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2020届二轮复习三角函数（三）学案（全国通用）
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年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
三角函数（三）
教学目的
教学内容
第五节 两角和与差的三角函数
（一）高考目标
考纲解读
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
考向预测
1．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容．
2．公式逆用、变形用(尤其是余弦二倍角的变形用)是高考热点．
3．在选择题、填空题、解答题中都可能考查．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ (Cα－β)
cos(α＋β)＝ (Cα＋β)
sin(α－β)＝ (Sα－β)
sin(α＋β)＝ (Sα＋β)
tan(α－β)＝ (Tα－β)
tan(α＋β)＝ (Tα＋β)
前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是a≠kπ＋，β≠kπ＋，k∈Z，且α＋β≠kπ＋(Tα＋β需满足)，α－β≠kπ＋(Tα－β需满足)k∈Z时成立，否则是不成立的．当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式Tα±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法求解．
2．要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(α＋β)－(β－α)等等．
3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为：
tanα±tanβ＝ ，
tanαtanβ＝ ＝ .
（三）基础自测
1．(2018·福建理)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
2．已知α∈，sinα＝，则tan等于( )
A. B．7 C．－ D．－7
[答案] A
[解析] ∵α∈，sinα＝，
∴cosα＝－，∴tanα＝－.
而tan＝＝＝.
3．(2018·烟台模拟)已知α，β都是锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝，则cosβ等于( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] ∵α∈，β∈，
∴α＋β∈(0，π)，由sinα＝，得α＝，又由cos(α＋β)＝，得α＋β＝，故β＝，cosβ＝.
4．tan15°＋cot15°等于( )
A．2 B．2＋ C．4 D.
[分析] 可切割化弦利用倍角公式求解也可将15°转换成45°－30°或者15°＝求解．
[答案] C
[解析] 解法1：tan15°＋cot15°＝＋＝＝＝4.
解法2：tan15°＋cot15°＝tan(45°－30°)＋＝＋
＝＋＝＋＝＋＝4.
解法3：tan15°＋cot15°＝tan＋＝＋＝＝4.
5．函数y＝sinx＋cos的最大值和最小值分别为________．
[答案] ，－
[解析] y＝sinx＋cosxcos＋sinxsin＝sinx＋cosx＝sin.
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝；
当x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－.
6．化简：cos＋sin＝________.
[答案] cosα
[解析] cos＋sin＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα
＝cosα－sinα＋cosα＋sinα＝cosα.
7．若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，求α＋β的值．
[解析] ∵(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝4，
∴(tanα＋tanβ)＝3(1－tanαtanβ)，
即tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，
∴tan(α＋β)＝＝，
又α、β均为锐角，
∴0<α＋β<π，∴α＋β＝.
（四）典型例题
1.命题方向：化简求值问题
[例1] 求下列各式的值：
(1)(－)
(2)·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°
[分析] 角求值问题，应从角的关系、函数关系、运算关系上找联系，构造利用公式的条件．
[解析] (1)∵－＝－＝
＝
＝＝＝32cos20°.
∴原式＝32.
(2)·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°
＝＋－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝＝2.
[点评] 在三角函数的化简、求值、证明中，常常对条件和结论进行合理变换、转化，特别是角的变化、名称的变化、切化弦、常数代换、幂的代换、结构变化都是常用的技巧和方法．
跟踪练习1
求[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·的值．
[解析] 原式＝·sin80°
＝(2sin50°＋2sin10°·)·cos10°
＝2[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)] ＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
[点评] 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
(1)化为特殊角的三角函数值．
(2)化为正负相消的项，消去求值．
(3)化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值．
(4)给值(或式)求值.
2.命题方向：条件求值
[例2] 已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，求cosα的值．
[分析] (1)因为30°是特殊角，所以可用和角公式展开后，设法求值．
(2)观察条件中角与所求值中角之间的关系，利用和差关系，整体求解．
[解析] 方法一：∵sin(30°＋α)＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝cosα＋sinα＝，
∴cosα＋sinα＝.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
∴由①得cosα＝－sinα，代入②得
100sin2α－60sinα＋11＝0.
∴sinα＝＝.
又∵60°<α<150°，
∴sinα>.而sinα＝<，∴只取sinα＝.代入①，得
cosα＝－·＝.
方法二：把30°＋α看作整体，可求cos(30°＋α)的值．
∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.
∵sin(30°＋α)＝，∴cos(30°＋α)＝－.
∴sin(30°＋α)＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝cosα＋sinα＝，①
cos(30°＋α)＝cos30°·cosα－sin30°·sinα＝cosα－sinα＝－.②
由①②，得cosα＝.
方法三：∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.
∵sin(30°＋α)＝，∴cos(30°＋α)＝－.
∴cosα＝cos[(30°＋α)－30°]
＝cos(30°＋α)·cos30°＋sin(30°＋α)·sin30°＝－×＋×＝.
[点评] (1)方法一想法简单，但计算麻烦，且需判断sinα的范围，从而得cosα值．这不仅麻烦，而且容易漏掉，导致错误．方法二注意到了把30°＋α看作整体，先求出cos(30°＋α)＝－，再将两式展开，解方程组即可．比方法一大大简化．而方法三注意到了角之间的关系，α＝(30°＋α)－30°，从而快捷地求出cosα的值，计算简便但技巧性较强，有一定思维难度．
(2)方法一、方法二都体现了方程思想，方法三体现了变换思想．
跟踪练习2
(2018·襄樊)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.
(1)求tan2α的值；
(2)求角β.
[解析] (1)由cosα＝，0<α<，得
sinα＝＝＝.
∴tanα＝＝4.
于是tan2α＝＝＝－.
(2)由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)得，
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.
∴β＝.
