2020届二轮复习二项式定理的应用其他教案（全国通用）
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1．二项式定理
⑴二项式定理
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．
⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数．
②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
⑷几点注意
①通项是的展开式的第项，这里．
②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设，则得公式：．
⑥通项是中含有五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．
2．二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：
对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
⑵二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．
当时，的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是
，
，．．．，
，，．．．，
．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．
③二项式系数的和为，即．
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．
【例1】 对于二项式，四位同学作出了四种判断：
①存在，展开式中有常数项；②对任意，展开式中没有常数项；
③对任意，展开式中没有的一次项；④存在，展开式中有的一次项．上述判断中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【考点】二项式定理的应用
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】D；容易知道，当时，二项式有常数项，
其常数项为．当时，有常数项．
【答案】D；
【例2】 由等式
，定义映射，则等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】二项式定理的应用
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】D；由二项式定理，容易有
当时，
解得．于是答案为D．
【答案】D；
【例3】 求证：
【考点】二项式定理的应用
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】注意到左边，本题可以直接构造排列组合的实例来证明
：从个人中选个人去干某件事，可以先将人平分成两组，从两组中分别选人凑成个人，效果是一样的．
用二项式定理来证明的话，构造恒等式：．
分别求恒等式两边的的系数，右边的显然是，左边的也不难知道为，即，两边的系数应该相等，原等式成立．
【例4】 证明：
【考点】二项式定理的应用
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】．
因此．
【例5】 设，，，将的最小值记为，则，，，，…，，…其中 ．
【考点】二项式定理的应用
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，浙江高考
【解析】略
【答案】
