2020届二轮复习三角函数（二）学案（全国通用）


年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
三角函数（二）
教学目的

教学内容
第三节 三角函数的图像与性质
（一）高考目标
考纲解读
1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
考向预测
1．三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是高考考查的重点．
2．三角函数图像的对称性也是高考的一个热点．
3．主要以选择题、填空题的形式考查．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．“五点法”作图原理
在确定正弦函数y=sinx在上的图像形状时，起关键的五点是：
、 、 、 、 。
余弦函数呢？
2．三角函数的图像和性质





3．周期函数及最小正周期
一般地对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0且为常数)的周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期T＝.
（三）基础自测
1．(2018·湖北文)函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　B．π C．2π D．4π
[答案]　D
[解析]　本题主要考查三角函数中的周期性．∵ω＝，T＝＝4π.
2．(理)(2018·陕西理)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)在(，)上是递增的 B．f(x)的图像关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
[答案]　B
[解析]　本题考查三角函数的性质．f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π，最大值为1，故C、D错；
f(－x)＝sin(－2x)＝－2sinx，为奇函数，其图像关于原点对称，B正确；函数的递增区间为
，(k∈Z)排除A.
(文)(2018·陕西文)函数f(x)＝2sinxcosx是(　　)
A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数
[答案]　C
[解析]　本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性．
f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，最小正周期T＝＝π，且f(x)是奇函数．
3．已知－≤x<，cosx＝，则m的取值范围是(　　)
A．m<－1 B．33 D．3 [答案]　C
[解析]　由－≤x<，3.
4．已知函数y＝tanωx在内是减函数，则(　　)
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C．ω≥1 D．ω≤－1
[答案]　B
[解析]　根据已知条件：ω<0，且|ω|≤1，因此－1≤ω<0
5．(2018·湖洲中学月考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图所示，f＝－，则f(0)＝________.

[答案]　
[解析]　由图可知，＝，∴T＝，∴ω＝3，故f(x)＝Acos(3x＋φ)．
∵f＝－，∴Acos＝－，∴Asinφ＝－.
又∵f＝0，∴Acos＝0，∴sinφ＝－cosφ，∴f(0)＝Acosφ＝－Asinφ＝.
6．sin1，sin2，sin3的大小关系为________．
[答案]　sin3 [解析]　sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)．
因为0<π－3<1<π－2<且y＝sinx在上单调递增，所以sin(π－3) 即sin3 7．求y＝sin2x－cosx＋2的最值．
[分析]　解析式中只有sin2x，cosx，可以考虑转化为关于cosx的二次函数形式．
[解析]　
y＝sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2＝－cos2x－cosx＋3＝－2＋，
又∵－1≤cosx≤1，－1<－<0，
∴1≤y≤.
故函数的最大值与最小值分别为与1.

（四）、典型例题
1.命题方向：三角函数的定义域
[例1]　求下列函数的定义域：
（1）
（2）
[分析]　先转化为三角不等式，再利用单位圆或三角函数图像求解．
[解析]　(1)由题意得
，
即，也即.
解得(*)
取k＝－1,0,1，可分别得到x∈或x∈或x∈.
即所求的定义域为∪∪.
(2)要使函数有意义，只要

即0 [点评]　(1)求三角函数定义域常借助两个工具，即单位圆中的三角函数和三角函数的图像，有时也利用数轴，对于含有正弦、余弦函数的复合函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可．
(2)求三角函数定义域时，通常归结为解三角不等式或不等式组．
跟踪练习1
求下列各函数的定义域：
(1) y＝； (2)y＝＋.
[解析]　(1)函数y＝有意义时，1－cosx≠0，即cosx≠1，所以x≠2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为{x|x≠2kπ，x∈R，k∈Z}．
(2) 要使函数有意义，必须
由图知道，函数的定义域为∪(k∈Z).


