1个解答题形式出现，以中、低档题为主．考查的内容主要有：三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识．解答题常与平面向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合，但难度不大．
2．预计在今后的高考中，与三角函数有关的问题将继续作为高考的重点进行考查．其中，角的概念多结合三角函数的基础知识进行考查．三角函数的图像和性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移和伸缩等，多以小而活的选择题和填空题形式出现．形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数将依然作为必考内容出现在高考题中，并与三角恒等变形、平面向量、解三角形等知识结合，形成小型综合题．解三角形问题将会以选择题或填空题形式出现，主要考查正、余弦定理及利用三角函数公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形形状为主．
三、复习建议
1．复习中要注意几个知识点的综合应用，这就要求我们要从整体上掌握本单元的知识结构，注重知识点之间的联系和综合运用并加大练习力度，解决公式的综合运用问题，提高计算能力．
2．掌握正弦函数、余弦函数和y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质，这是历年高考的重点．
3．在训练中，强化“变换”意识，但训练难度不宜过大，立足课本，掌握常见问题的解法，熟记课本中出现的公式和常用到的重要的结论，并注意其变形应用．
4．从“整体处理”的思想高度去认识理解运用“五点法”，尤其是对y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质的理解、应用．
5．在复习过程中，要着重加强三角函数应用意识的训练．
四、知识讲解
第一节 任意角、弧度制及三角函数定义
（一）高考目标
考纲解读
1．了解任意角的概念．
2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
考向预测
1．三角函数的定义及应用是本节考查重点，注意三角函数值符号的确定．
2．主要以选择题、填空题的形式考查．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．角的有关概念
(1)角：角可以看成由 绕着端点从一个位置 到另一个位置所成的 .旋转开始时的射线叫做角α的 ，旋转终止时的射线叫做角α的 ，射线的端点叫做角α的 ．
(2)角的分类：角分 (按角的旋转方向)．
(3)在直角坐标系内讨论角
①象限角：角的顶点在原点，始边在 上，角的终边在第几象限，就说这个角是 ．
②象限界角：若角的终边在 ，就说这个角不属于任何象限，它叫
③与角α终边相同的角的集合：{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(4)弧度制
①1弧度的角： 叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③以“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值与所取的r的大小 ，仅与 有关．
④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝ 弧度．
⑤弧长公式： ，扇形面积公式：S扇形＝l·r＝|α|r2.
2．任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为 ，以比值为 的函数．
3．设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为 ，即 ，其中cosα＝ ，sinα＝ ，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)，则tanα＝ .我们把有向线段OM、MP、AT(或AT′)叫做α的 ．
（三）基础自测
1．与610°角终边相同的角可表示为( )
A．k·360°＋230°，k∈Z B．k·360°＋250°，k∈Z
C．k·360°＋70°，k∈Z D．k·360°＋270°，k∈Z
[答案] B
[解析] 由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终边相同．
2．已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] ∵sinα＝＝－，且α的终边在第四象限，
∴α＝π.
3．若－π>θ>－，则点(tanθ，sinθ)在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] 易知θ在第二象限，则tanθ<0，sinθ>0.
4．若α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值为( )
A. B．－ C．－ D．－
[答案] C
[解析] P(2sin30°，－2cos30°)即P(1，－)，∴r＝2，故sinα＝－，故选C.
5．已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋＝________.
[答案] 0
[解析] 设α终边上任一点P(k，－3k)，
则r＝＝＝|k|.
当k>0时，r＝k，
∴sinα＝＝－，cosα＝＝，
∴10sinα＋＝－3＋3＝0.
当k<0时，r＝－k，∴sinα＝，cosα＝－，∴10sinα＋＝0.
6．若<θ<，则sinθ、cosθ、tanθ的大小关系为__________．
[答案] cosθ
7．若角θ的终边上一点P(－，m)(m>0)，且sinθ＝m，求 tanθ，cosθ的值．
[解析] ∵m>0，则P(－，m)在第二象限，
x＝－，y＝m，r＝，
∴sinθ＝，
又∵sinθ＝m＝，∴＝.
可知m＝，tanθ＝＝－，cosθ＝＝－.