3.命题方向：给值求解问题
[例3] 已知3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，且α，β都是锐角，求α＋2β的值．
[分析] (1)欲求角，应先求其某种三角函数值．
(2)从已知条件找出角α＋2β的范围，确定其值．
[解析] 方法一：由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，
即cos2β＝3sin2α.又由3sin2α－2sin2β＝0，
得sin2β＝sin2α.
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α
＝3sin2α·cosα－3cosα·sin2α＝0.
又∵0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α＋2β<270°.
故α＋2β＝90°.
方法二：由3sin2α＋2sin2β＝1得
3sin2α＝cos2β①
又由3sin2α－2sin2β＝0得sin2α＝sin2β②
①÷②得tanα＝cot2β.
∵0°<α<90°，∴0°<2β<90°，
∴cot(90°－α)＝cot2β，又0°<90°－α<90°，0°<2β<90°，
∴α＋2β＝90°.
跟踪练习3
已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sinα的值；
(2)求β的值．
[解析] (1)∵tan＝，
∴sinα＝sin＝2sincos＝＝＝＝.
(2)∵0<α<，sinα＝，∴cosα＝.
又0<α<<β<π，∴0<β－α<π.
由cos(β－α)＝，得0<β－α<.
∴sin(β－α)＝＝，
∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝×＋×＝＝.
由<β<π得β＝π.
(或求cosβ＝－，得β＝π)．
（五）思想方法点拨
理解和运用两角和与差的三角函数公式需注意的几个问题：
1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系．
①掌握好公式的内在联系及其推导线索，能帮助我们理解和记忆公式，是学好这部分内容的关键
②诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况．α、β中若有为的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、简便．
2．公式的逆用及有关变形
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
sinα±cosα＝sin.
3．角的变换
α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)．
注意：在公式T(α±β)中，α、β、α±β必须使等式两端均有意义，即α、β、α±β都不能取＋2kπ(k∈Z)．否则，利用诱导公式求解．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·新课标文)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝( )
A．－ B. C．－ D.
[答案] A
[解析] 本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．
由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，
由两角和的正弦公式可得sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝(－)×＋(－)×＝－.
2．(2018·济南模拟)sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( )
A．0 B. C. D．1
[答案] D
[解析] sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°.
3．已知－<α<，sin＝，则sinα＝( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] ∵－<α<，∴－<－α<，
又sin＝，∴cos＝，
∴sinα＝sin＝，故选A.
4．已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是( )
A．－7 B．7 C．－ D.
[答案] B
[解析] 由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，
则tanα＝－.
∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.
5．已知cos＝，则sin2α的值为( )
A. B．－ C．－ D.
[答案] C
[解析] 方法1：sin2α＝cos(－2α)＝2cos2(α－)－1＝－，故选C.
方法2：cos(α－)＝cosα＋sinα＝
两边平方得 ＋sin2α＝，∴sin2α＝－，故选C.
6．已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x、y为锐角，则tan(x－y)的值是( )
A. B．－ C．± D．±
[答案] B
[解析] 由已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，得
，
相加得cos(x－y)＝，且x、y均为锐角，
∴sin(x－y)＝，∴tan(x－y)＝－，故选B.
7．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值等于( )
A．－ B．－ C. D.
[答案] B
[解析] ∵sin＝－，－β∈
∴－β＝－①
∵cos＝，α，β∈，
∴α－∈，∴α－＝－或②
由①②有或(舍去)，
∴cos(α＋β)＝cos＝－.
8．在△ABC中，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则B的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
[答案] D
[解析] 由条件知2tanB＝tanA＋tanC(※)
显然B为锐角，若B为钝角，则tanA>0，tanC>0，tanB<0(※)式不成立．
∵tanB＝－tan(A＋C)＝－＝－，且tanB≠0，
∴tanAtanC＝3，
∴(2tanB)2＝(tanA＋tanC)2＝tan2A＋tan2C＋2tanAtanC≥4tanAtanC＝12，因此tan2B≥3，
∵tanB>0，∴tanB≥，≤B<，
即B的取值范围是，选D.
二、填空题
9．(2018·乐山模拟)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β∈，则β＝________.
[答案]
[解析] ∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)，
∴sinα＝，sin(α＋β)＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝，
∵0<β<，∴β＝.
10．函数y＝sinsin的最小正周期T＝______.
[答案] π
[解析] 解法1：f(x)＝sinsin＝－＝－cos＋.
∴T＝π.
解法2：y＝cosx＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，
∴T＝π.
11．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝________.
[答案]
[解析] 由题意知：
①＋②⇒cosαcosβ＝，③
②－①⇒sinαsinβ＝，④
得：tanαtanβ＝.
三、解答题
12．(2011·北京海淀区模拟)已知tanα＝2.求：
(1)tan的值；
(2)的值．
[解析] (1)∵tan＝，且tanα＝2，
∴tan＝＝－3.
(2)＝＝＝tanα＋＝.
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B
两点．已知A、B的横坐标分别为、.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
[解析] 由已知得cosα＝，cosβ＝.
∵α、β为锐角，∴sinα＝＝，
sinβ＝＝，
∴tanα＝7，tanβ＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan2β＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵α、β为锐角，0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
14．(文)若sinA＝，sinB＝，且A，B均为钝角，求A＋B的值．
[分析] 欲求A＋B，先求A＋B的一个三角函数值，然后再由A、B的范围求得A＋B的值．
[解析] ∵A、B均为钝角且 sinA＝，sinB＝，
∴cosA＝－＝－＝－，
cosB＝－＝－＝－，
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－×－×＝①
又∵
[点评] (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
(理)已知sin＝，cos2α－sin2α＝，求sinα及tan.
[解析] 由题设条件，应用两角差的正弦公式得：
＝sin＝(sinα－cosα)，
即sinα－cosα＝①
由题设得cos2α－sin2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－(cosα＋sinα)，
故cosα＋sinα＝－②
由①式和②式得：sinα＝，cosα＝－.
∴tanα＝－，
tan＝＝＝＝.