2.命题方向：求函数的值域和最值
[例2]　求下列函数值域：
(1)y＝2cos2x＋2cosx；
(2)y＝3cosx－sinx；
(3)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.
[分析]　(1)令t＝cosx，得y＝2t2＋2t，t∈[－1,1]，再配方求值域．
(2)利用辅助角公式可化为y＝2cos，再求值域．
(3)令t＝sinx＋cosx，平方可用t表示sinxcosx，即可转化为t的二次函数求解．
[解析]　(1)y＝2cos2x＋2cosx＝22－.
当且仅当cosx＝1时，得ymax＝4，
当且仅当cosx＝－时，得ymin＝－，
故函数值域为.
(2)y＝3cosx－sinx＝2＝2cos.
∵≤1，
∴该函数值域为[－2，2]．
(3)y＝sinxcosx＋sinx＋cosx
＝＋sin
＝sin2＋sin－＝2－1，
所以当sin＝1时，
y取最大值1＋－＝＋.
当sin＝－时，y取最小值－1，
∴该函数值域为.
[点评]　求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为：
1．y＝asinx＋bcosx型可引用辅助角化为
y＝sin(x＋φ)(其中tanφ＝)．
2．y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型可通过降次整理化为y＝Asin2x＋Bcos2x.
3．y＝asin2x＋bcosx＋c型可换元转化为二次函数．
4．sinxcosx与sinx±cosx同时存在型可换元转化．
5．y＝(或y＝)型，可用分离常数法或由 |sinx|≤1来解决．
6．y＝型，可用斜率公式来解决．
跟踪练习2
求y＝sin2x－sinxcosx＋2的值域．
[解析]　y＝sin2x－sinxcosx＋2＝－sin2x＋2＝－(sin2x＋cos2x)＋＝－sin＋.
又∵－1≤sin≤1，∴≤y≤.
3.命题方向：求三角函数的单调区间
[例3]　求函数y＝2sin的单调增区间．
[分析]　思路一：由y＝sinx的单调区间来求本题的单调区间．
思路二：将y＝2sin看作复合函数来求单调区间．
[解析]　方法一：∵y＝2sin＝－2sin，
∴y＝2sin的单调增区间就是
方法二：y＝2sin可看作是由y＝2sinu与u＝－2x复合而成的．
∵u＝－2x是减函数，
∴y＝2sinu是减函数时，复合后的函数y＝2sin才是增函数．
∴2kπ＋≤u≤＋2kπ，k∈Z.∴2kπ＋≤－2x≤＋2kπ.
∴2kπ＋≤－2x≤＋2kπ.∴－kπ－≤x≤－－kπ，
即kπ－≤x≤－＋kπ.∴y＝2sin的单调增区间是，k∈Z.
∴－kπ－≤x≤－－kπ，即kπ－≤x≤－＋kπ.
∴y＝2sin的单调增区间是，k∈Z.
[点评]　求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间时，一定要注意到函数中A与ω的符号，一般是将ω化为正或用复合函数单调性来求解，否则极易出现将单调区间求反的错误．
跟踪练习3：
已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈R.求：
(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；
(2)函数f(x)的单调增区间．
[解析]　(1)∵f(x)＝＋sin2x＋=2＋sin2x＋cos2x＝2＋sin，
∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋　(k∈Z)时，
f(x)取得最大值2＋.
因此，f(x)取得最大值时自变量x的集合是{x|x＝kπ＋，k∈Z}
(2)f(x)＝2＋sin.
由题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋　(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋　(k∈Z)，
因此f(x)的单调增区间是(k∈Z).
4.命题方向：三角函数的奇偶性与周期性
[例4]　(2018·陕西)已知函数f(x)＝2sincos－2sin2＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；
(2)令g(x)＝f(x＋)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
[解析]　(1)∵f(x)＝sin＋(1－2sin2)＝sin＋cos＝2sin(＋)，
∴f(x)的最小正周期T＝＝4π.
当sin(＋)＝－1时，f(x)取得最小值－2；
当sin(＋)＝1时，f(x)取得最大值2.
(2)由(1)知f(x)＝2sin(＋)，
又g(x)＝f(x＋)，
∴g(x)＝2sin[(x＋)＋]＝2sin(＋)＝2cos.
∵g(－x)＝2cos(－)＝2cos＝g(x)，
∴函数g(x)是偶函数．
跟踪练习4
(1)函数y＝2sincos是(　　)
A．周期为2π的奇函数 B．周期为π的奇函数
C．周期为π的偶函数 D．周期为π的非奇非偶函数
[答案]　C
[解析]　y＝sin＝－cos2x.
(2)(2018·辽宁文)函数y＝sin(ωx＋)＋2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则ω的最小值是(　　)
A. B. C. D．3
[解析]　要想图像平移后与原图像重合，至少需平移1个周期
∴()max＝π，∴ωmin＝＝.故选C.

