2020届二轮复习二项式定理教案（全国通用）

2020届二轮复习  二项式定理   教案（全国通用）

类型一、求特定项和特定项的系数

【例1】在的展开式中，求：

（1）第4项的二项式系数；

（2）第4项的系数；

（3）常数项。

【思路点拨】利用展开式的通项公式求解。

【解析】展开式的通项：

（1），二项式系数为；

（2）由（1）知第4项的系数为；

（3）令, 得,

∴常数项为.

【总结升华】解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。

【例2】的展开式中常数项是（　　　）

A.14   B.－14   C.42   D.－42

【思路点拨】利用二项式定理展开式通项公式进行求解。

【解析】展开式的通项，

当，即r=6时，它为常数项，

∴常数项为.

【总结升华】利用二项式定理展开式通项公式求特定项问题是高考常见题型，要注意掌握和应用。

举一反三：

【变式1】如果在的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.

【解析】的展开式的通项为

前三项的系数为

∴

∴n=8

通项化简为

设第r+1项为有理项，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.

有理项为T1=x4，T5=，.

【变式2】在的展开式中，有多少个有理项？

【解析】的展开式中的通项为

(0≤r≤100，r∈Z)

∵3与5互质

∴要使此项为有理项，只要r能被3和5整除，即r能被15整除

又∵0≤r≤100，r∈Z

∴r=0，15×1，15×2，…，15×6，共有7项是有理项。

类型二、二项式系数的性质

【例3】 已知的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：

（1）二项式系数最大的项；

（2）系数的绝对值最大的项；

（3）系数最大的项。

【思路点拨】利用二项式定理展开式性质求解最大项。

【解析】由题意得，∴n=10

∴二项展开式的通项公式为

（1）∵n=10，

∴二项展开式共11项

∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大

又

∴所求二项式系数最大的项为

（2）设第r+1项系数的绝对值最大，

则有

解之得，注意到，

故得r=3

∴第4项系数的绝对值最大

∴所求系数绝对值最大的项为

（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，

即在r取偶数的各项内

又r取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为

，，，，，

即分别为1，，，，

由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，

即

【总结升华】

（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。

（2）这里展开式中系数绝对值最大的项，实际上是展开式中系数最大的项，必要时可适时转化。

（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用。

备份：

举一反三：

【变式1】的展开式的偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项为    ___。

【解析】

∴n=8

∴展开式中第5项的二项式系数最大

即展开式中二项式系数最大的项为。

【变式2】设展开式的第10项系数最大，求n.  

【解析】展开式的通项为

∴

∵第10项系数最大

又∵

∴n=13或n=14

类型三、多项式转化为二项式的问题

【例4】试求下列二项展开式中指定项的系数.

（1）的展开式中项的系数；

（2）的展开式中项的系数；

（3）的展开式中项的系数；

（4）的展开式中x项的系数；

（5）的展开式中项的系数；

【思路点拨】将多项式转化为二项式，然后再利用二项式定理加以解决。

【解析】

（1）借助“配方转化”：原式

∴原展开式中项的系数，即展开式中项的系数

又展开式的通项公式为

令得r=3

∴展开式中

∴ 所求原展开式中项的系数为-960；

（2）注意到的幂指数3较小，借助“局部展开”：

原式

∴展开式中的系数为

                      =-590

（3）

法一:求和转化

原式

∴ 所求原展开式中项的系数即为展开式中项的系数，

∴ 所求展开式中项的系数为

法二:集零为整

考察左式各部，展开式中项的系数为

（4）

法一：

上式中只有中含有的项，

∴所求原展开式中的系数是。

法二：(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5，

此展开式中含x的项由(x+1)5中常数项乘以(x+2)5中的一次项与(x+1)5中的一次项乘以(x+2)5中的常数项合并而来

∵

∴(x2+3x+2)5展开式中x的系数是240。

法三：利用求解组合应用题的思路

注意到

∴ 欲求展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x，其余四个因式都取常数2即可。

∴ 原展开式中x的一次项为

∴ 所求原展开式中x的系数为240；

（5）

法一：两次利用二项展开式的通项公式

注意到

其展开式的通项          ①

又的展开式的通项        ②

依题意 ，

由此解得，，

∴ 由①、②得所求展开式中项的系数为

法二：利用因式分解转化

∴ 所求即为展开式中的系数，

于是利用“局部展开”可得其展开式中的系数为

=-168

【总结升华】多项展开式中某一项系数的主要求法

（1）等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零。

（2）局部展开；

（3）两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式；

（4）借助求解组合应用题的思想

举一反三：

【变式1】(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2的系数为____。

【解析】原式

要求原式展开的含x2项，只要求分子中(1-x)6展开式中的x3项

∴系数为

【变式2】在的展开式中的系数是（   ）

A. –14        B. 14       C. –28        D. 28

【解析】，

又的展开式中的系数为，的系数为

∴原展开式中的系数为 ，应选B。

类型四、赋值法的应用

【例5】设

（1）求

（2）求

（3）

（4）

（5）求各项二项式系数的和。

【思路解析】二项展开式求各项系数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决。

【解答】（1）令x=1,得

（2）令x=-1得而由（1）知

两式相加，得。

（3）由（2）得

（4）令x=0得=1，亦得

（5）各项二项式系数的和为

【总结升华】

1．赋值法在二项式定理中的应用是高考常考的内容，二项式定理实质是关于a,b,n的恒等式，出除了正用、逆用这个恒等式，还可根据所求系数和的特征，让a,b取相应的特殊值，至于特殊值a,b如何选取，视具体问题而定。

2．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意。

【例6】设，求

①展开式中各二项式系数的和；

②展开式中各项系数的和；

③的值

④的值

⑤的值

【思路解析】本题级出二项式及其二项展开式求各系数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决。

【解析】令

①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和

②令，得

∴展开式中各项系数的和

③ 注意到

        ∴

∴

④仿③得

又

∴

⑤

法一：

由

∴

令，得

又

∴

法二：由二项式的展开式知，

∴

又，

∴

∴

【总结升华】对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值。

举一反三：

【变式1】,则             .

【解析】

令，得

又

∴.

类型五、二项式定理的综合应用

【例7】求9192除以100的余数。

【思路点拨】利用二项式定理展开式解决题型：

（1）证明某些整除问题或求余数；

（2）证明有关不等式；

（3）进行近似计算；

【解析】

∴9192除以100的余数为81。

【总结升华】解题方法归纳：

（1）二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，。

（2）利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除（数）展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧；

（3）由于的展开式共有n+1项，故可能对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的。而对于整除问题，关键是拆成两项利用二项式定理展开，然后说明各项是否能被整除。

举一反三：

【变式1】求证：能被64整除。

【解析】

∴能被64整除

【变式2】求1.0110精确到0.001的近似值。

【解析】

=1+0.1+0.0045+…

≈1.105