2020届二轮复习二项展开式求展开式中的特定项教案（全国通用）



求展开式中的特定项










知识内容


1．二项式定理
⑴二项式定理

这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．
⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数．
②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
⑷几点注意
①通项是的展开式的第项，这里．
②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设，则得公式：．
⑥通项是中含有五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．

2．二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：
对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
⑵二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．
当时，的图象为下图：

这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是
，
，．．．，
，，．．．，
．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．
③二项式系数的和为，即．
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．

典例分析


二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．）
常数项

【例1】 在展开式中，系数为有理数的项共有 项．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，湖北高考
【解析】略
【答案】6；


【例2】 的展开式中共有_____项是有理项．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】展开式的第项为，
要使第项为有理项，需要为与的倍数，从而，，
又，故，共有项．
【答案】17；


【例3】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，江西高考
【解析】两个二项式的通项公式分别为，
，当即时，有3种情况：；；．
因此常数项为．
【答案】4246；


【例4】 的展开式中的常数项为_________．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，辽宁高考
【解析】略
【答案】


【例5】 二项式的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，石景山一模
【解析】通项公式，时，可得常数项；
令即可得各项系数和为．
【答案】；


【例6】 若的展开式中的常数项为，则实数___________．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，崇文1模
【解析】由二项式定理．令．
于是有．
【答案】；


【例7】 在二项式的展开式中，的系数是，则实数的值为 ．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，海淀一模
【解析】由二项式定理，．
当时，，于是的系数为，从而．
【答案】1；


【例8】 在的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，西城2模
【解析】容易知道为所求．
【答案】15；


【例9】 如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则 ，展开式中的常数项的值等于 ．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，朝阳2模
【解析】由题意有；展开式的常数项的值为．
【答案】8，70；


【例10】 的展开式中常数项为 （用数字作答）
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，全国高考
【解析】的展开式中常数项为．
【答案】；


【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，重庆高考
【解析】由题意，．于是通项
当时，．常数项为．
【答案】20；


【例12】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】若的展开式中含有常数项，为常数项，
则，
即，所以被7整除，当时成立，最小的正整数等于7．
【答案】7；


【例13】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，江西高考
【解析】通项公式为，由已知条件有时，．
容易验证当时，不满足条件；时满足条件．
【答案】6；


【例14】 的展开式中，常数项为15，则 ．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，全国高考
【解析】的展开式中，通项公式
，常数项为15，则：
．所以可以被3整除．
容易验证当时，不满足条件；当时，，常数项，故．
【答案】6；


【例15】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】2018年，辽宁高考
【解析】的通项公式为．
如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：．
所以被4除只能余1．当时，．
【答案】5；


【例16】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，山东高考
【解析】用通项公式，当时，，
常数项为．
【答案】；


【例17】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，山东高考
【解析】第三项的系数为，第五项的系数为，
由第三项与第五项的系数之比为，可解得，则通项＝，当，解得，故所求的常数项为．
【答案】45；


【例18】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ）
A．3个 B．2 C．1 D．0
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】通项，存在常数项，则，
能被5整除，所以只有两种选择．选B．
【答案】B；


【例19】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，江西高考
【解析】两个二项式的通项公式分别为，
，当即时，有3种情况：；；．
因此常数项为．
【答案】；


【例20】 的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】2018年，湖北高考
【解析】注意到，
所以要求的的系数，的通项公式为：
当时，可求得的的系数，所以所求常数项为．
当然也可以直接将原多项式变为，然后用通项公式求常数项．
【答案】；


【例21】 的展开式中常数项为 （用数字作答）
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，全国高考
【解析】的展开式中常数项为．
【答案】；


【例22】 已知的展开式的常数项是第项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略；
【答案】B；


【例23】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，江西高考
【解析】通项公式为，由已知条件有时，．
容易验证当时，不满足条件；时满足条件．
【答案】6；


【例24】 的展开式中，常数项为15，则 ．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，全国高考
【解析】的展开式中，通项公式，
常数项为15，则：
．所以可以被3整除．
容易验证当时，不满足条件；当时，，常数项，故．
【答案】6；


【例25】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，山东高考
【解析】用通项公式，当时，，
常数项为．
【答案】；


【例26】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，山东高考
【解析】第三项的系数为，第五项的系数为，
由第三项与第五项的系数之比为，可解得，则通项=，当，解得，故所求的常数项为
【答案】45；


【例27】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ）
A．3个 B．2 C．1 D．0
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】通项，存在常数项，
则，能被5整除，所以只有两种选择．选B．
【答案】B；


【例28】 展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，山东高考
【解析】，
，．
【答案】C；


【例29】 求展开式中的常数项．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】
．
由展开式的通项公式，可得展开式的常数项为．


【例30】 的展开式的常数项是 （用数字作答）
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，四川高考
【解析】通项公式，令，得，
故常数项为．
【答案】-20


【例31】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于（ ）
Ａ．                   Ｂ．                    Ｃ．                  Ｄ．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】通项公式，令，且为的倍数．
常数项为，从而，故或，验证可知．
【答案】B；


【例32】 的展开式中的第项为常数项，那么正整数的值是 ．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】2018年，四川高考
【解析】；为常数项，故．
【答案】8；


【例33】 若的展开式中存在常数项，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年，东城区一模
【解析】通项公式，由题设知存在，
使得，即，因此应是的倍数，只有选项符合要求，验证可知满足要求．
【答案】A；


【例34】 在的展开式中常数项是 ，中间项是．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略
【答案】．．


【例35】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，辽宁高考
【解析】的通项公式为．
如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：．
所以被4除只能余1．当时，．
【答案】5；