（五）、思想方法点拨
1．函数y＝sinx在[2kπ－，2kπ＋]，(k∈Z)的每一个区间上都是增函数，但在k取不同值时，对应的两个区间的并集上不单调．y＝cosx，y＝tanα都有类似特点．
如函数y＝tanα在第一象限内是增函数是错误的，你能说明原因吗？
2．函数y＝sinx、y＝cosx的对称轴经过图像的最高点或最低点．
3．y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的确定：
(1)当A>0，ω>0时，由于U＝ωx＋φ是增函数，故y＝AsinU单增(减)时，复合函数y＝Asin(ωx＋φ)单增(减)．从而解不等式2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求出x取值范围，即该函数的增区间，解不等式2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)可得该函数的单调减区间．
(2)当A>0，ω<0时，∵U＝ωx＋φ为减函数，故再如(1)的解法，求出单调区间则会导致错误，同样A<0，ω<0时也有类似情况，这时要紧扣复合函数单调性的判定方法进行．余弦、正切函数都有类似情形
一般地，求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，若ω<0，先用诱导公式化为x的系数为正的，然后利用复合函数判单调性的方法，解关于ωx＋φ的一个不等式即可求得．
4．函数＝Asin(ωx＋φ)(ωx≠0)为奇函数的充要条件为φ＝kπ，k∈Z，为偶函数的充要条件为
φ＝kπ＋，k∈Z.函数y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝kπ＋，k∈Z.为偶函数的充要条件为φ＝kπ，k∈Z.函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝，k∈Z.它不可能是偶函数．
5．三角函数的周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的周期T＝，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)的周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)的周期T＝
(2)y＝A|sin(ωx＋φ)|、y＝A|cos(ωx＋φ)|、y＝A|tan(ωx＋φ)|的周期都为T＝.
6．直线y＝a与函数y＝tanx的图像交点中任两点距离的最小值为周期．
函数y＝sinx(y＝cosx)相邻两个最大(小)值点之间距离为半周期，与x轴相邻两交点之间距离为半周期．

（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·江西文)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为(　　)
A．[－1,1] B．[－，－1] C．[－，1] D．[－1，]
[答案]　C
[解析]　本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sinx＝t换元转化为t的一元二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t＝sinx∈[－1,1]，y＝t2＋t－1，(－1≤t≤1)，显然－≤y≤1，选C.
2．函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线x＝－对称，则a的值为(　　)
A. B．－ C．1 D．－1
[答案]　D
[解析]　解法1：由y＝sin2x＋acos2x可联想到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．又知其对称轴为x＝－，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷．从而将x＝－代入原式，可使函数取最大值或最小值．
即－＋a＝±，∴a＝－1.
解法2：由于函数图像关于直线x＝－对称
∴f(0)＝f(－)，∴a＝－1，故选D.
3．(2018·重庆文)下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是(　　)
A．y＝sin (2x＋) B．y＝cos (2x＋) C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
[答案]　A
[解析]　本题考查三角函数的周期性、单调性以及诱导公式．
选项A：y＝sin(2x＋)＝cos2x，周期为π，在[，]为减函数；
选项B：y＝cos(2x＋)＝－sin2x，周期为π.在[，]为增函数；
选项C：y＝sin(x＋)＝cosx，周期为2π；
选项D：y＝cos(x＋)＝－sinx，周期为2π.故选A.
4．已知函数f(x)＝sin图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案]　D
[解析]　f(x)的周期T＝＝2R，f(x)的最大值是，结合图形分析知R>，则2R>2>3，只有2R＝4这一种可能，故选D.
5．函数y＝的图像关于(　　)
A．点对称 B．点对称 C．直线x＝－对称 D．直线x＝对称
[答案]　B
[解析]　y＝＝＝－tan2x.
函数图像大致如下图，显见它不是轴对称图形，而是关于点对称的中心对称图形，故选B.