15．设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)若函数y＝g(x)的图像是由y＝f(x)的图像向右平移个单位长度得到的，求y＝g(x)的单调增区间．
[分析]
[解析] (1)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx
＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin(2ωx＋)＋2，
依题意得＝，故ω的值为.
(2)依题意得g(x)＝sin＋2＝sin＋2，
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋ (k∈Z)，解得
kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
故y＝g(x)的单调增区间为 (k∈Z)．
第六节 二倍角的三角函数
（一）高考目标
考纲解读
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(对半角公式不要求记忆)．
考向预测
1．灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容．
2．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题．
3．多以解答题的形式呈现，属中、低档题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝ ；
cos2α＝ ＝ ＝ ；
tan2α＝
2．升、降幂公式主要用于化简、求值和证明．
其形式为： 升幂公式1＋cos2α＝ ， 1－cos2α＝ .
降幂公式cos2α=，sin2α. =
3.辅助角公式
asinα+bcosα=
（三）基础自测
1．(2011·新乡模拟)函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为( )
A．－3,1 B．－2,2 C．－3， D．－2，
[答案] C
[解析] f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋，
∴sinx＝时，f(x)max＝，
sinx＝－1时，f(x)min＝－3，故选C.
2．(2010·福建文)计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 本题主要考查二倍角公式
1－2sin2225°＝cos45°＝
3．(2010·江西理)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 如图，设CB＝AC＝1，则AB＝，又取AB的中点为H，连CH，则CH⊥ AB，由题意知EH＝，CH＝，得tan∠ECH＝.
故tan∠ECF＝tan2∠ECH＝， 选D.
4.＝( )
A. B. C．2 D.
[答案] C
[解析] 原式＝＝＝2·＝2，故选C.
5．(2010·浙江理)函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是________．
[答案] π
[解析] f(x)＝sin(2x－)－2sin2x＝sin(2x－)－(1－cos2x)＝sin(2x－)＋cos2x－
＝sin2xcos－cos2xsin＋cos2x－＝sin2x＋cos2x－＝sin(2x＋)－，
所以T＝＝＝π.
6．化简的结果是__________．
[答案] cos1
[解析] 原式＝＝＝＝cos1.
7．已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最大值、最小值．
[解析] (1)f(x)＝cos4x－sin4x－2sinxcosx＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x
＝cos2x－sin2x＝cos，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)当cos＝1时，f(x)max＝；
当cos＝－1时，f(x)min＝－.
（四）、典型例题
1.命题方向：三角函数的化简与求值
[例1] 化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β.
[分析]观察可见：有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂次关系可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦，可异名化同名等等．
[解析]解法1：(从“角”入手，复角化单角)
原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
解法2：(从“名”入手，异名化同名)
原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－cos2α·cos2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos2α·cos2β
＝cos2β－cos2β·
＝－cos2β＝－cos2β＝.
解法3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝·＋·－cos2α·cos2β
＝(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－·cos2α·cos2β
＝＋＝.
[点评] 对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同，出发点不同，化简的方法也不惟一．对于三角函数式化简的目标是：(1)次数尽可能低；(2)角尽可能少；(3)三角函数名称尽可能统一；(4)项数尽可能少．
跟踪练习1
计算：cos·cos·cos.
[分析] 构造运用二倍角公式，由诱导公式、恒等式求解．
[解析] cos·cos·cos＝
＝＝＝＝＝.
2.命题方向：三角函数式的证明
[例2] (1)求证＝tan4A.
(2)已知：sinβ＝m·sin(2α＋β)，其中m≠0,2α＋β≠kπ(k∈Z)．求证：tan(α＋β)＝tanα(m≠1)．
[分析] 对(1)容易看出，左边较右边复杂，因此应从左边入手，化4A为2A，再化2A为A，然后将弦化为切．
(2)是一个条件等式的证明，应仔细观察条件与结论的差异，从解决差异入手，结论中为α＋β与α的函数，而已知是β与2α＋β的函数，将β，2α＋β用α＋β，α表示是解决本题的正确方向．
[解析] (1)左边＝＝2＝2＝tan4A＝右边．
∴等式成立．
(2)由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m·sin[(α＋β)＋α]，
即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，
即(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)cos(α＋β)sinα
跟踪练习2
求证：＝sin2α.
[证明] 左边＝＝·cos2α＝tanα·cos2α＝·cos2α
＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
所以原等式得证.
3.命题方向：辅助角公式的考查
[例3] (2010·浙江文)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足
S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sinA＋sinB的最大值．
[分析] 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查了三角运算能力
[解析] (1)由题意可知，absinC＝·2abcosC，
∴tanC＝，
又∵0
＝sinA＋sin(－A)＝sinA＋cosA＋sinA＝sinA＋cosA＝sin(A＋)≤.
当且仅当A＋＝，即A＝时取等号．
即当△ABC为正三角形时取等号，
∴sinA＋sinB的最大值是.
sinA＋cosA＝sin(A＋)≤.
跟踪练习3
已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若对任意的a∈R，函数y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值，并求函数y＝f(x)，x∈R的单调增区间．
[解析] (1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1)
＝2－1＝2sin－1.
由－1≤sin≤1，
得－3≤2sin－1≤1.
可知函数f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，y＝f(x)的周期为π，又由ω>0，得＝π.即得ω＝2.
于是有f(x)＝2sin－1，
再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以y＝f(x)的单调增区间为
(k∈Z)．
（五）思想方法点拨
1．三角函数式的化简
(1)化简的要求
①能求出值的应求出值；
②尽量使三角函数种数最少；
③尽量使项数最少；
④尽量使分母不含三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(2)化简的思路
对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
(3)化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等．
2．三角恒等式的证明
①证明三角恒等式的方法：
观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等．
②证明三角条件等式的方法
首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等等．
3．辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中
.
