2020届二轮复习数列求通项公式学案（全国通用）
展开培优点十一 数列求通项公式
1.累加、累乘法
例1：数列满足：，且，求．
【答案】．
【解析】，，，，
累加可得：，
．
2．与的关系的应用
例2：在数列中，，，则的通项公式为_________．
【答案】．
【解析】∵当时，，
，
整理可得：，，
为公差为2的等差数列，，
，．
3．构造法
例3：数列中，，，求数列的通项公式．
【答案】．
【解析】设即，对比，可得，
，是公比为3的等比数列，
，．
一、单选题
1．由，给出的数列的第34项是（ ）
A． B．100 C． D．
【答案】A
【解析】由，，
则，，，
，，，
由此可知各项分子为1，分母构成等差数列，首项，公差为，
∴，∴，故选A．
2．数列满足，，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】时，，，，，
∴数列的周期是3，∴．故选B．
3．在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】递推关系中，令可得：，
即恒成立，
据此可知，该数列是一个首项，公差的等差数列，
其前项和为：．故选C．
4．数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2017 D．3033
【答案】A
【解析】，故选A．
5．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵是递增数列，∴，
∵恒成立，即，
∴对于恒成立，而在时取得最大值，
∴，故选D．
6．在数列中，已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将等式两边取倒数得到，，
是公差为的等差数列，，
根据等差数列的通项公式的求法得到，故．故选B．
7．已知数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，．两式相减可得：，．
即，．数列是从第二项起的等比数列，公比为4，
又，．∴，．∴．故选B．
8．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题已知是上的奇函数，
故，代入得：，，
∴函数关于点对称，
令，则，得到，
∵，，
倒序相加可得，即，故选B．
9．在数列中，若，，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，数列中，若，，
则，
∴，
∴，故选A．
10．已知数列的首项，且满足，如果存在正整数，
使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意时，
，
由，即，
∴且，，，
其中最小项为，，
其中最大项为，因此．故选C．
11．已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）
A． B．
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
【答案】B
【解析】数列数列满足，，
当时，两式作商可得：，
∴数列的奇数项，，，，成等比，偶数项，，，，成等比，
对于A来说，，错误；
对于B来说，
，正确；
对于C来说，数列是等比数列，错误；
对于D来说，数列不是等比数列，错误，
故选B．
12．已知数列满足：，．设，，
且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵数满足：，．
，化为，
∴数列是等比数列，首项为，公比为2，
∴，，
∵，且数列是单调递增数列，
∴，∴，解得，
由，可得，对于任意的恒成立，
，故答案为．故选B．
二、填空题
13．已知数列的前项和为，且，则___________．
【答案】
【解析】数列的前项和为，且，
，两式想减得到．
此时，检验当时，符合题意，故．故答案为．
14．数列中，若，，则______．
【答案】
【解析】∵，，则，
∴．故答案为．
15．设数列满足，，___________．
【答案】
【解析】∵，
，
∴，，累加可得，
∵，，
∴．故答案为．
16．已知数列满足，，则_______．
【答案】
【解析】令，则，
由题意可得，
即，整理可得，
令，则，由题意可得，
且，，故，
即，，，，
据此可知．
三、解答题
17．已知各项均为正数的数列的前项和为，且．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，两式作差得，
又数列各项均为正数，∴，即，
当时，有，得，则，
故数列为首项为2公差为2的等差数列，∴．
（2），
∴．
18．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）的两边同时除以，得，
∴数列是首项为4，公差为2的等差数列
（2）由（1），得，
∴，故，
∴
．