6．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y＝2的交点的横坐标为x1、x2，若|x1－x2|的最小值为π，则(　　)
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝ C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
[答案]　A
[解析]　y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数且0<θ<π，
所以θ＝，y＝2cosωx，
∴y∈[－2,2]．又∵|x1－x2|min＝π，
故y＝2与y＝2cosωx的交点为最高点，于是最小正周期为π.即＝π，所以ω＝2.故选A.
7．(2018·新课标理)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为(　　)



[答案]　C
[解析]　本小题考查了任意角的三角函数的概念、三角函数的图像，结合物理学的角速度问题，考查学科知识交汇点，解答此题的关键是找到点P运动后对应的坐标．
方法一：(排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为，排除A、D，由角速度为1知，当t＝或t＝时，P点落在x轴上，即P点到x轴的距离为0，故选C.
方法二：由题意知P，
∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2，
当t＝0时，d＝；当t＝时，d＝0.故选C.
8．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则θ等于(　　)
A．kπ　(k∈Z) B．kπ＋　(k∈Z) C．kπ＋　(k∈Z) D．kπ－　(k∈Z)
[答案]　D
[解析]　解法1：由两角和与差的三角公式得
f(x)＝2sin.
由f(x)是奇函数得＋θ＝kπ(k∈Z) ⇒θ＝kπ－(k∈Z)．故选D.
解法2：∵函数f(x)为奇函数，定义域为R.
∴f(0)＝0，即cosθ＋sinθ＝0，
∴sin＝0，∴θ＋＝kπ，
∴θ＝kπ－(k∈Z)．
二、填空题
9．比较大小：(1)sin________sin. (2)cos________cos.
[答案]　(1)>　(2)<
[解析]　(1)∵－<－<－<，y＝sinx在上是增函数，
∴sinsin.
(2)cos＝cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos＝cos.
∵0<<<π，
且函数y＝cosx在[0，π]上是减函数，
∴cos>cos，即cos>cos，
即cos 10．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
[答案]　(1,3)
[解析]　f(x)＝sinx＋2|sinx|＝
在同一坐标系中，作出函数f(x)与y＝k的图像可知1
11．(2018·安徽理)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是________．
[答案]　[0,1]和[7,12]
[解析]　设点A的纵坐标y关于t的函数为y＝sin(ωt＋φ)．
∵T＝12＝，∴ω＝.
当t＝0时，sinφ＝，cosφ＝，∴φ可取.
∴y＝sin(t＋)，由正弦函数的单调性知．
2kπ－≤t＋≤2kπ＋(k∈Z)
2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)．
∴12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)．
当k＝0时 ，－5≤t≤1；
当k＝1时，7≤t≤13
又∵0≤t≤12，∴单调增区间为[0,1]和[7,12]．
三、解答题
12．(2018·深圳模拟)已知函数f(x)＝sinx＋acos2，a为常数，a∈R，且x＝是方程f(x)＝0的解．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
[解析]　(1)f＝sin＋acos2＝0，
则1＋a＝0，解得a＝－2.
所以f(x)＝sinx－2cos2＝sinx－cosx－1，
则f(x)＝sin－1.
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
(2)由x∈[0，π]，得x－∈，
则sin∈，
则sin－1∈[－2，－1]，
所以y＝f(x)值域为[－2，－1]．
13．(2018·北京理)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解析]　本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cosx的二次函数，求值即可．
(1)f()＝2cos＋sin2－4cos
＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－)2－，x∈R
因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝时，取最小值－.
14．(2018·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝－1＋2sinxcosx＋2cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)求f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标；
(3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．
[解析]　f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，
(1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得
kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(2)由sin＝0得2x＋＝kπ(k∈Z)，
即x＝－(k∈Z)，
∴f(x)图像上与原点最近的对称中心坐标是.
(3)由f(α)＝f(β)得：2sin＝2sin，
又∵角α与β不共线，
∴＋＝2kπ＋π(k∈Z)，
即α＋β＝kπ＋(k∈Z)，
∴tan(α＋β)＝.
15．已知函数f(x)＝log(sinx－cosx)．
(1)求它的定义域和值域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．
[分析]　对于(1)，(2)可以从sinx－cosx＝sin入手．对于(3)则看f(x)的定义域是否关于原点对称．对于(4)可利用f(x＋T)＝f(x)先验证T是一个周期，再证T是最小正周期．
[解析]　(1)由题意得sinx－cosx>0，
即sin>0，
从而得2kπ ∴函数f(x)的定义域为
.
∵0 即有log≤log(sinx－cosx)．
故函数f(x)的值域是.
(2)∵sinx－cosx＝sin在f(x)的定义域上的单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z)．
(3)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，
∴函数f(x)是非奇非偶函数．
(4)∵f(x＋2π)＝log[sin(x＋2π)－cos(x＋2π)]
＝log(sinx－cosx)＝f(x)，
∴函数f(x)的最小正周期T＝2π.
[点评]　本题综合考查了三角函数的性质，解题的关键是把sinx－cosx化为Asin(ωx＋φ)的形式．