φ的终边所在的象限由a，b的符号来确定，角φ称为辅助角．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2010·全国卷Ⅱ)已知sinα＝，则cos(π－2α)＝( )
A．－ B．－ C. D.
[答案] B
[解析] 本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍半角公式的应用．
由诱导公式得cos(π－2α)＝－cos2α，
∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
∴cos(π－2α)＝－.
2．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是( )
A．1 B. C. D．1＋
[答案] C
[解析] f(x)＝＋sin2x＝sin＋，
又x∈，∴2x－∈，
f(x)max＝1＋＝，故选C.
3．已知tan2α＝－2，且满足<α<，则 的值为( )
A. B．－ C．－3＋2 D．3－2
[答案] C
[解析] ＝＝.
又tan2α＝－2＝
∴2tan2α－2tanα－2＝0.解得tanα＝－或.
又<α<，∴tanα＝.
原式＝＝－3＋2.故选C.
4．(2010·新课标理)若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－ B. C．2 D．－2
[答案] A
[解析] 本题综合考查了同角三角函数的基本公式以及二倍角公式的逆运用．
∵cosα＝－且α是第三象限的角，∴sinα＝－，
∴＝＝＝＝
＝＝＝－，故选A.
5．已知sinα＝，且α∈，则的值为( )
A．－ B．－ C. D.
[答案] B
[解析] ∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－，
∴＝＝＝＝－.
6．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为( )
A．5 B. C. D.
[答案] C
[解析] f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝sin2x－2cos2x－2＝sin(2x－θ)－2，
其中tanθ＝，
所以f(x)的最大值是－2＝.故选C.
7.＋2的化简结果是( )
A．4cos4－2sin4 B．2sin4 C．2sin4－4cos4 D．－2sin4
[答案] C
[解析] ＋2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，
∵π<4<，∴cos4
8．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于( )
A. B. C．－ D．－
[答案] D
[解析] ∵5π<θ<6π，∴<<，∴sin<0，
∵a＝cos＝1－2sin2，
∴sin＝－.
二、填空题
9．设a＝cos6°－sin6°，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为______(由小到大排列)．
[答案] a
∵y＝sinx在(0°，90°)上单增，∴a
[答案] sin
[解析] 原式＝＝＝＝＝sin.
11．若sinα·cosβ＝，则cosα·sinβ的取值范围是________．
[答案]
[解析] 解法一：设t＝cosα·sinβ，
又sinα·cosβ＝，∴sinα·cosβ·sinβ·cosα＝t，
即sin2α·sin2β＝2t，|sin2α·sin2β|≤1.
∴2|t|≤1，即－≤t≤.
∴cosα·sinβ的取值范围是.
解法二：由sinα·cosβ＝知sin2α·cos2β＝.
则cos2α·sin2β＝(1－sin2α)(1－cos2β)＝1－(sin2α＋cos2β)＋sin2αcos2β＝－(sin2α＋cos2β)
≤－2＝，所以－≤cosα·sinβ≤.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝asinx·cosx－acos2x＋a＋b.(a>0)
(1)x∈R，写出函数的单调递减区间；
(2)设x∈[0，]，f(x)的最小值是－2，最大值是，求实数a，b的值．
[解析] (1)f(x)＝a(sinx·cosx－cos2x＋)＋b＝a×(sin2x－×＋)＋b
＝a·sin(2x－)＋b
∵a>0，x∈R，∴由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)
得，f(x)的递减区间是[kπ＋π，kπ＋π](k∈Z)
(2)∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，]
∴sin(2x－)∈[－，1]
∴函数f(x)的最小值是－a＋b＝－2
最大值a＋b＝，解得a＝2，b＝－2.
13．在△ABC中，已知a·cos2＋c·cos2＝b.
(1)求证：a、b、c成等差数列；
(2)求角B的范围．
[解析] (1)由条件得a·＋c·＝b.
∴a＋c＋(acosC＋ccosA)＝3b.
∴a＋c＋a·＋c·＝3b，
∴a＋c＝2b，即a、b、c成等差数列．
(2)cosB＝＝＝≥＝.
∵B∈(0，π)，∴0
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值．
(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．
[分析] 本题主要考查二倍角的正弦、余弦、两角和的正弦、函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦等基础知识，考查基本能力．一般思路先整理、化简f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．
[解析] 由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin.
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈，
从而cos＝－＝－.
所以cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝.
15．已知向量a＝(cosx＋2sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)．设函数f(x)＝a·b＋.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若函数y＝f(x＋φ)为偶函数，试求符合题意的φ的值．
[分析] 写出y＝f(x)的表达式是解题的关键．对于(1)，结合题意，利用数量积的坐标运算及三角变换公式得到函数y＝f(x)的表达式，进而求出函数的单调减区间；对于(2)，函数y＝f(x＋φ)为偶函数的实质就是求y轴是函数y＝f(x＋φ)的一条对称轴．考虑到y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，故可利用整体思想来解决．
[解析] (1)由已知可得f(x)＝(cosx＋2sinx)(cosx－sinx)＋2sinxcosx＋
＝cos2x－sinxcosx＋2sinxcosx－2sin2x＋2sinxcosx＋
＝cos2x＋3sinxcosx－2sin2x＋
＝(1＋cos2x)＋sin2x＋(cos2x－1)＋
＝(sin2x＋cos2x)＝sin.
由2kπ＋<2x＋<2kπ＋(k∈Z)得：kπ＋
(2)由(1)知y＝f(x＋φ)＝sin.
