2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．若是方程的解，则的最大值是（    ）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【解析】【分析】先由题意，得到，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为是方程的解，所以，即，所以，当且仅当时，取等号.故选：D【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值的问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型.2．设集合M＝[1,2]，N＝{x∈Z|-1<x<3}，则M∩N等于（    ）A．[1,2] B．(－1,3) C．{1} D．{1,2}【答案】D【解析】【分析】集合N为整数集，所以先用列举法求出集合N，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：，，.故选：D.【点睛】本题考查交集的概念和运算，解题的关键是先分析出集合中的代表元素是整数，属于基础题.3．设，则“”是“”的（   ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由得x>2或x<-1，又得x≥1或x≤-1; ∴“”是“”的充分而不必要条件．故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，准确求解不等式的解集是关键，比较基础．4．设，则“”是“”的（    ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.【考点】 充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件.5．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【答案】C【解析】方法一:函数y=2x-2-x是一个增函数与一个减函数的差,故函数y=2x-2-x在R上为增函数,p1是真命题;而对p2:y'=2xln2-ln2=ln2×(2x-),当x∈[0,+∞)时,2x≥,又ln2>0,所以y'≥0,函数单调递增;同理得当x∈(-∞,0)时,函数单调递减,故p2是假命题.由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真.方法二:p1是真命题同方法一;由于2x+2-x≥2=2,故函数y=2x+2-x在R上存在最小值,故这个函数一定不是R上的单调函数,故p2是假命题.由此可知, q1真,q2假,q3假,q4真. 6．已知集合，，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题得，所以，故选B.7．已知,(  )A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B,再求得解.【详解】由题得A={x|-1<x<2},B={x|x＜1 },所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和补集交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8． 设函数，，若实数满足，，则（    ）A．  B． C．  D．【答案】B【解析】试题分析：, ．由函数的图像可知,因为函数在各自定义域内均为增函数,所以,所以．故B正确．考点：1函数图像；2函数的单调性．9．已知集合，，则= （  ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【详解】∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．  二、填空题10．对于实数，若规定，则不等式的解集是           ．【答案】【解析】试题分析：解一元二次不等式得：，，所以，所以答案应填：．考点：二次不等式．11．已知，则的最大值为______．【答案】2【解析】根据题意：，则xy>0,由得：6=当且仅当2x=y时取等号整理得：，,,故的最大值为212．给出下列四个命题：①若a＞b＞0，则；②若a＞b＞0，则a－＞b－；③若a＞b＞0，则；④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋≥2.其中正确命题的序号是________．【答案】②【解析】①a＞b＞0，则＜，故①错；②a＞b＞0，则－＞－，故②对；③中－＝＝＜0，故③错；④因为a－b不能确定为正数，故④错．故答案为：②点睛：不等式的性质及其应用： (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．13．已知实数满足，则目标函数的最小值是_______.【答案】【解析】试题分析：如图所示作出不等式组表示的平面区域，由，得，平移直线，由图象可知当直线过点时，目标函数取得最小值，由得点，代入目标函数得.考点：简单的线性规划求最值.14．设集合，，若，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】若A∩B≠∅，得x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0在x∈[0，3]有解，分离变量再构造函数g（t），转为求函数最值即可得解.