（四）典型例题
1.命题方向：判断角所在象限
[例1] (1)若sinθ·cosθ>0，试确定θ所在象限．
(2)已知α为第二象限角，则为第几象限角？
[分析] (1)先确定sinθ与cosθ的符号，再判断θ所在象限；(2)用不等式表示出α的范围，讨论可得所在象限．
[解析] (1)由sinθ·cosθ>0，得① 或②
由①知θ在第一象限，由②知θ在第三象限，
∴θ在第一或第三象限．
(2)∵α为第二象限角，
∴2kπ＋<α<π＋2kπ，k∈Z.
∴kπ＋<<＋kπ，k∈Z.
k为偶数时k＝2n(n∈Z)，2nπ＋<<2kπ＋为第一象限角；
k为奇数时k＝2n＋1(n∈Z)，2nπ＋<<2nπ＋为第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
[点评] 问题(1)主要是利用三角函数值在各象限的符号来判断，注意θ是满足两个条件的公共解．
问题(2)主要是利用不等式表示出的范围，对k进行讨论，然后利用终边相同角的特点，即可确定所在象限．
跟踪练习1：
设θ为第三象限角，试判断的符号
[解析] ∵θ为第三象限角，∴2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，
kπ＋<
2nπ＋<<2nπ＋π(n∈Z)，此时在第二象限，
(2n＋1)π＋<<(2n＋1)π＋(n∈Z)，
即2nπ＋<<2nπ＋(n∈Z)，此时在第四象限，
∴sin<0，cos>0，∴<0.综上可知：<0.
2.命题方向：弧长公式及扇形面积公式的应用
[例2] 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
[分析] (1)直接套用公式l＝αR可求弧长，利用S弓＝S扇－S△可求弓形面积．
(2)将S扇表示为α的函数，转化为函数求最大值问题．
[解析] (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，l＝，
S弓＝S扇－S△＝××10－×102sin60°＝50(－)．
(2)解法1：扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR.
∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α·＝×α·＝·≤，
∴当α＝即α＝2(α＝－2舍去)时，
扇形面积有最大值.
解法2：由已知2R＋l＝C，∴R＝(l
∴当l＝时，Smax＝，此时α＝＝＝2，
∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.
[点评] 此类问题是将三角函数问题与不等式问题进行综合考查的，扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，在应用时应注意，不要把角度制与弧度制混用，造成度量单位不一致．
跟踪练习2
(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
(2)一扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[解析] (1)设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是（2r＋r）θ.依题意，
得（2r＋r）θ＝πr，
∴θ＝π－2＝(π－2)×()≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，
∴扇形的面积为S＝r2θ＝(π－2)r2.
(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，
即l＝20－2r(0
S＝(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，
所以当且仅当r＝5时S有最大值25.此时
l＝20－2×5＝10，α＝＝2.
所以当α＝2 rad时，扇形的面积取最大值.
3.命题方向：三角函数的定义应用
已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．
[分析] 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r，由于含有参数a，要注意分类讨论．
[解析] r＝＝5|a|.
若a>0，r＝5a，α角在第二象限，sinα＝＝＝，
cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－；
若a<0，r＝－5a，a角在第四象限，
sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
跟踪练习3：
已知角α的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角α在[0,2π)内的值为( )
A.或 B.或π C. D.
[答案] D
[解析] ∴sin>0，cos<0，
∴点(sin，cos)落在第一象限，
又∵tanα＝＝，∴α＝，故选D.
4.命题方向：单位圆的应用
已知：α∈，求证：sinα<α
[分析] 构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形和扇形的面积来证明．
[证明] 设角α与单位圆交于P，则MP＝sinα，AT＝tanα，如图所示， 的长l＝α.连接AP.
△POA的面积＝OA·MP＝sinα.
扇形OAP的面积＝l·OA＝α.
△OAT的面积＝OA·AT＝tanα.
∵S△POA
在(0,2π)内使sinx>cosx成立的x的取值范围是______．
[答案]
[解析] 由三角函数定义结合三角函数线知，在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为.
