2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．“sin x＝1”是 “cos x＝0”的（ ）A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当时，由得即；当时，由，得，即，因此由不能得到，因此“”是“”的充分不必要条件，故答案为A．考点：1、同角三角函数的基本关系；2、充分条件、必要条件的应用．2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：首先求得集合A和集合B，然后结合交集的定义求解交集即可求得最终结果.详解：求解指数不等式可得：，求解绝对值不等式可得：，结合交集的定义可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求得集合,再根据并集的定义求解即可.【详解】 ，选B【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的并集运算，是基础题.4．已知若x，y均为正数，则的最小值是　　A． B． C．8 D．24【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，展开整理后利用基本不等式即可求解．【详解】，y均为正数，
则
当且仅当且即，时取等号，
的最小值是8．
故选：C．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是对应用条件的配凑．5．若，满足约束条件，则的最小值为                    （   ）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求解目标函数的最小值.详解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由，则，结合图象可知，平移直线经过点时，直线的截距最大，此时取得最小值，由，解得，所以目标函数的最小值为，故选B.点睛：本题主要考查了利用线性规划求最小值问题，其中正确作出不等式组所表示的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想解答是求解的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力.6．已知集合(是虚数单位)，若，则( )A．1 B．－1 C．±1 D．0【答案】C【解析】试题分析：因为，所以中的元素为实数．所以即.考点：1.集合的运算；2.复数的运算.7．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是(　　)A．真命题 B．全称命题C．特称命题 D．不含量词的命题【答案】B【解析】【分析】命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题【详解】当，则不一定与内的所有直线平行，故该命题为假命题，排除又因为该命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题，排除故选【点睛】本题主要考查了全称命题和特称命题的判断，掌握全称量词和特称量词是解答本题的关键，属于基础题。  二、填空题8．若变量满足约束条件，则的最大值是________．【答案】7【解析】试题分析：满足约束条件的可行域如图阴影部分所示：∵目标函数，∴当过点B时z取得最大值7．考点：线性规划．9．已知，则函数的最小值为   ．【答案】【解析】试题分析：当且仅当即时取得等号考点：基本不等式10．命题“”的否定是_____________．【答案】【解析】试题分析：命题“”的否定是．考点：命题的否定．11．已知满足不等式组，则的最小值等于______【答案】3       【解析】【分析】根据不等式组，画出可行域，在可行域内平移目标函数，即可求得最小值。【详解】根据题意，画出线性约束条件表示的可行域如下图： 平移目标函数，可知在C处取得最小值，因为C(3,0)将C点坐标代入目标函数可得z=3【点睛】本题考查了线性规划求最值的简单应用，注意画图要标准，属于基础题。12．，若表示集合中元素的个数，则       ，则       ．【答案】11；682．【解析】试题分析：当时，，，即，，由于不能整除3，从到，，3的倍数，共有682个，考点：集合中元素的个数．13．如果,那么          ．【答案】【解析】因为所以所以14．在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球面积的最小值为________________.【答案】9【解析】【分析】将三棱锥补充成长方体，则对角线长分别为，设长方体的长宽高分别为，推导出，从而，由此能求出三棱锥的外接球面积的最小值．【详解】由题意得三棱锥的对棱分别相等，
将三棱锥补充成长方体，
则对角线长分别为，
设长方体的长宽高分别为，
则，
∴，
∵ ，
∴，
∴三棱锥的外接球面积的最小值为： 故选：D．【点睛】本题考查三棱锥外接球的面积的最小值的求法，考查球、圆锥等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 三、解答题15．（1）求下列方程组的解集（2）求下列不等式组的解集【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）采用代入消元法可求得，进而得到，从而求得解集；（2）将分式不等式转化为一元二次不等式的求解，解一元二次不等式求得结果.【详解】（1）由得：代入得：，解得：或当时，；当时，方程组的解集为：（2）由得：，解得：或由得：，解得：或综上所述：或不等式组的解集为：或【点睛】本题考查二元二次方程组的求解、分式不等式的求解，属于基础题.16．动物园需要用篱笆围成两个面积均为50 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m．（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？【答案】（1），.（2）当垂直于墙的边长为时，所用篱笆的总长度最小，最小为m.【解析】【分析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长，表示出；由且，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长，则，且，，所以函数的定义域为，；（2），当且仅当，即时取等号，故当垂直于墙的边长为时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是．【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．17．用列举法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）不大于的非负奇数集；（3）．【答案】见解析【解析】（1）由得，故方程组的解集为．（2）不大于即为小于或等于，非负是大于或等于，故不大于的非负奇数集为．（3）∵，，∴.此时，即．18．如图（1）是一直角墙角，，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直.是一块长为米，宽为米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放谷物. （1）若按如图（1）放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？（2）由于墙面使用受限，面只能使用米，面只能使用米.此矩形板材可以折叠围成一个直四棱柱空间，如图（2），如何折叠板材才能使这个空间最大？【答案】(1) 板材与墙面成45°角;(2)见解析.【解析】分析：（1）设，且 因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，利用基本不等式可得；（2）因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又的面积为定值，只需寻找面积的最大值，作只需最大即可，设则，可得，利用二次函数的性质可得结果.详解：（1）设，且 因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大 ，       当且仅当取到等号.即板材放置时，使得板材与墙面成45°角.（2）因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又的面积为定值，只需寻找面积的最大值.又在中，只需寻找AB边上高的最大值即可.如图：作设则                                    当时PH最大,此时即板材放置时，沿中间折叠，使得PA=PB.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及利用基本不等式、二次函数求最值，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19．命题：“关于的方程有解”，命题：“，恒成立”，若“”为真，求实数的取值范围．【答案】．【解析】试题分析：借助复合命题的真假建立不等式求解即可获解.试题解析：若为真，则，故或.若为真，则令，则，令，则，所以在上单调递减；令，则，所以在上单调递增.当时，有最小值，.恒成立，，即.“”为真，为真且为真. 解得.从而所求实数的取值范围为.考点：命题的真假及充分必要条件．【易错点晴】本题考查的是复合命题的真假为背景,真正考查函数的最值和解不等式的能力的一道试题.求解时要充分借助题设条件中要求“”为真”,该条件等价于“命题都是真命题”，从而将命题转化为不等式的形式，最后将问题转化为求两个不等式交集的问题,命题中含参数的取值范围问题一般有两条思路，其一是建立不等式求其解集，其二是建立函数求其值域.20．已知.（1）若对任意的，不等式上恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）参变分离后可得在上恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而得到参数的取值范围.（2）原不等式可化为，就对应方程的两根的大小关系分类讨论可得不等式的解集.【详解】（1）对任意的，恒成立即恒成立.因为当时，（当且仅当时等号成立）， 所以即.（2）不等式，即，①当即时，；②当即时，；③当即时，.综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．一元二次不等式的恒成立问题，参变分离后可以转化为函数的最值进行讨论，后者可利用基本不等式来求.