2020届二轮复习（理）高难拉分攻坚特训(一)作业 练习

高难拉分攻坚特训(一)

1．已知椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为(　　)

A．(1,6)  B．(1,5)  C．(3,6)  D．(3,5)

答案　D

解析　由于椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，所以解得3<a2<5.设椭圆M：＋y2＝1与圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限的公共点P(x0，y0)，则椭圆M在点P处的切线方程为＋y0y＝1，圆C在P处的切线方程为x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－，k2＝－，＝a2，所以∈(3,5)，故选D.

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝2，an≠0，(an＋1－2n)Sn＋1＝an＋1Sn－1－2nSn(n≥2)，设bn＝a2n－1，数列{bn}的前n项和为Tn，则T100＝________.

答案　9901

解析　由(an＋1－2n)Sn＋1＝an＋1Sn－1－2nSn(n≥2)整理得an＋1(Sn＋1－Sn－1)＝2n(Sn＋1－Sn)⇔an＋1(an＋1＋an)＝2nan＋1，即an＋1＋an＝2n(n≥2)，由两式相减得an＋2－an＝2(n≥2)，故{bn}从第二项起是以2为公差的等差数列，b1＝a1＝1，由于a3＋a2＝4，则a3＝2，∴b2＝a3＝2，故T100＝1＋2×99＋×2＝9901.

3．某省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91－100,81－90,71－80,61－70,51－60,41－50,31－40,21－30八个分数区间，得到考生的等级成绩．

举例说明：

某同学化学学科原始分为65分，该学科C＋等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C＋等级．而C＋等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：

设该同学化学学科的转换等级分为x，＝，求得x≈66.73.

四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.

(1)某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N(60,122)．

①若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B＋，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；

②求物理原始分在区间(72,84)的人数；

(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望．

(附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997)

解　(1)①设小明转换后的物理等级分为x，＝，

求得x≈82.64.

小明转换后的物理成绩为83分．

②因为物理考试原始分基本服从正态分布N(60,122)，

所以P(72<ξ<84)＝P(60<ξ<84)－P(60<ξ<72)

＝P(36<ξ<84)－P(48<ξ<72)

＝×(0.954－0.683)＝0.1355.

所以物理原始分在区间(72,84)的人数为2000×0.1355＝271.

(2)由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间[61,80]内的概率为，

随机抽取4人，则X～B.

P(X＝0)＝4＝，

P(X＝1)＝C××3＝，

P(X＝2)＝C×2×2＝，

P(X＝3)＝C×3×1＝，

P(X＝4)＝4＝.

X的分布列为

数学期望E(X)＝4×＝.

4．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2(e是自然对数的底数)．

(1)讨论函数f(x)的极值点的个数，并说明理由；

(2)若对任意的x>0，f(x)＋ex≥x3＋x，求实数a的取值范围．

解　(1)f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)．

当a≤0时，由f′(x)<0得x<0，由f′(x)>0得x>0，

∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，

∴f(x)有1个极值点；

当0<a<时，由f′(x)>0得x<ln (2a)或x>0，由f′(x)<0得ln (2a)<x<0，

∴f(x)在(－∞，ln (2a))上单调递增，在(ln (2a)，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，

∴f(x)有2个极值点；

当a＝时，f′(x)≥0，

∴f(x)在R上单调递增，

∴f(x)没有极值点；

当a>时，由f′(x)>0得x<0或x>ln (2a)，

由f′(x)<0得0<x<ln (2a)，

∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln (2a))上单调递减，在(ln (2a)，＋∞)上单调递增，

∴f(x)有2个极值点．

综上，当a≤0时，f(x)有1个极值点；

当a>0且a≠时，f(x)有2个极值点；

当a＝时，f(x)没有极值点．

(2)由f(x)＋ex≥x3＋x得xex－x3－ax2－x≥0.

当x>0时，ex－x2－ax－1≥0，

即a≤对任意的x>0恒成立．

设g(x)＝，则g′(x)＝.

设h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1.

∵x>0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴h(x)>h(0)＝0，即ex>x＋1，

∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

∴g(x)≥g(1)＝e－2，∴a≤e－2，

∴实数a的取值范围是(－∞，e－2]．