由于y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，
令2x＋2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝(k∈Z)．
因为y＝f(x＋φ)为偶函数，所以令x＝＝0，解得φ＝＋(k∈Z)．
故符合题意的φ＝＋(k∈Z)．
[点评] 注重向量与三角函数的交汇是近几年新课标高考命题的一个特色．熟练掌握数量积的定义及运算法则、三角函数的诱导公式、两角和与差的公式等是解决这类题目的一个前提．复习时要将上述知识融会贯通，有针对性地加强训练．
年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
三角函数（三）
教学目的
教学内容
第五节 两角和与差的三角函数
（一）高考目标
考纲解读
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
考向预测
1．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容．
2．公式逆用、变形用(尤其是余弦二倍角的变形用)是高考热点．
3．在选择题、填空题、解答题中都可能考查．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ (Cα－β)
cos(α＋β)＝ (Cα＋β)
sin(α－β)＝ (Sα－β)
sin(α＋β)＝ (Sα＋β)
tan(α－β)＝ (Tα－β)
tan(α＋β)＝ (Tα＋β)
前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是a≠kπ＋，β≠kπ＋，k∈Z，且α＋β≠kπ＋(Tα＋β需满足)，α－β≠kπ＋(Tα－β需满足)k∈Z时成立，否则是不成立的．当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式Tα±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法求解．
2．要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(α＋β)－(β－α)等等．
3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为：
tanα±tanβ＝ ，
tanαtanβ＝ ＝ .
（三）基础自测
1．(2018·福建理)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
2．已知α∈，sinα＝，则tan等于( )
A. B．7 C．－ D．－7
[答案] A
[解析] ∵α∈，sinα＝，
∴cosα＝－，∴tanα＝－.
而tan＝＝＝.
3．(2018·烟台模拟)已知α，β都是锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝，则cosβ等于( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] ∵α∈，β∈，
∴α＋β∈(0，π)，由sinα＝，得α＝，又由cos(α＋β)＝，得α＋β＝，故β＝，cosβ＝.
4．tan15°＋cot15°等于( )
A．2 B．2＋ C．4 D.
[分析] 可切割化弦利用倍角公式求解也可将15°转换成45°－30°或者15°＝求解．
[答案] C
[解析] 解法1：tan15°＋cot15°＝＋＝＝＝4.
解法2：tan15°＋cot15°＝tan(45°－30°)＋＝＋
＝＋＝＋＝＋＝4.
解法3：tan15°＋cot15°＝tan＋＝＋＝＝4.
5．函数y＝sinx＋cos的最大值和最小值分别为________．
[答案] ，－
[解析] y＝sinx＋cosxcos＋sinxsin＝sinx＋cosx＝sin.
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝；
当x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－.
6．化简：cos＋sin＝________.
[答案] cosα
[解析] cos＋sin＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα
＝cosα－sinα＋cosα＋sinα＝cosα.
7．若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，求α＋β的值．
[解析] ∵(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝4，
∴(tanα＋tanβ)＝3(1－tanαtanβ)，
即tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，
∴tan(α＋β)＝＝，
又α、β均为锐角，
∴0<α＋β<π，∴α＋β＝.
（四）典型例题
1.命题方向：化简求值问题
[例1] 求下列各式的值：
(1)(－)
(2)·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°
[分析] 角求值问题，应从角的关系、函数关系、运算关系上找联系，构造利用公式的条件．
[解析] (1)∵－＝－＝
＝
＝＝＝32cos20°.
∴原式＝32.
(2)·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°
＝＋－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝＝2.
[点评] 在三角函数的化简、求值、证明中，常常对条件和结论进行合理变换、转化，特别是角的变化、名称的变化、切化弦、常数代换、幂的代换、结构变化都是常用的技巧和方法．
跟踪练习1
求[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·的值．
[解析] 原式＝·sin80°
＝(2sin50°＋2sin10°·)·cos10°
＝2[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)] ＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
[点评] 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
(1)化为特殊角的三角函数值．
(2)化为正负相消的项，消去求值．
(3)化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值．
(4)给值(或式)求值.
2.命题方向：条件求值
[例2] 已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，求cosα的值．
[分析] (1)因为30°是特殊角，所以可用和角公式展开后，设法求值．
(2)观察条件中角与所求值中角之间的关系，利用和差关系，整体求解．
[解析] 方法一：∵sin(30°＋α)＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝cosα＋sinα＝，
∴cosα＋sinα＝.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
∴由①得cosα＝－sinα，代入②得
100sin2α－60sinα＋11＝0.
∴sinα＝＝.
又∵60°<α<150°，
∴sinα>.而sinα＝<，∴只取sinα＝.代入①，得
cosα＝－·＝.
方法二：把30°＋α看作整体，可求cos(30°＋α)的值．
∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.
∵sin(30°＋α)＝，∴cos(30°＋α)＝－.
∴sin(30°＋α)＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝cosα＋sinα＝，①
cos(30°＋α)＝cos30°·cosα－sin30°·sinα＝cosα－sinα＝－.②
由①②，得cosα＝.
方法三：∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.
∵sin(30°＋α)＝，∴cos(30°＋α)＝－.
∴cosα＝cos[(30°＋α)－30°]
＝cos(30°＋α)·cos30°＋sin(30°＋α)·sin30°＝－×＋×＝.
[点评] (1)方法一想法简单，但计算麻烦，且需判断sinα的范围，从而得cosα值．这不仅麻烦，而且容易漏掉，导致错误．方法二注意到了把30°＋α看作整体，先求出cos(30°＋α)＝－，再将两式展开，解方程组即可．比方法一大大简化．而方法三注意到了角之间的关系，α＝(30°＋α)－30°，从而快捷地求出cosα的值，计算简便但技巧性较强，有一定思维难度．
(2)方法一、方法二都体现了方程思想，方法三体现了变换思想．
跟踪练习2
(2018·襄樊)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.
(1)求tan2α的值；
(2)求角β.
[解析] (1)由cosα＝，0<α<，得
sinα＝＝＝.
∴tanα＝＝4.
于是tan2α＝＝＝－.
(2)由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)得，
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.
∴β＝.
3.命题方向：给值求解问题
[例3] 已知3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，且α，β都是锐角，求α＋2β的值．
[分析] (1)欲求角，应先求其某种三角函数值．
(2)从已知条件找出角α＋2β的范围，确定其值．
[解析] 方法一：由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，
即cos2β＝3sin2α.又由3sin2α－2sin2β＝0，
得sin2β＝sin2α.
