2020届二轮复习二项展开式赋值求某些项系数的和与差教案（全国通用）
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1．二项式定理
⑴二项式定理
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．
⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数．
②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
⑷几点注意
①通项是的展开式的第项，这里．
②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设，则得公式：．
⑥通项是中含有五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．
2．二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：
对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
⑵二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．
当时，的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是
，
，．．．，
，，．．．，
．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．
③二项式系数的和为，即．
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．
二项展开式3赋值求某些项系数的和与差
【例1】 的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，北京高考
【解析】通项为，，常数项为，
各项系数和为．
【答案】，；
【例2】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，重庆高考
【解析】由题意，．于是通项
当时，．常数项为．
【答案】20；
【例3】 展开式中不含的项的系数和为
A． B． C． D．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，江西高考
【解析】略
【答案】B；
【例4】 若展开式的各项系数之和为，则_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，北京高考
【解析】令得．
，于是时，对应常数项．
【答案】；
【例5】 ，则______．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】令，所求式子即为．
【答案】0；
【例6】 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，
可以通过抓通项公式解决 ．
二项式的展开式的通项公式为：
解析：前三项的．
得系数为：，
由已知： ，
∴
通项公式为
为有理项，故是的倍数，
∴．
依次得到有理项为．
【例7】 的展开式中的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，西城1模
【解析】通项公式，故的系数是；
令即可得各项系数之和为．
【答案】；；
【例8】 若，则的值为_____（用数字作答）．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】所求式子即为，
令，要求的式子就是．
【答案】1；
【例9】 设的展开式的各项系数之和为， 二项式系数之和为，若， 则展开式中的系数为（ ）
A． B．150 C． D．500
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，北京丰台一模
【解析】求的展开式的各项系数之和令，而二项式系数之和为，
则可以转化为得即．然后利用通项来求解．答案： B
【答案】B；
【例10】 若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是 ．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，丰台一模
【解析】由题设，第三项．
【答案】；
【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】由，于是常数项为
【答案】20；
【例12】 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】第一项系数的绝对值为，第二项系数的绝对值为，
第三项系数的绝对值为，
依题意有，解得，
⑴第四项；
⑵通项公式为，展开式的常数项有，
即，常数项为；
⑶令，得展开式的各项系数的和．
【例13】 若，
求的值．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】令得，
令得，
=
==1
【答案】1；
【例14】 若，
则 ．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】注意原式的展开特点，令，即可得．
【答案】
【例15】 若，则的值为_____（用数字作答）．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】所求式子即为，
令，要求的式子就是．
【答案】1；
【例16】 若，
则_____．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，福建高考
【解析】令，则所求式子为．
【答案】31；
【例17】 已知，求．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】由展开式知：均为负，均为正，
∴
令，则所求式子为．
【答案】
【例18】 若，求的值．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】令，用赋值法，令，得
⑴
令， ⑵
⑴+⑵，得
即．
【例19】 若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】令，所求的为，选A．
【答案】A；
【例20】 若，则（ ）
A． B． C． D．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】令，所求为，选C．
【答案】C；
【例21】 已知，求：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ 取可得，
取得
∴．
⑵ 取得，
记，．
∴．
可得
从而．
⑶ 从⑵的计算已知．
【例22】 若，
求的值．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】令得，
令得，
=
==1
【例23】 若，
则________．（用数字作答）
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】令得，
令得，∴．
【答案】31；
【例24】 若，
则 ．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3
【题型】填空
【关键字】无
【解析】注意原式的展开特点，令，即可得．
【答案】
【例25】 若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3
【题型】选择
【关键字】2009年，陕西高考
【解析】在二项式展开式中令，得，
于是，而，故．
【答案】C；
【例26】 已知．
⑴当时，求的值；
⑵设．
试用数学归纳法证明：当时，．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】4
【题型】解答
【关键字】2009年，南京1模
【解析】略
【答案】⑴当时，
原等式变为．
令得．
⑵因为，所以．
所以（）．
①当时，左边，右边，左边右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，即，
那么，当时，
左边右边．
故当时，等式成立．
综合①②，当时，．
【例27】 请先阅读：在等式的两边求导得，
由求导法则得，化简得．
⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：；
⑵对于整数，求证：．
⑶对于整数，求证①；②．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】4
【题型】解答
【关键字】2018年，江苏高考
【解析】略
【答案】⑴在等式两边对求导，得
．
移项得（）
⑵在（）式中，令得，，，
整理得．
⑶①由⑴知，．
两边对求导，得．
在上式中，令，得，
即，亦即．
又由⑵知，上面两式相加，得．
②将等式两边在上对积分，
．
由微积分基本定理，得，
故．
【例28】 证明：．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】2
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由二项式定理知：．
等式两边对求2次导数得：
令，则：．
整理得．
【例29】 证明：．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由二项式定理知：．
等式两边对积分得：．
再次积分：．
令，整理，得证．
【例30】 求证：
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】因为…，等式两边取关于的导数，得
………．
令，得……
【例31】 求的二项展开式．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】这里，，，直接代公式．
．
【例32】 设，则等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3
【题型】选择
【关键字】无
【解析】，因此，选C．
【答案】C；
【例33】 设，求
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】．
【例34】 已知数列（）满足：
求证：对于任意正整数，
是一次多项式或零次多项式．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由已知条件知数列是等差数列，设公差为．则．
于是：
而，所以
因此是一次多项式或零次多项式．
【例35】 若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】赋值求某些项系数的和与差
【难度】3
【题型】选择
【关键字】无
【解析】∵，∴，．
，故应选A．
【答案】A；