（五）思想方法点拨：
1．弧度制与角度制不能混用，如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋(k∈Z)都是不正确的．
2．在学习中要正确区分象限角和象限界角(角的终边落在坐标轴上的角)及它们的表示方法，特别是第一象限的角
{α|k·360°<α
4．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更方便、简捷．
5．要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z,0≤α0<2π)，由α0所在象限即可判定出α所在的象限，由已知角的范围求复合角的范围时，通常要用不等式的性质来解决，切忌扩大角的范围．
6．扇形的弧长公式l＝|α|r和面积公式S＝lr，是解决有关圆问题的有效工具．
7．已知角的终边上一点坐标可利用三角函数的定义求三角函数的值，但注意可能情况的讨论．
8．三角函数值的符号在求角的三角函数值及三角恒等变形问题中，显然十分重要，根据三角函数的定义，可简记为：正弦，上正下负，余弦，右正左负．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．若－<α<0，则点Q(cosα，sinα)位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] 由于－<α<0，则cosα>0，sinα<0，即该点位于第四象限．
2．如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] 因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθcosθ<0,2cosθ<0，即，θ为第二象限角．
3．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于( )
A．0 B．2 C．－2 D．2tanα
[答案] A
[解析] ∵角α的终边在直线y＝－x上，
∴α＝kπ＋ (k∈Z)，∴sinα与cosα符号相反，
∴＋＝＋＝0.
4．已知扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
[答案] C
[解析] 设扇形圆心角为αrad，半径为r，弧长为l.
则∴或
∴α＝＝4或α＝1.∴选C.
5．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )
A．2 B．－2 C．2－ D.－2
[答案] C
[解析] 点P位于第一象限，且
tanα＝－cot2＝－tan＝tan，
∵2－∈，∴α＝2－.
6．若A、B、C为△ABC的三个内角，且A
[解析] 解法1：若C为锐角，由已知A
A
A．0 B．± C．0或 D．0或±
[答案] D
[解析] 由cos2θ＋cosθ＝0得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或.当cosθ＝－1时，有sinθ＝0；当cosθ＝时，有sinθ＝±.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或±.
8．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于( )
A．sin B. C. D．2sin
[答案] C
[解析] 设圆的半径为r.由题意知r·sin＝1，
∴r＝，∴弧长l＝α·r＝.
二、填空题
9．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为第__________象限角．
[答案] 一或三
[解析] 当k＝2n时，α＝n·360°＋45°，
当k＝(2n＋1)时，α＝n·360°＋225°，
∴α为第一或第三象限角．
10．函数y＝＋的定义域是________．
[答案] (k∈Z)
[解析] 由题意知即
∴x范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)
11．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于________．
[答案] 2
[解析] 依题意：
解得：m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3，
又sinα<0，∴α的终边落在第三象限，∴n<0，
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
三、解答题
12．已知扇形的面积为S，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．
[解析] 设l为扇形的弧长，由S＝l·r 得l＝，故扇形的周长C＝2r＋.即2r2－C·r＋2S＝0.
由于r存在，故方程有解，因此有Δ＝C2－16S≥0，
即C≥4.
∴周长C的最小值为4.此时，r＝＝，中心角α＝＝2rad
所以当扇形的中心角为2rad时，扇形的周长最小，最小值为4.
13．已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα＋的值．
[解析] ∵P(x，－)(x≠0)，
∴点P到原点的距离r＝.
又cosα＝x，∴cosα＝＝x.
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.
当x＝时，P点坐标为(，－)，
由三角函数的定义，有sinα＝－，＝－，
∴sinα＋＝－－＝－；
当x＝－时，同样可求得sinα＋＝.
14．设f(x)＝，求f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)的值．
[解析] f(x)＋f(60°－x)
＝＋＝＝＝.
∴f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝(f(1°)＋f(59°))＋(f(2°)＋f(58°))＋…＋(f(29°)＋f(31°))＋f(30°)＝29＋＝.
15．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P(1，－2)．求cos的值．
[解析] ∵P(1，－2)是角α终边上一点，由此求得
r＝|OP|＝，
∴sinα＝－，cosα＝.
∵sin2α＝2sinαcosα＝－，
cos2α＝cos2α－sin2α＝－.
∴cos＝cos2αcos＋sin2αsin＝·＋·＝－.