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α
＝3sin2α·cosα－3cosα·sin2α＝0.
又∵0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α＋2β<270°.
故α＋2β＝90°.
方法二：由3sin2α＋2sin2β＝1得
3sin2α＝cos2β①
又由3sin2α－2sin2β＝0得sin2α＝sin2β②
①÷②得tanα＝cot2β.
∵0°<α<90°，∴0°<2β<90°，
∴cot(90°－α)＝cot2β，又0°<90°－α<90°，0°<2β<90°，
∴α＋2β＝90°.
跟踪练习3
已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sinα的值；
(2)求β的值．
[解析] (1)∵tan＝，
∴sinα＝sin＝2sincos＝＝＝＝.
(2)∵0<α<，sinα＝，∴cosα＝.
又0<α<<β<π，∴0<β－α<π.
由cos(β－α)＝，得0<β－α<.
∴sin(β－α)＝＝，
∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝×＋×＝＝.
由<β<π得β＝π.
(或求cosβ＝－，得β＝π)．
（五）思想方法点拨
理解和运用两角和与差的三角函数公式需注意的几个问题：
1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系．
①掌握好公式的内在联系及其推导线索，能帮助我们理解和记忆公式，是学好这部分内容的关键
②诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况．α、β中若有为的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、简便．
2．公式的逆用及有关变形
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
sinα±cosα＝sin.
3．角的变换
α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)．
注意：在公式T(α±β)中，α、β、α±β必须使等式两端均有意义，即α、β、α±β都不能取＋2kπ(k∈Z)．否则，利用诱导公式求解．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·新课标文)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝( )
A．－ B. C．－ D.
[答案] A
[解析] 本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．
由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，
由两角和的正弦公式可得sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝(－)×＋(－)×＝－.
2．(2018·济南模拟)sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( )
A．0 B. C. D．1
[答案] D
[解析] sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°.
3．已知－<α<，sin＝，则sinα＝( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] ∵－<α<，∴－<－α<，
又sin＝，∴cos＝，
∴sinα＝sin＝，故选A.
4．已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是( )
A．－7 B．7 C．－ D.
[答案] B
[解析] 由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，
则tanα＝－.
∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.
5．已知cos＝，则sin2α的值为( )
A. B．－ C．－ D.
[答案] C
[解析] 方法1：sin2α＝cos(－2α)＝2cos2(α－)－1＝－，故选C.
方法2：cos(α－)＝cosα＋sinα＝
两边平方得 ＋sin2α＝，∴sin2α＝－，故选C.
6．已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x、y为锐角，则tan(x－y)的值是( )
A. B．－ C．± D．±
[答案] B
[解析] 由已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，得
，
相加得cos(x－y)＝，且x、y均为锐角，
∴sin(x－y)＝，∴tan(x－y)＝－，故选B.
7．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值等于( )
A．－ B．－ C. D.
[答案] B
[解析] ∵sin＝－，－β∈
∴－β＝－①
∵cos＝，α，β∈，
∴α－∈，∴α－＝－或②
由①②有或(舍去)，
∴cos(α＋β)＝cos＝－.
8．在△ABC中，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则B的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
[答案] D
[解析] 由条件知2tanB＝tanA＋tanC(※)
显然B为锐角，若B为钝角，则tanA>0，tanC>0，tanB<0(※)式不成立．
∵tanB＝－tan(A＋C)＝－＝－，且tanB≠0，
∴tanAtanC＝3，
∴(2tanB)2＝(tanA＋tanC)2＝tan2A＋tan2C＋2tanAtanC≥4tanAtanC＝12，因此tan2B≥3，
∵tanB>0，∴tanB≥，≤B<，
即B的取值范围是，选D.
二、填空题
9．(2018·乐山模拟)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β∈，则β＝________.
[答案]
[解析] ∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)，
∴sinα＝，sin(α＋β)＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝，
∵0<β<，∴β＝.
10．函数y＝sinsin的最小正周期T＝______.
[答案] π
[解析] 解法1：f(x)＝sinsin＝－＝－cos＋.
∴T＝π.
解法2：y＝cosx＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，
∴T＝π.
11．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝________.
[答案]
[解析] 由题意知：
①＋②⇒cosαcosβ＝，③
②－①⇒sinαsinβ＝，④
得：tanαtanβ＝.
三、解答题
12．(2011·北京海淀区模拟)已知tanα＝2.求：
(1)tan的值；
(2)的值．
[解析] (1)∵tan＝，且tanα＝2，
∴tan＝＝－3.
(2)＝＝＝tanα＋＝.
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B
两点．已知A、B的横坐标分别为、.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
[解析] 由已知得cosα＝，cosβ＝.
∵α、β为锐角，∴sinα＝＝，
sinβ＝＝，
∴tanα＝7，tanβ＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan2β＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵α、β为锐角，0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
14．(文)若sinA＝，sinB＝，且A，B均为钝角，求A＋B的值．
[分析] 欲求A＋B，先求A＋B的一个三角函数值，然后再由A、B的范围求得A＋B的值．
[解析] ∵A、B均为钝角且 sinA＝，sinB＝，
∴cosA＝－＝－＝－，
cosB＝－＝－＝－，
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－×－×＝①
又∵
[点评] (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
(理)已知sin＝，cos2α－sin2α＝，求sinα及tan.
[解析] 由题设条件，应用两角差的正弦公式得：
＝sin＝(sinα－cosα)，
即sinα－cosα＝①
由题设得cos2α－sin2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－(cosα＋sinα)，
故cosα＋sinα＝－②
由①式和②式得：sinα＝，cosα＝－.
∴tanα＝－，
tan＝＝＝＝.