第四节 正弦型函数的图像与三角函数的应用
（一）、高考目标
考纲解读
1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数A、ω、φ对函数图像变化的影响．
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
考向预测
1．“五点法”作图的有关知识是高考的热点．
2．图像的变换规律：平移和伸缩变换常在客观题中考查．
3．结合三角恒等变换，考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用是解答题中三角函数考查的热点．
（二）、课前自主预习
知识梳理
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示.

2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，其中A>0，ω>0)的图像可以看作由下面的方法得到的：先把正弦曲线上所有的点 (当φ>0时)或 (当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标 (当ω>1时)或 (当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标 (当A>1时)或 (当0 3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈(0，＋∞))表示一个振动时，A叫做 ，T＝叫做 ，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做 ，φ叫做 ．
4．三角函数模型的应用
(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．
（三）、基础自测
1．(2018·重庆理)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则(　　)
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
[答案]　D
[解析]　由图可知＝π－＝，T＝π，
即＝π，∴ω＝2，又因为图像向左平移了－＝，∴φ＝－.(或利用＋φ＝解也可)
2．将函数y＝sin2x的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是(　　)
A．y＝cos2x　　　　　　B．y＝2cos2x C．y＝1＋sin D．y＝2sin2x
[答案]　B
[解析]　本小题主要考查了三角函数图像的平移，同时考查了学生应用诱导公式化简三角函数式的能力．





3．函数y＝sin在区间的简图是(　 )


[答案]　A
[解析]　当x＝0时，y＝sin＝－，排除B、D.而x＝时，y＝0，排除C，故选A.
4．(2018·江苏宿迁)一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0

则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为________．
[答案]　y＝－4cos2.5πx
[解析]　设y＝Acos(ωx＋φ)，则A＝4，T＝0.8，
∴ω＝2.5π，代入最高点(0.4,4)，得φ＝π，所以y＝－4cos2.5πx.

5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式为____________．





[答案]　f(x)＝2sinx
[解析]　由图知：T＝8，∴＝8，∴ω＝，A＝2.
∴f(x)＝2sin，令x＝2，
∴2＝2sin.∴sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝0，∴f(x)＝2sinx.
6．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x)，x∈R.
(1)若f(x)＝1－且x∈，求x；
(2)若函数y＝2sin2x的图像按向量c＝(m，n)平移后得到函数y＝f(x)的图像，求实数m、n的值．
[解析]　f(x)＝a·b＝2cos2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin＋1.
(1)由2sin＋1＝1－，得sin＝－，k∈Z
∴2x＋＝2kπ－或2x＋＝2kπ－，k∈Z.
即x＝kπ－或x＝kπ－.
∵x∈，∴x＝－.
(2)y＝2sin2x图像按(m，n)平移得到y＝2sin＋1的图像，∴m＝－，n＝1.
（四）、典型例题
1.命题方向：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
[例1]　作出函数y＝3sin，x∈R的简图，说明它与y＝sinx图像之间的关系．
[分析]　利用五点作图法作出函数图像，然后判断图像间的关系．
[解析]　按“五点法”，令2x＋分别取0，，π，π，2π时，x相应取－，，，，，所对应的五点是函数y＝3sin，x∈的图像上起关键作用的点
列表：
描点画图．
利用函数的周期性，可以把简图向左、右扩展，
就得到y＝3sin，x∈R的简图．
从图可以看出，y＝3sin的图像，是用下面方法得到的．
方法一：