【详解】集合A＝{x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0}，B＝{x|0≤x≤3}，若A∩B≠∅，得x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0在x∈[0，3]有解，即（2x+1）a≥x2+2x+3在x∈[0，3]有解，设t＝2x+1，则t∈[1，7]，则x＝，则a≥＝，设g（t）＝，t∈[1，7]，由对勾函数的性质可得y＝g（t）在（1，3）为减函数，在（3，7）上为增函数，又g（t）的最小值为g(3)＝2，所以实数a的取值范围是[2，+∞），故答案为[2，+∞）【点睛】本题考查不等式有解问题及集合交集的运算，考查转化与化归思想，考查对勾函数图像的性质，属中档题． 三、解答题15．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以a=时，p：．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．解：p：，q：a≤x≤a+1；∴（1）若a=，则q：；∵p∧q为真，∴p，q都为真；∴，∴；∴实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；∴，∴；∴实数a的取值范围为．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．16．已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，以点F为圆心且过点A的圆M与x轴正半轴交于点B，AB的延长线交C于点D，AF的延长线交C于点E．（1）若点A的纵坐标为4，求圆M的方程；（2）若线段AD的中点为G，求证：轴；（3）的面积是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）;  (2)见解析；(3)，理由见解析；【解析】【分析】（1）由题意求得点的坐标，求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）设出点的坐标，写出的方程，与抛物线方程联立，求得直线的方程，再由直线与抛物线方程联立，利用中点坐标求得点的纵坐标，由此判断轴；（3）利用点的坐标表示的面积，利用基本不等式计算它的最小值．【详解】解：（1）由题意，设点的坐标为 ，由，求得；又点的坐标为， ,∴圆的方程为 ；（2）设，的方程为 ，代入 得 所以 即 ；又 ，故点的坐标为 ；直线的方程为 ，即 ，代入 ，可得 ；∴ ，故 ，所以轴。（3）由（2）知， ，又 ，可得，∴的面积为 （当且仅当时取“”），所以的面积存在最小值，且此最小值为．【点睛】本题考查了直线与圆以及抛物线的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，属于难题．17．已知命题且，命题恒成立．若命题q为真命题，求m的取值范围；若为假命题且为真命题，求m的取值范围．【答案】（1）（2）或．【解析】分析：（1）由命题q为真命题可知，即可得到结果；（2）分别解出命题p，q的m的取值范围，p∧q为假命题且p∨q为真命题，可得p，q必然一真一假．详解：解：，解得．若命题p：且，解得．为假命题且为真命题，必然一真一假．当p真q假时，，解得，当p假q真时，，解得．的取值范围是或．点睛：本题考查了复合命题及真假的判断，考查了二次不等式的解法，属于基础题.18．已知.（1）解不等式；（2）若满足：，都有.当时，试判断命题“若，则”的逆否命题的真假.【答案】（1）详见解析；（2）真命题.【解析】【分析】（1）先计算判别式，然后根据判别式为负数和非负数，分成两类，写出不等式的解集.（2）恒成立，转化为，即.由于命题真假性与其逆否命题的一致，故只需证：若，则.利用基本不等式可证得不等式成立.【详解】（1），，当时，即时，不等式的解集为；当时，即，时，，，不等式的解集为.（2）∵，都有，，，命题为真命题，因为命题真假性与其逆否命题的一致，则只需证：若，则即可，，原命题为真得证。【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有参数的一元二次不等式恒成立问题的求解策略，还考查了利用基本不等式求最值的方法.属于中档题.19．分别写出由命题p：方程x2－4＝0的两根符号不同，q：方程x2－4＝0的两根绝对值相等构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．【答案】见解析【解析】试题分析：根据题意及“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的要求进行求解即可。试题解析：p或q：方程x2－4＝0的两根符号不同或绝对值相等．p且q：方程x2－4＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p：方程x2－4＝0的两根符号相同．20．已知函数，且）．（1）讨论函数的单调性；（2）若，方程有惟一解时，求的值。【答案】(1) 当是偶数时, 在上是增函数；当是奇数时在是减函数,在是增函数；(2).【解析】试题分析：(1)求单调区间，弦确定定义域，利用求导得：，再按k是偶数时，和k是奇数时，进行分情况，分别求得导函数大于零和小于零，进而求得单调区间；(2)当时，方程有唯一解，令，利用求导进一步得，在单调递减，在单调递增，所以要满足题意，只需使有唯一解，只需使，进而求得的值.试题解析：(1)由已知得，且．当是偶数时,则,则在上是增函数;   （2分）当是奇数时,则,,    （3分）所以当x时,, 当x时,， 故当是偶数时, 在上是增函数; 当是奇数时在是减函数,在是增函数．  （5分）（Ⅱ）若，则）记,  ,若方程有唯一解，即有唯一解；  （6分）令,得，（舍去）  （7分）当时，,在是单调递减函数；当时，,在上是单调递增函数。当时, ,        （8分）有唯一解， 则，即     （9分）        （10分）设函数，∵在时,是增函数，至多有一解。, ∴方程(*)的解为，即，解得。    （12分）考点：1.利用导函数求函数的单调性；2.分类讨论思想；3.零点的个数问题.