第二节 同角的三角函数基本关系式与诱导公式
（一）高考目标
考纲解读
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π±α，±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
考向预测
1．同角三角函数间的关系，可能在与向量、解析几何、解三角形、数列等知识的交汇点处命题．
2．利用诱导公式求某角的三角函数值或求某三角函数式的值．
3．借助诱导公式对三角函数式进行化简或证明．
4．多以选择题或填空题的形式考查诱导公式．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系： ＋＝1(α∈R)．
(2)商数关系：
2．诱导公式(填表)：α∈R，有
－α
－α
＋α
π－α
π＋α
－α
＋α
2π－α
2kπ＋α
正弦
余弦
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说±α，k∈Z的三角函数值等于“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时，原函数值的符号．”
3．α角的终边与180°＋α角的终边关于 对称，α角的终边与－α角的终边关于 对称．
（三）基础自测
1．(2018·全国卷Ⅰ)cos300°＝( )
A．－ B．－ C. D.
[答案] C
[解析] 该题考查三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值．
cos300°＝cos(360°－60°)＝cos(－60°)＝cos60°＝.
2．(2018·无锡调研)若3sinα＋cosα＝0，则的值为( )
A. B. C. D．－2
[答案] A
[解析] 本小题主要考查同角三角函数基本关系式和倍角公式．
∵3sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－，
∴原式＝＝＝＝.
3．对非零实数x，y，z，定义一种运算“⊗”：x⊗y∈R；x⊗x＝1；x⊗(y⊗z)＝(x⊗y)z.或f(x)＝sinx⊗cosx，
则f＝( )
A．－ B. C. D.
[分析] 本题考查学生的思维能力、学习新知识、理解新定义的能力．切入点是：通过“⊗”运算的规则，
找出x⊗y.
[答案] D
[解析] 由x⊗1＝x⊗(x⊗x)＝(x⊗x)x＝x，
x＝x⊗1＝x⊗(y⊗y)＝(x⊗y)y，得x⊗y＝，所以f(x)＝sinx⊗cosx＝tanx，所以f＝tan＝.
4．(2018·温州高三摸底)若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝( )
A. B．2 C．－ D．－2
[答案] B
[解析] 将已知等式两边平方得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，故tanα＝2.
5．(2018·曲塘中学期中)已知＋＝，则sin2α＝________.
[答案] －
[解析] 由已知得sinα＋cosα＝sinαcosα，两边平方得1＋2sinαcosα＝sin2αcos2α，
化简得4sin22α－9sin2α－9＝0，则sin2α＝－或sin2α＝3(舍去)．
故sin2α＝－.
6．已知sin＝，则cos的值为________．
[答案]
[解析] ∵＋α＝＋，
∴cos＝cos＝－sin＝－.
7．已知α为第四象限角，且cosα＝，求1＋tan2α＋的值．
[解析] ∵α为第四象限角，且cosα＝，
∴sinα＝－＝－＝－，
tanα＝＝－，
∴1＋tan2α＋＝1＋(－)2＋＝1＋3＋＝.
（四）典型例题
1.命题方向：同角三角函数的关系
[例1] α是第四象限角，tanα＝－，则sinα等于 ( )
A. B．－ C. D．－
[解析] 解法1：∵，
解得sinα＝±.又∵α为第四象限角，
∴sinα<0，∴sinα＝－.故选D.
解法2：设tanα1＝，α1为锐角，
如图在Rt△ABC中，由tanα1＝，
设AC＝5，BC＝12，则AB＝13，
∴sinα1＝，
∵α为第四象限角，∴sinα<0，从而sinα＝－.
解法3：∵α是第四象限角，∴sinα<0，排除A、C，
又tanα＝＝－，由勾股数组5,12,13知排除B，∴选D.
[答案] D
[点评] 记住常用的勾股数组非常方便．常用的有：①3,4,5 ②5,12,13 ③7,24,25以及它们的倍数，如3k,4k,5k k∈N＋.
跟踪练习1：(2018·全国卷Ⅰ理)记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝( )
A. B．－ C. D．－
[答案] B
[解析] sin80°＝＝＝，
所以tan100°＝－tan80°＝－＝－.
2.命题方向：sinα±cosα与sinαcosα的关系
[例2] 已知－
(2)求的值．
[分析] (1)可与sin2x＋cos2x＝1联立求出sinx和cosx，再代入求值，(2)中注意化简的方向性和目的性：切化弦、扩角降幂，目的是化简为关于sinx和cosx的代数式．
[解析] 解法1：联立方程：
由①得sinx＝－cosx，将其代入②，整理得
25cos2x－5cosx－12＝0.