方法二：


[点评]　方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移．表面上看，两种变换方法中的平移分别是和，
是不同的，但由于平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．
跟踪练习1
已知函数y＝sin＋cos(x∈R)．
(1)用“五点法”画出它的图像；
(2)求它的振幅、周期及初相；
(3)说明该函数的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换而得到？
[解析]　(1)y＝2sin(＋)，令X＝＋，
列表如下：
X
0

π

2π
x
－




y
0
2
0
－2
0
描点连线得图像如图


(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为.
(3)将y＝sinx图像上各点向左平移个单位，得到y＝sin(x＋)的图像，再把y＝sin(x＋)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin(＋)的图像．最后把y＝sin(＋)的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，即得函数y＝2sin(＋)的图像．
[点评]　用“五点法”作图应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(wx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点.
2.命题方向：求三角函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的解析式
[例2]　下图为y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一段，求其解析式．


[分析]　首先确定A.若以N为五点法作图中的第一零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于y＝－sinx的图像)，所以A<0；若以M点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降(类似于y＝sinx的图像)，所以A>0.而ω＝，φ可由相位来确．
[解析]　解法1：以N为第一个零点，则
A＝－，T＝2＝π，
∴ω＝2，此时解析式为y＝－sin(2x＋φ)，
∵点N在图像上，
∴－×2＋φ＝0⇒φ＝，
∴所求解析式为y＝－sin.
解法2：以点M为第一个零点，
则A＝，ω＝＝2，解析式为y＝sin(2x＋φ)，
将点M代入得：2×＋φ＝0⇒φ＝－，
∴所求解析式为y＝sin.
跟踪练习2
函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图像如图所示，则函数表达式为________．
[答案]　y＝－4sin
[解析]　由图像可以看出，A＝4，＝6＋2，∴T＝16.
则ω＝＝.将点(－2,0)代入y＝4sin中得sin＝0.
∴－＋φ＝π，φ＝
∴y＝4sin.又∵|φ|<.
∴函数表达式y＝4sin＝－4sin.
[点评]　三角函数图像中，图像上与x轴相邻两个交点之间的距离为半个周期，相邻两对称轴之间的距离为半个周期.
3.命题方向：三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合应用
[例4]　(2018·山东理)已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)，其图像过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
[分析]　本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图像变换以及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力．可直接利用公式化简求值．
[解析]　(1)因为已知函数图像过点，所以有
＝sinsinφ＋cos2cosφ－sin(0<φ<π)，
即有1＝sinφ＋cosφ－cosφ(0<φ<π)，
所以sin＝1，
所以φ＋＝，解得φ＝.
(2)由(1)知φ＝，所以f(x)＝sin2xsin＋cos2xcos－sin(0<φ<π)
＝sin2x＋cos2x－＝sin2x＋×－＝sin，
所以g(x)＝sin，因为x∈，
所以4x＋∈，
所以当4x＋＝时，g(x)取最大值；
当4x＋＝时，g(x)取最小值－.
[点评]　高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中，需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．

跟踪练习3
(2018·营口一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R，的图像与x轴的交点中，
相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈，求f(x)的值域．
[解析]　本小题主要考查三角函数的图像和性质等基础知识及基本运算能力．
(1)由最低点为M得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为得＝，即T＝π，
∴ω＝＝＝2.
由点M在图像上得2sin＝－2，即sin＝－1，
故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－.
又φ∈，∴φ＝，故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，
∴2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2]．



