2020届二轮复习 二项式定理 教案（全国通用）

高考总复习：二项式定理

【考纲要求】

1．能用计数原理证明二项式定理；

2．掌握二项展开式系数的性质及计算的问题；

3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

【知识网络】

【考点梳理】

要点一、二项式定理

公式叫做二项式定理。其中叫做二项式系数。叫做二项展开式的通项，它表示第项。

其中：

①公式右边的多项式叫做的二项展开式；

②展开式中各项的系数叫做二项式系数；

③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为.

要点诠释：

二项展开式的通项公式集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用。使用时要注意：

（1）通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项；

（2）通项公式中a和b的位置不能颠倒；

（3）展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心以防出差错；

（4）在通项公式中共含有a,b,n,r,这5个元素，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到：知道5个元素中的若干个（或它们之间的关系），求另外几个元素的问题。这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程（组）或不等式（组），这里要注意n为正整数，r为非负数，且r≤n。

要点二、二项展开式的特性

①项数：有n+1项；

②次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式；

③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0；字母b升幂排列，从0到n；

④系数：依次为.

要点三、二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等

②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.

③二项式系数之和为，即

其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，

即

要点诠释：

1．对于二项式定理的构成，展开式中含的项的系数可理解为从n个相同的a+b中先取出r个b，有种不同取法，再从剩下的n-r个括号中取出n-r个a，有种方法，据分步计数原理，共有种不同方法数，该方法数就对应着展开式中含的项的系数.

2．二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a，b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式.因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据.

3. 二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别是：它们是完全不同的两个概念。二项式系数的指，它只与各项的项数有关，而与的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与的值有关。

【典型例题】

类型一、求特定项和特定项的系数

【例1】在的展开式中，求：

（1）第4项的二项式系数；

（2）第4项的系数；

（3）常数项。

【思路点拨】利用展开式的通项公式求解。

【解析】展开式的通项：

（1），二项式系数为；

（2）由（1）知第4项的系数为；

（3）令, 得,

∴常数项为.

【总结升华】解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。

【例2】的展开式中常数项是（　　　）

A.14   B.－14   C.42   D.－42

【思路点拨】利用二项式定理展开式通项公式进行求解。

【解析】展开式的通项，

当，即r=6时，它为常数项，

∴常数项为.

【总结升华】利用二项式定理展开式通项公式求特定项问题是高考常见题型，要注意掌握和应用。

举一反三：

【变式1】如果在的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.

【解析】的展开式的通项为

前三项的系数为

∴

∴n=8

通项化简为

设第r+1项为有理项，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.

有理项为T1=x4，T5=，.

【变式2】在的展开式中，有多少个有理项？

【解析】的展开式中的通项为

(0≤r≤100，r∈Z)

∵3与5互质

∴要使此项为有理项，只要r能被3和5整除，即r能被15整除

又∵0≤r≤100，r∈Z

∴r=0，15×1，15×2，…，15×6，共有7项是有理项。

类型二、二项式系数的性质

【例3】 已知的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：

（1）二项式系数最大的项；

（2）系数的绝对值最大的项；

（3）系数最大的项。

【思路点拨】利用二项式定理展开式性质求解最大项。

【解析】由题意得，∴n=10

∴二项展开式的通项公式为

（1）∵n=10，

∴二项展开式共11项

∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大

又

∴所求二项式系数最大的项为

（2）设第r+1项系数的绝对值最大，

则有

解之得，注意到，

故得r=3

∴第4项系数的绝对值最大

∴所求系数绝对值最大的项为

（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，

即在r取偶数的各项内

又r取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为

，，，，，

即分别为1，，，，

由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，

即

【总结升华】

（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。

（2）这里展开式中系数绝对值最大的项，实际上是展开式中系数最大的项，必要时可适时转化。

（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用。

备份：

举一反三：

【变式1】的展开式的偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项为    ___。

【解析】

∴n=8

∴展开式中第5项的二项式系数最大

即展开式中二项式系数最大的项为。

【变式2】设展开式的第10项系数最大，求n.  

【解析】展开式的通项为

∴

∵第10项系数最大

又∵

∴n=13或n=14

类型三、多项式转化为二项式的问题

【例4】试求下列二项展开式中指定项的系数.