【例36】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】若的展开式中含有常数项，为常数项，
则，
即，所以被7整除，当时成立，最小的正整数等于7．
【答案】7；


【例37】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（ ）
A．         B．            C．             D．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】通项公式，由题设．
令，故常数项为．
【答案】D；


【例38】 若展开式中的二项式系数和为，则等于________；该展开式中的常数项为_________．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年朝阳区一模
【解析】由题设，通项公式，
令，得，
故常数项为．
【答案】；；


【例39】 若的展开式中常数项为，则_____，其展开式中二项式系数之和为_________．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，西城区二模
【解析】通项公式，令，得，
常数项，展开式中二项式系数之和为．
【答案】；


【例40】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】B；


有理项
【例41】 求二项式的展开式中：
⑴常数项；
⑵有几个有理项（只需求出个数即可）；
⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】展开式的通项为：．
⑴设项为常数项，则，得，即常数项为；
⑵设项为有理项，则为整数，∴为的倍数，
又∵，∴可取，，三个数，
故共有个有理项．
⑶为非负整数，得或，
∴有两个整式项．


【例42】 的展开式中共有_______项是有理项．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】展开式的第项为，
要使第项为有理项，需要为与的倍数，从而，，
又，故，共有项．
【答案】17；


【例43】 二项式的展开式中：
⑴求常数项；
⑵有几个有理项；
⑶有几个整式项．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】展开式的通项为：．
⑴项为常数项，则，得，即常数项为；
⑵设项为有理项，则为整数，∴为的倍数，
又∵，∴可取三个数．
⑶为非负整数，得或，∴有两个整式项．


【例44】 已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列
①求；
②求展开式中的有理项．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】①通项公式，
由题设（舍去）．
②，为有理项的充要条件为，
所以是的倍数，．
因此所有有理项为．


【例45】 二项展开式中，有理项的项数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】（r = 0，1，2，…，14 ），
当时，为有理项，选A．
【答案】A；


【例46】 在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则
A．1 B． C． D．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】选择
【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试
【解析】B；于是可取3，9，
则，
【答案】B；


【例47】 的展开式中，含的正整数次幂的项共有（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】B；


【例48】 若（，为有理数），则（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年，北京高考
【解析】．
【答案】C；


系数最大的项
【例49】 已知的展开式中前三项的系数成等差数列．
⑴求的值；
⑵求展开式中系数最大的项．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴由题设，得，即，解得或（舍去）．
⑵设第项的系数最大，则，即
解得或．
所以系数最大的项为．


【例50】 展开式中系数最大的项是第几项？
【考点】求展开式中的特定项
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】通项公式为．
若第项最大，设第项的系数为，则．
将通项公式系数代入化简得：．
解出．∴
因此系数最大的项是第13项．
【答案】13；


【例51】 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由已知有，即，解得或（舍去）
设第第项的系数最大，则，即
解得
所以系数最大的项为和．


【例52】 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试
【解析】于是，展开式的常数项为．
【答案】B；


【例53】 已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】由题设，，即，．
故或，解得的值为或．
【答案】的值为或．

【例54】 求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】展开式的通项公式为：，
系数的绝对值为，记为．
用前后两项系数的绝对值作商得：
．
令得：，即时，上述不等式成立．
所以，系数的绝对值从第项到第项增加，以后逐项减小．
系数绝对值最大的项为第4项，．
从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第项与第项的系数，记它们的系数分别为与，
．
所以，系数最大的项为第项，．

【例55】 已知展开式中的倒数第三项的系数为，求：
⑴含的项；
⑵系数最大的项．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ 由题设知，解得．
，令，
因此含的项为．
⑵ 系数最大的项为中间项，即．

【例56】 设，，的展开式中，的系数为．
⑴求展开式中的系数的最大、最小值；
⑵对于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】，即．∴．
⑴设的系数为．
∵，，∴当或时，；当或时，．
⑵对于使中的系数取最小值时的的值，即
从而的系数为．

【例57】 已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．
⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，
∴，．
⑴ ∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴，，
⑵ 设展开式中第项系数最大，则，
∴，∴，
即展开式中第项系数最大，．


【例58】 展开式中系数最大的项是第几项？
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】通项公式为．
若第项最大，设第项的系数为，则．
将通项公式系数代入化简得：．
解出．∴
因此系数最大的项是第13项．
【答案】13；


【例59】 关于二项式有下列命题：
①该二项展开式中非常数项的系数和是：
②该二项展开式中第六项为；
③该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；
④当时，除以的余数是．
其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】二项式所有项的系数和为，其常数项为，非常数项的系数和是，
得①正确；
二项展开式的第六项为，即得②错误；
二项展开式中系数绝对值最大的项为第项（系数为）与第项（系数为），得系数最大的项是第项，即③错误；
当时，除以的余数是，即④正确．故应填①④．
【答案】①④；

【例60】 在的展开式，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】；根据第项的二项式系数最大可求出．常数项为。
【答案】7；

【例61】 设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为 　 ．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】2018年，湖北省八校第二次联考
【解析】1；易知为整数，于是的小数部分
与的小数部分相同，而，于是则
．
【答案】1；


【例62】 中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】通项公式为．设第项的系数为
当时，将已知条件代入得：，
由已知，可知，即，第5项为常数项．
若系数最大，则，化简可得．
将代入，可得
【答案】


【例63】 二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为___________．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】或；由已知可得，即得，
二项式系数最大的一项为，解得，又，∴或．
【答案】或


【例64】 如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，湖北高考
【解析】由展开式通项有
由题意得，故当时，正整数的最小值为5．
【答案】5；


【例65】 在二项式的展开式中，存在着系数之比为的相邻两项，则指数的最小值为 ．
【考点】求展开式中的特定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略
【答案】11；