（五）、思想方法点拨
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
(1)用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像应注意的问题．
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像关键是点的选取，一般令ωx＋φ＝0，，π，，2π，即可得到
所画图像的关键点坐标．其中的横坐标成等差数列，公差为.
(2)图像变换．
①平移变换
(ⅰ)沿x轴平移，按“左加右减”法则；
(ⅱ)沿y轴平移，按“上加下减”法则．
注：平移变换时，系数不为1，应先提取，再判断．
②伸缩变换
(ⅰ)沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的倍(纵坐标y不变)；
(ⅱ)沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0 2．确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的步骤
(1)首先确定振幅和周期，从而得到A与ω；
(2)确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点作为突破口．要注意从图像的升降情况找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点．具体如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称问题
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图形，也就是说过波峰或波谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φκ)的图像关于点(xj,0)(其中ωxj＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形，也就是说函数图像与x轴的交点(平衡位置点)是其对称中心．
4．三角函数模型的应用及解题步骤
(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．



（六）课后强化练习
一、选择题
1．(2018·四川理)将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin
[答案]　C

2．(2018·天津文)下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
[答案]　A
[解析]　本题考查了三角函数的性质及图像的平移．
由题知函数f(x)的最小正周期T＝π－＝π，A＝1，∴ω＝＝＝2，故将y＝sinx的图像先向左平移个单位长度后，再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.
3．(2009·湖北文)函数y＝cos－2的图像F按向量a平移到F′，F′的解析式y＝f(x)，当y＝f(x)为奇函数时，则向量a可以等于(　　)
A.　　　　 B. C. D.
[答案]　D
[解析]　本题主要考查向量的平移和三角函数的图像及性质．
A中得y＝cos－2－2＝cos－4，
∴不是奇函数，故排除A；
B中得y＝cos－2＋2＝cos，∴不是奇函数，故排除B；
C中得y＝cos－2－2＝cos－4，
∴不是奇函数，故排除C；
D中得y＝cos－2＋2＝－sin2x，
∴是奇函数，所以选D.
4．(2018·枣庄二模)如图，在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间
t(秒的函数关系为s＝6sin，单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为(　　)
A．6 B．3 C．3 D．6
[答案]　A
[解析]　∵s＝6sin，∴T＝＝1，从最左边到平衡位置O需要的时间为＝秒，由6sin＝3，得从最右边到最左边的距离为6.
5．(2018·广州五校联考)若将函数y＝tan(ω>0)的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图像重合，则ω的最小值为(　　)
A.　　 　 B.　　 　 C.　　 　 D.
[答案]　D
[解析]　本题考查正切函数的图像的平移变换．
将函数y＝tan(ω>0)的图像向右平移个单位长度，得到的函数为
y＝tan＝tan，
由题意，得－＋＝，∴ω＝.
6．已知函数f(x)＝sinωx的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的解析式可以为(　　)

A．y＝f B．y＝f(2x－1) C．y＝f D．y＝f
[答案]　B
[解析]　由图得，图(2)是将图(1)中的图像先向右平移1个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，即y＝f(x)→y＝f(x－1)→y＝f(2x－1)．
7．(2018·四川)设f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是(　　)
A．f(0)＝1 B．f(0)＝0 C．f ′(0)＝1 D．f ′(0)＝0
[答案]　D
[解析]　函数f(x)是偶函数，则φ＝kπ＋　k∈Z，
f(0)＝±1，故排除A、B.
又f ′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，φ＝＋kπ，k∈Z，
f ′(0)＝0，选D.
也可走特殊化思路，取ω＝1，φ＝±验证．
8．四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y＝sin2x，y＝sin(x＋)，y＝sin(x－)的图像如下．结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是(　　)

[答案]　C
[解析]　本题考查了三角函数的图像及性质，可采用排除法或取一个特殊点来观察，如当y＝sin2x的图象取最高点时，y＝sin(x＋)或y＝sin(x－)对应的点一定不是最值点或零点，而C不适合，故选C.
二、填空题
9．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像上的一段，则这个函数的解析式为________．

