2020届二轮复习（理）高难拉分攻坚特训(五)作业 练习
展开高难拉分攻坚特训(五)
1．已知函数f(x)＝sin2x的图象与直线2kx－2y－kπ＝0(k>0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3，则(x1－x3)tan(x2－2x3)＝( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案 B
解析 记直线2kx－2y－kπ＝0为l，则l必过点.又l与f(x)的图象均关于点对称，所以由题意可知，x1＋x3＝2x2＝π，且l是曲线y＝f(x)的一条切线，(x3，f(x3))是其中一个切点．因为f(x)＝sin2x，所以f′(x)＝2cos2x，所以切线l的斜率k＝2cos2x3＝，即＝1，所以(x1－x3)tan(x2－2x3)＝(π－2x3)tan＝＝－1.故选B.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝3，且Sn＋1＋Sn－1＝2n＋2Sn(n≥2)，若λ(Sn－an)＋λ＋7≥(2－λ)n对任意n∈N*都成立，则实数λ的最小值为________．
答案
解析 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝3，且Sn＋1＋Sn－1＝2n＋2Sn(n≥2)，
所以Sn＋1－Sn＝2n＋Sn－Sn－1，
故an＋1－an＝2n(n≥2)，
因为a2－a1＝21，所以an＋1－an＝2n(n≥1)，
所以an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，…，a2－a1＝21，
则an－a1＝21＋22＋…＋2n－1，
故an＝1＋21＋…＋2n－1＝＝2n－1，
所以Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－n－2，
所以Sn－an＝2n－n－1，
因为λ(Sn－an)＋λ＋7≥(2－λ)n对任意n∈N*都成立，
所以λ≥max.
设cn＝，则cn＋1－cn＝－＝，
当n≤4时，cn＋1>cn，当n≥5时，cn＋1<cn，
因此c1<c2<c3<c4<c5＞c6＞c7＞…
即λ≥c5＝，故λ的最小值为.
3．已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，点C(2，0)，线段AC的中垂线交线段AB于点M.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝相切，且与动点M的轨迹交于点E，F，求△OEF面积的最大值(O为坐标原点)．
解 (1)由题知|MA|＝|MC|，∵|MA|＋|MB|＝4，
∴|MB|＋|MC|＝4>4＝|BC|，
∴M的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.
(2)①当l的斜率存在时．设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
l的方程为y＝kx＋m.
由得，(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
∴
可得|EF|＝|x1－x2|
＝，
∵l与圆O相切，∴3m2＝8(1＋k2)，
从而|EF|＝·，
令2k2＋1＝t，得k2＝(t≥1)，
∴|EF|＝·
＝·≤×＝2.
当且仅当t＝2，即k＝±时取等号．
∴(S△OEF)max＝×2× ＝2.
②当l的斜率不存在时．易得l的方程为x＝或x＝－.
此时|EF|＝，
∴S△OEF＝×× ＝<2.
由①②可得，S△OEF的最大值为2.
4．已知函数f(x)＝ln x＋＋x(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a＝1，f(x)>＋x－1在(1，＋∞)上恒成立，求k的取值范围．
解 (1)由题可知f′(x)＝－＋1＝(x>0)，
①当a≤0时，此时f′(x)≥0恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a>0时，令f′(x)>0，解得x>；令f′(x)<0，解得0<x<.
∴f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
(2)原不等式等价变形为(k－1)ln x＋x－>0恒成立．
令g(x)＝(k－1)ln x＋x－(x>1)，
则g′(x)＝＋1＋＝.
令h(x)＝x2＋(k－1)x＋1，
①当k≥－1时，此时h(x)的对称轴：x＝－＝≤1，
∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
又∵h(1)＝k＋1≥0，∴h(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．
∴g′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∴g(x)>g(1)＝0.
∴k≥－1符合要求．
②当k<－1时，此时h(1)＝k＋1<0，
∴h(x)＝0在(1，＋∞)上有一根，设为x0，
当x∈(1，x0)时，h(x)<0，即g′(x)<0.
∴g(x)在(1，x0)上单调递减．
∴g(x)<g(1)＝0.这与g(x)>0在(1，＋∞)上恒成立矛盾．
综合①②可得，k的取值范围为[－1，＋∞)．
