2020届二轮复习求圆锥曲线方程学案（全国通用）

微专题71 求曲线（或直线）的方程

一、基础知识：

1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理

2、所学方程中字母的几何意义

（1）直线：：斜率；：直线所过的定点

（2）圆：:圆心的坐标； 圆的半径

（3）椭圆：：长轴长，焦半径的和； 短轴长；：焦距

（4）双曲线：：实轴长，焦半径差的绝对值； 虚轴长；：焦距

注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着展开，通过这些条件也可以求出的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）：

离心率：；通径（焦点弦长的最小值）：等

（5）抛物线： 焦准距

3、待定系数法中方程的形式：

（1）直线与曲线方程通式：

① 直线：，

② 圆：

③ 椭圆：

标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）

椭圆方程通式：

④ 双曲线：

标准方程：（或，视焦点所在轴决定）

双曲线方程通式：

⑤ 抛物线：

标准方程：等

抛物线方程通式：，

（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。常见的曲线系方程如下：

① 过相交直线的交点的直线系方程为：

即（其中为参数）

② 与直线平行的直线系方程为：（其中为参数）

③ 与直线垂直的直线系方程为：（其中为参数）

④ 过相交两圆交点的圆系方程为：

即

⑤ 若直线与圆有公共点，则过公共点的圆系方程为：

即

⑥ 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：

二、典型例题：

例1：已知椭圆的长轴长为4，若点是椭圆上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，且，则椭圆的方程为（     ）

A.         B.        C.        D. 

思路：由已知可得，所以只需利用条件求出的值即可，设，，则。则，从而，由分子分母平方差的特点及在椭圆上联想到点差法，得：，所以

即，所以椭圆方程为

答案：D

例2：椭圆的右焦点为，右顶点，上顶点分别为，且

（1）求椭圆的离心率

（2）若斜率为的直线过点，且交椭圆于两点，，求直线的方程及椭圆的方程

解：（1）由椭圆方程可得：

（2）由（1）可得椭圆方程为：

，

由已知可得，直线的方程为

联立方程：，消去可得：，即：

，解得：

经检验：当，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件

椭圆方程为

例3：已知直线，椭圆，

（1）若无论为何值，直线与椭圆均有公共点，试求的取值范围及椭圆离心率关于的函数关系式

（2）当时，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，若，求椭圆的方程

解：（1）由可知直线过定点

与恒有公共点

在椭圆上或椭圆内

的范围为

若，则

若，则

综上所述：

（2）由已知可得：，

设

联立直线与椭圆方程可得：

，消去可得：，整理后可得：

可得：

，即，解得：

或（舍）

椭圆方程为

例4：过点，向椭圆引两条切线，切点分别为，且为正三角形，则最大时椭圆的方程为（     ）

A.      B.      C.       D.

思路：由题意可知本题确定值的关键在于达到最大值时，的取值，那么需要得到关于的关系（等式或不等式），作出图形可知，若为正三角形，则的斜率为，进而能够得到的方程。以为例：，与椭圆方程联立并消元可得到：，所以，则考虑利用均值不等式得到，等号成立条件为，再结合即可求出的值，从而确定椭圆方程

解：依图可知：    

的方程为： ，联立方程：

，消去：，整理后可得：

与椭圆相切

即

由均值不等式可得：

（等号成立条件为：）

的最大值为，此时

椭圆方程为：

答案：D

例5：已知点是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的两个端点，且是正三角形

（1）求椭圆的离心率

（2）直线与以为直径的圆相切，并且被椭圆截得的弦长的最大值为，求椭圆的标准方程

解：（1）设椭圆标准方程为，焦距为，由是正三角形

可得：，因为

解得：

（2）由（1）可得椭圆的方程为：，

设与椭圆的交点为

若斜率不存在，可得弦长

若斜率存在，设，联立方程：

，整理可得：

与圆相切

， 代入到上式可得：

（等号成立条件：）

      椭圆方程为：

例6：设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为

（1）求的离心率

（2）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程

解（1）由在线段上和可得：

（2）由（1）中，可设

由可得：，设的对称点

依题意可得：

可解得：       椭圆方程为

例7：已知椭圆 的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为

（1）求椭圆的离心率

（2）如图，是圆的一条直径，若椭圆 经过两点，求椭圆的方程

解：（1）过的直线的方程为：

，由可得：

（2）由（1）可得：

椭圆方程为：

由圆方程可得：

设 

设，联立方程：

消去可得：，整理后可得：

椭圆方程为：

 例8：已知双曲线的两个焦点为，其中一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且满足，若成等比数列，则双曲线的方程为__________

解：成等比数列

由渐近线方程可知：，不妨设在右支上

即

由中线定理可知：

即

由可知     双曲线方程为：

答案：

小炼有话说：

中线定理：已知为中底边的中线，则有，证明如下：在中，由余弦定理可知：

  ①

同理，在中，有：

  ②

且由是中点可知：

可得：

，即

例9：（2014，福建）已知双曲线的两条渐近线分别为，

（1）求双曲线的离心率

（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一、四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在请说明理由

解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为

（2）若直线不与轴垂直，设

联立方程： ，同理可得

设直线与轴交于

即

由直线与渐近线的交点分别在第一、四象限可知：

由（1）可得双曲线方程为：

联立与双曲线方程：

因为与双曲线相切

整理可得：

所以   双曲线方程为：

存在一个总与相切的双曲线，其方程为

例10：已知分别为曲线与轴的左，右两个交点，直线过点且与轴垂直，为上异于点的点，且在第一象限，连结与曲线交于点

（1）若曲线为圆，且，求弦的长

（2）设是以为直径的圆与线段的交点，若三点共线，求曲线的方程

解：（1）若曲线为圆，则可知

的方程：

（2）由已知可得：，设直线

联立直线与椭圆方程可得：，整理后可得：

可知该方程的两根为：，由韦达定理可得：

，即

共线，且为圆的直径

，即解得：

曲线的方程：