[答案]　y＝2sin
[解析]　A＝2，＝－＝，T＝，
∵＝π，∴ω＝，∴y＝2sin.
∵当x＝π时，y＝2，∴2＝2sin，
即sin＝1，∴φ＋π＝，φ＝－，
∴y＝2sin.
10．函数y＝3sin的对称中心是________．
[答案]　，k∈Z
[解析]　由－＝kπ，k∈Z得＝＋kπ.
∴x＝＋2kπ，k∈Z.∴对称中心是.
11．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)是定义域为R的奇函数，且当x＝2时，f(x)取得最大值2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.
[答案]　2±2
[解析]　由题意知：φ＝0，A＝2，
∴f(x)＝2sinωx
又当x＝2时，f(x)取得最大值2，
∴2ω＝＋2kπ，∴ω＝＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，令k＝2n，则f(x)＝2sinx，
∵n∈Z，x∈Z，∴f(x)＝2sinx.
由函数周期性可得：f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2
同理，当k为奇数时可得：f(1)＋f(2)＋…f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2－2.
三、解答题
12．求函数y＝2sin的单调区间．
[分析]　思路1：由y＝sinx的单调区间来求本题的单调区间．思路2：将y＝2sin看作复合函数来求其单调性．
[解析]　解法1：y＝2sin化成y＝－2sin.
∵y＝sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为
(k∈Z)，(k∈Z)，
∴函数y＝－2sin的递增、递减区间分别由下面的不等式确定．
2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解上两式得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数y＝2sin的单调递减区间、单调递增区间分别为(k∈Z)，
(k∈Z)．
解法2：y＝2sin可看作是由y＝2sinu与u＝－x复合而成的．
又∵u＝－x为减函数，
∴由2kπ－≤u≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ－≤－x≤2kπ＋(k∈Z)得
－2kπ－≤x≤－2kπ＋(k∈Z)，
即(k∈Z)为y＝2sin的递减区间．
由2kπ＋≤u≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤－x≤2kπ＋(k∈Z)得－2kπ－≤x≤－2kπ－(k∈Z)，
即(k∈Z)为y＝2sin的递增区间．
综上可知：y＝2sin的递增区间为(k∈Z)；
递减区间为(k∈Z)．
[点评]　(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
(2)对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)，其周期T＝，单调区间利用ωx＋φ∈，解出x的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数y＝f(v)，v＝φ(x)，其单调性判定方法是：若y＝f(v)和v＝φ(x)同为增(减)函数时，y＝f(φ(x))为增函数；若y＝f(v)和v＝φ(x)一增一减时，y＝f(φ(x))为减函数．
13．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f(x)的图像不相切．
[解析]　(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，
又－π<φ<0，则－ ∴k＝－1，则φ＝－.
(2)由(1)得：f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
可解得：＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(3)证明：∵f(x)＝sin，∴f′(x)＝2cos，∴－2≤f′(x)≤2.则f′(x)≠，x∈R.
∴直线5x－2y＋c与函数y＝f(x)的图像不相切．
14．已知向量m＝(sinωx＋cosωx，cosωx)，n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)，其中ω>0，函数f(x)＝m·n，若f(x)相邻两对称轴间的距离为.
(1)求ω的值，并求f(x)的最大值及相应x的集合；
(2)在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，△ABC的面积S＝5，b＝4，f(A)＝1，求边a的长．
[解析]　(1)f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＋2sinωxcosωx＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin，
由题意可得T＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝2sin.
当sin＝1时，f(x)有最大值2，
∴2x＋＝2kπ＋，∴x＝kπ＋　(k∈Z)，
∴x的集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
(2)f(A)＝2sin＝1
∴sin＝　0 ∴A＝，S＝bcsin＝5，∴c＝5，
由余弦定理得：a2＝16＋25－2×4×5cos＝21，∴a＝.
15．如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式；
(3)填写下列表格：
θ
0°
30°
60°
90°
120°
150°
180°
h(m)








t(s)
0
5
10
15
20
25
30
h(m)







[分析]　

[解析]　(1)由题意可作图如图．
过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．当θ>时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin.
当0≤θ≤时，上述关系式也适合．
(2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是，
∴t秒转过的弧度数为t.
∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞)．
(3)
θ
0°
30°
60°
90°
120°
150°
180°
h(m)
0.8
1.4
3.2
5.6
8.0
9.8
10.4

t(s)
0
5
10
15
20
25
30
h(m)
0.8
1.4
3.2
5.6
8.0
9.8
10.4