15．设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)若函数y＝g(x)的图像是由y＝f(x)的图像向右平移个单位长度得到的，求y＝g(x)的单调增区间．
[分析]
[解析] (1)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx
＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin(2ωx＋)＋2，
依题意得＝，故ω的值为.
(2)依题意得g(x)＝sin＋2＝sin＋2，
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋ (k∈Z)，解得
kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
故y＝g(x)的单调增区间为 (k∈Z)．
第六节 二倍角的三角函数
（一）高考目标
考纲解读
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(对半角公式不要求记忆)．
考向预测
1．灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容．
2．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题．
3．多以解答题的形式呈现，属中、低档题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝ ；
cos2α＝ ＝ ＝ ；
tan2α＝
2．升、降幂公式主要用于化简、求值和证明．
其形式为： 升幂公式1＋cos2α＝ ， 1－cos2α＝ .
降幂公式cos2α=，sin2α. =
3.辅助角公式
asinα+bcosα=
（三）基础自测
1．(2011·新乡模拟)函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为( )
A．－3,1 B．－2,2 C．－3， D．－2，
[答案] C
[解析] f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋，
∴sinx＝时，f(x)max＝，
sinx＝－1时，f(x)min＝－3，故选C.
2．(2010·福建文)计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 本题主要考查二倍角公式
1－2sin2225°＝cos45°＝
3．(2010·江西理)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 如图，设CB＝AC＝1，则AB＝，又取AB的中点为H，连CH，则CH⊥ AB，由题意知EH＝，CH＝，得tan∠ECH＝.
故tan∠ECF＝tan2∠ECH＝， 选D.
4.＝( )
A. B. C．2 D.
[答案] C
[解析] 原式＝＝＝2·＝2，故选C.
5．(2010·浙江理)函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是________．
[答案] π
[解析] f(x)＝sin(2x－)－2sin2x＝sin(2x－)－(1－cos2x)＝sin(2x－)＋cos2x－
＝sin2xcos－cos2xsin＋cos2x－＝sin2x＋cos2x－＝sin(2x＋)－，
所以T＝＝＝π.
6．化简的结果是__________．
[答案] cos1
[解析] 原式＝＝＝＝cos1.
7．已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最大值、最小值．
[解析] (1)f(x)＝cos4x－sin4x－2sinxcosx＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x
＝cos2x－sin2x＝cos，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)当cos＝1时，f(x)max＝；
当cos＝－1时，f(x)min＝－.
（四）、典型例题
1.命题方向：三角函数的化简与求值
[例1] 化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β.
[分析]观察可见：有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂次关系可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦，可异名化同名等等．
[解析]解法1：(从“角”入手，复角化单角)
原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
解法2：(从“名”入手，异名化同名)
原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－cos2α·cos2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos2α·cos2β
＝cos2β－cos2β·
＝－cos2β＝－cos2β＝.
解法3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝·＋·－cos2α·cos2β
＝(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－·cos2α·cos2β
＝＋＝.
[点评] 对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同，出发点不同，化简的方法也不惟一．对于三角函数式化简的目标是：(1)次数尽可能低；(2)角尽可能少；(3)三角函数名称尽可能统一；(4)项数尽可能少．
跟踪练习1
计算：cos·cos·cos.
[分析] 构造运用二倍角公式，由诱导公式、恒等式求解．
[解析] cos·cos·cos＝
＝＝＝＝＝.
2.命题方向：三角函数式的证明
[例2] (1)求证＝tan4A.
(2)已知：sinβ＝m·sin(2α＋β)，其中m≠0,2α＋β≠kπ(k∈Z)．求证：tan(α＋β)＝tanα(m≠1)．
[分析] 对(1)容易看出，左边较右边复杂，因此应从左边入手，化4A为2A，再化2A为A，然后将弦化为切．
(2)是一个条件等式的证明，应仔细观察条件与结论的差异，从解决差异入手，结论中为α＋β与α的函数，而已知是β与2α＋β的函数，将β，2α＋β用α＋β，α表示是解决本题的正确方向．
[解析] (1)左边＝＝2＝2＝tan4A＝右边．
∴等式成立．
(2)由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m·sin[(α＋β)＋α]，
即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，
即(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)cos(α＋β)sinα
跟踪练习2
求证：＝sin2α.
[证明] 左边＝＝·cos2α＝tanα·cos2α＝·cos2α
＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
所以原等式得证.
3.命题方向：辅助角公式的考查
[例3] (2010·浙江文)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足
S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sinA＋sinB的最大值．
[分析] 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查了三角运算能力
[解析] (1)由题意可知，absinC＝·2abcosC，
∴tanC＝，
又∵0
＝sinA＋sin(－A)＝sinA＋cosA＋sinA＝sinA＋cosA＝sin(A＋)≤.
当且仅当A＋＝，即A＝时取等号．
即当△ABC为正三角形时取等号，
∴sinA＋sinB的最大值是.
sinA＋cosA＝sin(A＋)≤.
跟踪练习3
已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若对任意的a∈R，函数y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值，并求函数y＝f(x)，x∈R的单调增区间．
[解析] (1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1)
＝2－1＝2sin－1.
由－1≤sin≤1，
得－3≤2sin－1≤1.
可知函数f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，y＝f(x)的周期为π，又由ω>0，得＝π.即得ω＝2.
于是有f(x)＝2sin－1，
再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以y＝f(x)的单调增区间为
(k∈Z)．
（五）思想方法点拨
1．三角函数式的化简
(1)化简的要求
①能求出值的应求出值；
②尽量使三角函数种数最少；
③尽量使项数最少；
④尽量使分母不含三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(2)化简的思路
对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
(3)化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等．
2．三角恒等式的证明
①证明三角恒等式的方法：
观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等．
②证明三角条件等式的方法
首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等等．
3．辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中
.
φ的终边所在的象限由a，b的符号来确定，角φ称为辅助角．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2010·全国卷Ⅱ)已知sinα＝，则cos(π－2α)＝( )
A．－ B．－ C. D.