因为－
解法2：①sinx＋cosx＝
⇒＝(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx⇒2sinxcosx＝－⇒(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝，
由－
∴sinx－cosx<0，从而可得sinx－cosx＝－.
(2)由(1)得，＝
＝sinxcosx(2－cosx－sinx)＝×＝－.
[点评] (1)在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα(或cosα－sinα)中的一个，可利用方程的思想求出另外两个的值；(2)注意整体代入的思想方法．
跟踪练习2：
已知sinα，cosα是关于x的二次方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两根，求2tanα·的值．
[分析] 先将所给三角函数式化简，由方程的判别式Δ≥0，结合韦达定理求解．
[解析] 2tanα·＝·＝
由根与系数关系可得sinα＋cosα＝－且＝sinα·cosα＝
＝＝，所以m＝.
故原式＝＝.
3.命题方向：利用诱导公式进行化简与求值
[例3] 已知f(α)＝；
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．
[分析] 显然应用到诱导公式，可以直接从六组诱导公式中合理选用．
[解析] (1)f(α)＝＝－cosα.
(2)∵cos＝－sinα，
∴sinα＝－，cosα＝－＝－，
∴f(α)＝.
[点评] 熟练应用诱导公式是解答本题的关键．诱导公式应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．(能求值的要求出值)
[例4] 化简：
[分析] 化简上式，要认真观察“角”，显然需利用诱导公式，注意诱导公式的合理选用．
[解析] 解法1：
原式＝
＝
＝＝＝－·＝－1.
解法2：原式＝
＝＝＝－1.
[点评] 解决此类问题需合理运用诱导公式，用公式时需特别注意化简后函数的名称与符号，一定要细心计算，以免出错．
跟踪练习3：
化简：＋
[分析] 要认真观察“角”，运用诱导公式时特别注意函数名称与符号．
[解析] 原式＝＋
＝＋
＝－＝
＝＝1.
4.命题方向：三角函数公式在解三角形中的应用
[例5] 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
[分析] 由诱导公式可化简得到sinA＝sinB，cosA＝cosB，进而由sin2A＋cos2A＝1可求出A，进一步即可求出B和C.
[解析] 由已知得sinA＝sinB，cosA＝cosB，两式平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±.
若cosA＝－，则cosB＝－，
此时，A，B均为钝角，不可能，
∴cosA＝，故A＝，
cosB＝cosA＝⇒B＝，
C＝π－(A＋B)＝.
[点评] 1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A＋B＝π－C；
2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝.
2．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．
跟踪练习4：
在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.
[解析] ∵△ABC是锐角三角形，
∴A＋B>，即>A>－B>0，
∴sinA>sin，即sinA>cosB；
同理sinB>cosC，sinC>cosA，
∴sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.
（五）思想方法点拨
1．计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：
(1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；
(2)正化主：当已知角是大于360°的角时，可用k·360°＋α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间(0°，360°)上的角的三角函数值；
(3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号．要注意公式的合理选择和方法的灵活性．
3．在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要注意用“是否是同角”来区分和选用公式．
4．在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取．应用公式时把角α看成锐角，如果出现kπ±α的形式时，常对k值是奇数还是偶数进行分类讨论，以确定角所在的象限．
5．在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，一般思路是将切化弦，但在某些特殊问题中就不要化切为弦，只须利用倒数关系即可，否则解法较繁，如“求证＝tanαcotβ”，利用倒数关系可得简证．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．sin600°＋tan240°的值是( )
A．－ B. C．－＋ D.＋
[答案] B
[解析] sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan240°＝sin(180°＋60°)＋tan(180°＋60°)
＝－sin60°＋tan60°＝－＋＝.
2．设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B. C．－1 D．1
[答案] A
[解析] ＝＝＝.
又tan(5π＋α)＝m，
∴tanα＝m，∴原式＝.
3．若sin2θ＝且θ∈，则cosθ－sinθ的值是( )
A. B. C．－ D．－
[答案] C
[解析] (cosθ－sinθ)2＝1－sin2θ＝，
∵<θ<，∴cosθ
A．－ B. C. D．－
[答案] A
[解析] 因为0
∴tanx<0且|tanx|>1，故选A.
