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    2020届二轮复习求圆锥曲线方程学案(全国通用)
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    2020届二轮复习求圆锥曲线方程学案(全国通用)

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    微专题71 求曲线(或直线)的方程

    一、基础知识:

    1、求曲线(或直线)方程的思考方向大体有两种,一个方向是题目中含几何意义的条件较多(例如斜率,焦距,半轴长,半径等),那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值,从而按定义确定方程;另一个方向是若题目中没有明显的几何条件,主要依靠代数运算,那么就考虑先用待定系数法设出方程(未知的部分用字母代替),从而该方程便可参与题目中的运算,再利用题目条件求出参数的值,即可确定方程。可以说两个方向各有侧重,一个倾向于几何意义,另一个倾向于代数运算,下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理

    2、所学方程中字母的几何意义

    1)直线::斜率;:直线所过的定点

    2)圆::圆心的坐标; 圆的半径

    3)椭圆:长轴长焦半径的和 短轴长焦距

    4)双曲线::实轴长焦半径的绝对值 轴长焦距

    注:在椭圆和双曲线中,很多几何性质也围绕着展开通过这些条件也可以求出的值从而确定曲线方程例如(椭圆与双曲线共有的):

    离心率通径(焦点弦长的最小值):

    5)抛物线: 焦准距

    3、待定系数法中方程的形式:

    1)直线与曲线方程通式:

    直线:

    圆:

    椭圆:

    标准方程:(或,视焦点所在轴来决定)

    椭圆方程通式:

    双曲线:

    标准方程:(或,视焦点所在轴决定)

    双曲线方程通式:

    抛物线:

    标准方程:

    抛物线方程通式:

    2)曲线系方程:具有一类特征的曲线的集合,通常曲线方程中含有参数。曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程,则将问题转化为利用条件求解参数,让解题目标更为明确,曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。常见的曲线系方程如下:

    过相交直线的交点的直线系方程为:

    (其中为参数)

    与直线平行的直线系方程为:(其中为参数)

    与直线垂直的直线系方程为:(其中为参数)

    过相交两圆交点的圆系方程为:

    若直线与圆有公共点,则过公共点的圆系方程为:

    相同渐进线的双曲线系方程:与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为:

    二、典型例题:

    1:已知椭圆的长轴长为4,若点是椭圆上任意一点,过原点的直线与椭圆相交于两点,记直线的斜率分别为,且,则椭圆的方程为(    

    A.         B.        C.        D. 

    思路:由已知可得,所以只需利用条件求出的值即可,设,则。则,从而,由分子分母平方差的特点及在椭圆上联想到点差法,得:,所以

    ,所以椭圆方程为

    答案:D

    2:椭圆的右焦点为右顶点上顶点分别为

    (1)求椭圆的离心率

    (2)若斜率为的直线过点且交椭圆两点求直线的方程及椭圆的方程

    解:(1)由椭圆方程可得:

       

    (2)由(1)可得椭圆方程为:

    由已知可得直线的方程为

    联立方程:消去可得

    解得

    经检验:当满足直线与椭圆有两个交点所以符合条件

    椭圆方程为

    3:已知直线椭圆

    1若无论为何值直线与椭圆均有公共点试求的取值范围及椭圆离心率关于的函数关系式

    2)当直线与椭圆相交于两点轴交于点求椭圆的方程

    解:(1)由可知直线过定点

    恒有公共点

    在椭圆上或椭圆内

    的范围为

    综上所述:

    2)由已知可得:

      

    联立直线与椭圆方程可得:

    消去可得整理后可得

     

    可得

    解得

    椭圆方程为

    4:过点向椭圆引两条切线切点分别为为正三角形最大时椭圆的方程为    

    A.      B.      C.       D.

    思路:由题意可知本题确定值的关键在于达到最大的取值,那么需要得到关于的关系等式或不等式),作出图形可知,若为正三角形的斜率为进而能够得到的方程为例与椭圆方程联立并消元可得到所以则考虑利用均值不等式得到等号成立条件为再结合即可求出的值从而确定椭圆方程

    解:依图可知:    

    的方程为 联立方程

    消去整理后可得

    与椭圆相切

    由均值不等式可得

    等号成立条件为

    的最大值为此时

    椭圆方程为

    答案:D

    5:已知点是椭圆的右焦点,是椭圆短轴的两个端点,且是正三角形

    1)求椭圆的离心率

    2)直线与以为直径的圆相切,并且被椭圆截得的弦长的最大值为,求椭圆的标准方程

    :(1)设椭圆标准方程为,焦距为,由是正三角形

    可得:,因为

    解得:

    2)由(1)可得椭圆的方程为:

    设与椭圆的交点为

    若斜率不存在,可得弦长

    若斜率存在,设,联立方程:

    ,整理可得:

    与圆相切

    , 代入到上式可得:

    (等号成立条件:

       

          椭圆方程为:

    6:设椭圆的方程为,点为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,点在线段上,满足,直线的斜率为

    1)求的离心率

    2)设点的坐标为为线段的中点,点关于直线的对称点的纵坐标为,求的方程

    解(1)由在线段上和可得:

      

    2)由(1)中,可设

    可得:,设的对称点

    依题意可得:

    可解得:       椭圆方程为

    7:已知椭圆 的半焦距为原点到经过两点的直线的距离为

    1)求椭圆的离心率

    2)如图,是圆的一条直径若椭圆 经过两点求椭圆的方程

    解:(1)过的直线的方程为

    可得

    2)由(1)可得:

    椭圆方程为

    由圆方程可得

     

    联立方程

    消去可得整理后可得

         

      

    椭圆方程为

     8:已知双曲线的两个焦点为,其中一条渐近线方程为为双曲线上一点,且满足,若成等比数列,则双曲线的方程为__________

    解:成等比数列

    由渐近线方程可知不妨设在右支上

    由中线定理可知:

    可知     双曲线方程为

    答案:

    小炼有话说

    中线定理:已知中底边的中线则有证明如下:在由余弦定理可知

     

    同理,在

     

    且由中点可知

    可得

    92014,福建)已知双曲线的两条渐近线分别为

    1)求双曲线的离心率

    2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线两点(分别在第一、四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在请说明理由

    :(1)由双曲线方程可知,渐近线方程为

        

    2)若直线不与轴垂直,设

    联立方程: ,同理可得

    设直线与轴交于

    由直线与渐近线的交点分别在第一、四象限可知:

       

    由(1)可得双曲线方程为:

    联立与双曲线方程:

    因为与双曲线相切

    整理可得:

    所以   双曲线方程为:

    存在一个总与相切的双曲线,其方程为

    例10:已知分别为曲线与轴的左右两个交点直线过点且与轴垂直为上异于点的点,且在第一象限连结与曲线交于点

    (1)若曲线为圆求弦的长

    (2)设是以为直径的圆与线段的交点三点共线求曲线的方程

    解:(1)若曲线为圆则可知

     

    的方程

    (2)由已知可得:设直线

    联立直线与椭圆方程可得:整理后可得

    可知该方程的两根为:由韦达定理可得

        

    共线为圆的直径

    解得

    曲线的方程

     

     

     

     

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