[答案] B
[解析] 本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍半角公式的应用．
由诱导公式得cos(π－2α)＝－cos2α，
∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
∴cos(π－2α)＝－.
2．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是( )
A．1 B. C. D．1＋
[答案] C
[解析] f(x)＝＋sin2x＝sin＋，
又x∈，∴2x－∈，
f(x)max＝1＋＝，故选C.
3．已知tan2α＝－2，且满足<α<，则 的值为( )
A. B．－ C．－3＋2 D．3－2
[答案] C
[解析] ＝＝.
又tan2α＝－2＝
∴2tan2α－2tanα－2＝0.解得tanα＝－或.
又<α<，∴tanα＝.
原式＝＝－3＋2.故选C.
4．(2010·新课标理)若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－ B. C．2 D．－2
[答案] A
[解析] 本题综合考查了同角三角函数的基本公式以及二倍角公式的逆运用．
∵cosα＝－且α是第三象限的角，∴sinα＝－，
∴＝＝＝＝
＝＝＝－，故选A.
5．已知sinα＝，且α∈，则的值为( )
A．－ B．－ C. D.
[答案] B
[解析] ∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－，
∴＝＝＝＝－.
6．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为( )
A．5 B. C. D.
[答案] C
[解析] f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝sin2x－2cos2x－2＝sin(2x－θ)－2，
其中tanθ＝，
所以f(x)的最大值是－2＝.故选C.
7.＋2的化简结果是( )
A．4cos4－2sin4 B．2sin4 C．2sin4－4cos4 D．－2sin4
[答案] C
[解析] ＋2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，
∵π<4<，∴cos4
8．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于( )
A. B. C．－ D．－
[答案] D
[解析] ∵5π<θ<6π，∴<<，∴sin<0，
∵a＝cos＝1－2sin2，
∴sin＝－.
二、填空题
9．设a＝cos6°－sin6°，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为______(由小到大排列)．
[答案] a
∵y＝sinx在(0°，90°)上单增，∴a
[答案] sin
[解析] 原式＝＝＝＝＝sin.
11．若sinα·cosβ＝，则cosα·sinβ的取值范围是________．
[答案]
[解析] 解法一：设t＝cosα·sinβ，
又sinα·cosβ＝，∴sinα·cosβ·sinβ·cosα＝t，
即sin2α·sin2β＝2t，|sin2α·sin2β|≤1.
∴2|t|≤1，即－≤t≤.
∴cosα·sinβ的取值范围是.
解法二：由sinα·cosβ＝知sin2α·cos2β＝.
则cos2α·sin2β＝(1－sin2α)(1－cos2β)＝1－(sin2α＋cos2β)＋sin2αcos2β＝－(sin2α＋cos2β)
≤－2＝，所以－≤cosα·sinβ≤.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝asinx·cosx－acos2x＋a＋b.(a>0)
(1)x∈R，写出函数的单调递减区间；
(2)设x∈[0，]，f(x)的最小值是－2，最大值是，求实数a，b的值．
[解析] (1)f(x)＝a(sinx·cosx－cos2x＋)＋b＝a×(sin2x－×＋)＋b
＝a·sin(2x－)＋b
∵a>0，x∈R，∴由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)
得，f(x)的递减区间是[kπ＋π，kπ＋π](k∈Z)
(2)∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，]
∴sin(2x－)∈[－，1]
∴函数f(x)的最小值是－a＋b＝－2
最大值a＋b＝，解得a＝2，b＝－2.
13．在△ABC中，已知a·cos2＋c·cos2＝b.
(1)求证：a、b、c成等差数列；
(2)求角B的范围．
[解析] (1)由条件得a·＋c·＝b.
∴a＋c＋(acosC＋ccosA)＝3b.
∴a＋c＋a·＋c·＝3b，
∴a＋c＝2b，即a、b、c成等差数列．
(2)cosB＝＝＝≥＝.
∵B∈(0，π)，∴0
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值．
(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．
[分析] 本题主要考查二倍角的正弦、余弦、两角和的正弦、函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦等基础知识，考查基本能力．一般思路先整理、化简f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．
[解析] 由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin.
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈，
从而cos＝－＝－.
所以cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝.
15．已知向量a＝(cosx＋2sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)．设函数f(x)＝a·b＋.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若函数y＝f(x＋φ)为偶函数，试求符合题意的φ的值．
[分析] 写出y＝f(x)的表达式是解题的关键．对于(1)，结合题意，利用数量积的坐标运算及三角变换公式得到函数y＝f(x)的表达式，进而求出函数的单调减区间；对于(2)，函数y＝f(x＋φ)为偶函数的实质就是求y轴是函数y＝f(x＋φ)的一条对称轴．考虑到y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，故可利用整体思想来解决．
[解析] (1)由已知可得f(x)＝(cosx＋2sinx)(cosx－sinx)＋2sinxcosx＋
＝cos2x－sinxcosx＋2sinxcosx－2sin2x＋2sinxcosx＋
＝cos2x＋3sinxcosx－2sin2x＋
＝(1＋cos2x)＋sin2x＋(cos2x－1)＋
＝(sin2x＋cos2x)＝sin.
由2kπ＋<2x＋<2kπ＋(k∈Z)得：kπ＋
(2)由(1)知y＝f(x＋φ)＝sin.
由于y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，
令2x＋2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝(k∈Z)．
因为y＝f(x＋φ)为偶函数，所以令x＝＝0，解得φ＝＋(k∈Z)．
故符合题意的φ＝＋(k∈Z)．
[点评] 注重向量与三角函数的交汇是近几年新课标高考命题的一个特色．熟练掌握数量积的定义及运算法则、三角函数的诱导公式、两角和与差的公式等是解决这类题目的一个前提．复习时要将上述知识融会贯通，有针对性地加强训练．
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