5．已知tanθ＝2，则＝( )
A．2 B．－2 C．0 D.
[答案] B
[解析] ＝＝＝＝－2.
6．已知tan2α＝－2，且满足<α<，则 的值为( )
A. B．－ C．－3＋2 D．3－2
[答案] C
[解析] ＝＝.
又tan2α＝－2＝⇒2tan2α－2tanα－2＝0.解得tanα＝－或.
又<α<，∴tanα＝.原式＝＝－3＋2.
7．已知cos＝，则cos－sin2的值是( )
A. B．－ C. D.
[答案] B
[解析] ∵cos＝cos＝－cos＝－，
而sin2＝1－cos2＝1－＝，
∴原式＝－－＝－.
8．若sinα＋cosα＝tanα，则α的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] 方法一：排除法．
在上，sinα＋cosα>1，而tanα在上小于1，故排除答案A、B；因为sinα＋cosα≤，而在上tanα>，sinα＋cosα与tanα不可能相等，故排除D.
方法二：由sinα＋cosα＝tanα，0<α<，
∴tan2α＝1＋2sinαcosa＝1＋sin2α，
∵0<α<，∴0<2α<π，
∴0
∴1
9．(2018·全国卷Ⅱ)已知α是第二象限角且tanα＝－，则cosα＝__________.
[答案] －
[解析] 本题考查了同角三角函数关系．
∵tanα＝＝－ ①
又sin2α＋cos2α＝1 ②
又α为第二象限角cosα<0，∴cosα＝－.
10．若a＝sin(sin2018°)，b＝sin(cos2018°)，c＝cos(sin2018°)，d＝cos(cos2018°)，则a、b、c、d从小到大的顺序是________．
[答案] b
∴a＝sin(－sin32°)＝－sin(sin32°)<0，
b＝sin(－cos32°)＝－sin(cos32°)<0，
c＝cos(－sin32°)＝cos(sin32°)>0，
d＝cos(－cos32°)＝cos(cos32°)>0，
又0
11．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ (k∈Z)．若f(2018)＝5，则f(2018)＝_____ ___.
[答案] －5
[解析] ∵f(2018)＝asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＝－asinα－bcosβ＝5，
∴asinα＋bcosβ＝－5.
∴f(2018)＝asinα＋bcosβ＝－5.
三、解答题
12．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，求下列各式的值：
(1)sinα－cosα；
(2)sin3＋cos3.
[分析] (1)化简已知条件sinα＋cosα＝，再平方求sinαcosα则可求(sinα－cosα)2，最后得sinα－cosα.
(2)化简cos3α－sin3α，再因式分解并利用(1)求解．
[解析] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sinα＋cosα＝，
两边平方，得1＋2sinα·cosα＝，
故2sinα·cosα＝－.
又
(1)(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－＝，∴sinα－cosα＝.
(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α
＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)
＝－×＝－.
13．已知cos＝2sin.求的值．
[解析] ∵cos＝2sin，
∴－sinα＝－2sin，
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
∴＝＝
＝＝＝＝＝
＝＝＝＝.
14．已知sinθ，cosθ是方程x2－(－1)x＋m＝0的两根．
(1)求m的值；
(2)求＋的值．
[解析] (1)由韦达定理可得
，
由①得1＋2sinθ·cosθ＝4－2.
将②代入得m＝－，满足Δ＝(－1)2－4m≥0，故所求m的值为－.
(2)先化简：
＋＝＋＝＋＝＝cosθ＋sinθ＝－1.
15．已知tanα是方程x2＋x＋1＝0的两个根中较小的根，求α的值．
[解析] ∵tanα是方程x2＋x＋1＝0的较小根，
∴方程的较大根是.由根与系数的关系知
tanα＋＝－，即＝－
∴sinα＝－.
解得α＝2kπ＋，或α＝2kπ－，k∈Z.
当α＝2kπ＋(k∈Z)时，tanα＝，cotα＝；
当α＝2kπ－(k∈Z)时，tanα＝－，cotα＝－，不合题意．∴α＝2kπ＋，k∈Z.
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