（1）的展开式中项的系数；

（2）的展开式中项的系数；

（3）的展开式中项的系数；

（4）的展开式中x项的系数；

（5）的展开式中项的系数；

【思路点拨】将多项式转化为二项式，然后再利用二项式定理加以解决。

【解析】

（1）借助“配方转化”：原式

∴原展开式中项的系数，即展开式中项的系数

又展开式的通项公式为

令得r=3

∴展开式中

∴ 所求原展开式中项的系数为-960；

（2）注意到的幂指数3较小，借助“局部展开”：

原式

∴展开式中的系数为

                      =-590

（3）

法一:求和转化

原式

∴ 所求原展开式中项的系数即为展开式中项的系数，

∴ 所求展开式中项的系数为

法二:集零为整

考察左式各部，展开式中项的系数为

（4）

法一：

上式中只有中含有的项，

∴所求原展开式中的系数是。

法二：(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5，

此展开式中含x的项由(x+1)5中常数项乘以(x+2)5中的一次项与(x+1)5中的一次项乘以(x+2)5中的常数项合并而来

∵

∴(x2+3x+2)5展开式中x的系数是240。

法三：利用求解组合应用题的思路

注意到

∴ 欲求展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x，其余四个因式都取常数2即可。

∴ 原展开式中x的一次项为

∴ 所求原展开式中x的系数为240；

（5）

法一：两次利用二项展开式的通项公式

注意到

其展开式的通项          ①

又的展开式的通项        ②

依题意 ，

由此解得，，

∴ 由①、②得所求展开式中项的系数为

法二：利用因式分解转化

∴ 所求即为展开式中的系数，

于是利用“局部展开”可得其展开式中的系数为

=-168

【总结升华】多项展开式中某一项系数的主要求法

（1）等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零。

（2）局部展开；

（3）两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式；

（4）借助求解组合应用题的思想

举一反三：

【变式1】(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2的系数为____。

【解析】原式

要求原式展开的含x2项，只要求分子中(1-x)6展开式中的x3项

∴系数为

【变式2】在的展开式中的系数是（   ）

A. –14        B. 14       C. –28        D. 28

【解析】，

又的展开式中的系数为，的系数为

∴原展开式中的系数为 ，应选B。

类型四、赋值法的应用

【例5】设

（1）求

（2）求

（3）

（4）

（5）求各项二项式系数的和。

【思路解析】二项展开式求各项系数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决。

【解答】（1）令x=1,得

（2）令x=-1得而由（1）知

两式相加，得。

（3）由（2）得

（4）令x=0得=1，亦得

（5）各项二项式系数的和为

【总结升华】

1．赋值法在二项式定理中的应用是高考常考的内容，二项式定理实质是关于a,b,n的恒等式，出除了正用、逆用这个恒等式，还可根据所求系数和的特征，让a,b取相应的特殊值，至于特殊值a,b如何选取，视具体问题而定。

2．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意。

【例6】设，求

①展开式中各二项式系数的和；

②展开式中各项系数的和；

③的值

④的值

⑤的值

【思路解析】本题级出二项式及其二项展开式求各系数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决。

【解析】令

①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和

②令，得

∴展开式中各项系数的和

③ 注意到

        ∴

∴

④仿③得

又

∴

⑤

法一：

由

∴

令，得

又

∴

法二：由二项式的展开式知，

∴

又，

∴

∴

【总结升华】对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值。

举一反三：

【变式1】,则             .

【解析】

令，得

又

∴.

类型五、二项式定理的综合应用

【例7】求9192除以100的余数。

【思路点拨】利用二项式定理展开式解决题型：

（1）证明某些整除问题或求余数；

（2）证明有关不等式；

（3）进行近似计算；

【解析】

∴9192除以100的余数为81。

【总结升华】解题方法归纳：

（1）二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，。

（2）利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除（数）展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧；

（3）由于的展开式共有n+1项，故可能对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的。而对于整除问题，关键是拆成两项利用二项式定理展开，然后说明各项是否能被整除。

举一反三：

【变式1】求证：能被64整除。

【解析】

∴能被64整除

【变式2】求1.0110精确到0.001的近似值。

【解析】

=1+0.1+0.0045+…

≈1.105