2020二轮复习(理)　直线与圆作业 练习

专题限时集训(九)　直线与圆

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．(2019·江阴模拟)点P是直线x＋y－2＝0上的动点，点Q是圆x2＋y2＝1上的动点，则线段PQ长的最小值为(　　)

A.－1　　　　　 B．1

C.＋1 D．2

A　[根据题意，圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径r＝1，圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝，

则线段PQ长的最小值为－1，故选A.]

2．直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

C　[由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，不合题意．所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.]

3．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

D　[根据题意，圆x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)，半径为2；

圆x2＋y2＋4x＋3＝0，即圆(x＋2)2＋y2＝1，其圆心坐标为(－2,0)，半径为1；

则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，

因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共4条．故选D.]

4．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(　　)

A.或 B．－或

C．－或   D.

A　[由题意可知，圆心P(2,3)，半径r＝2，

∴圆心P到直线y＝kx＋3的距离d＝，

由d2＋＝r2，可得＋3＝4，解得k＝±.

设直线的倾斜角为α，则tan α＝±，又α∈[0，π)，

∴α＝或.]

5．在平面直角坐标系xOy中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0(m∈R)相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是(　　)

A．(x＋2)2＋y2＝16 B．(x＋2)2＋y2＝20

C．(x＋2)2＋y2＝25 D．(x＋2)2＋y2＝36

C　[将直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0变形为(3x－2y)m＋(x＋y－5)＝0.

由得

即直线恒过定点M(2,3)．

设圆心为P，即P(－2,0)，由题意可知，

当圆的半径r＝|MP|时，

圆的面积最大，此时|MP|2＝r2＝25.

即圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25.]

6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是________．

x－y－3＝0　[记题中圆的圆心为O，则O(1,0)，因为P(2，－1)是弦AB的中点，所以直线AB与直线OP垂直，易知直线OP的斜率为－1，所以直线AB的斜率为1，故直线AB的方程为x－y－3＝0.]

7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为2，则a＝________.

　[联立两圆方程

可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，

故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为

＝(a>0)．故2＝2，

解得a2＝，因为a>0，所以a＝.]

8．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．

　[圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.

所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.]

[能力提升练]

(建议用时：20分钟)

9．实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则的取值范围是(　　)

A．[－，] B．(－∞，－]∪[，＋∞)

C.   D.∪

C　[设＝t，，则tx－y－t＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1有交点，∴圆心(－1,0)到直线tx－y－t＝0的距离d＝≤1，解得－≤t≤.故选C.]

10．(2019·赣州模拟)已知动直线y＝kx－1＋k(k∈R)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0(圆心为C)交于点A、B，则弦AB最短时，△ABC的面积为 (　　)

A．3 B．6

C. D．2

D　[根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，其圆心为(1，－2)，半径r＝3.动直线y＝kx－1＋k，即y＋1＝k(x＋1)，恒过定点P(－1，－1)，又由(－1－1)2＋(－1＋2)2＜9，可知点P(－1，－1)在圆C的内部，动直线y＝kx－1＋k(k∈R)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0(圆心为C)交于点A、B，当P为AB的中点即CP与AB垂直时，弦AB最短，此时|CP|＝，弦AB的长度为2×＝4，

此时，△ABC的面积S＝×|CP|×|AB|＝×4×＝2.故选D.]

11．若圆C：x2＋＝n的圆心为椭圆M：x2＋my2＝1的一个焦点，且圆C经过椭圆M的另一个焦点，则圆C的标准方程为________．

x2＋(y＋1)2＝4　[∵圆C的圆心为，

∴＝，解得m＝.又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0,1)，从而n＝4，故圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.]

12．(2019·九江二模)已知圆E经过M(－1,0)，N(0,1)，P三点．

(1)求圆E的方程；

(2)若过点C(2,2)作圆E的两条切线，切点分别是A，B，求直线AB的方程．

[解](1)根据题意，设圆E的圆心E坐标为(a，b)，半径为r，

则有解得

则圆E的方程为x2＋y2＝1.

(2)根据题意，过点C(2,2)作圆E的两条切线，切点分别是A，B，

设以C为圆心，CA为半径的圆为圆C，其半径为R，

则有R＝|CA|＝＝，

则圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝7，

即x2＋y2－4x－4y＋1＝0，

又由直线AB为圆E与圆C的公共弦所在的直线，则有

解得2x＋2y－1＝0，则AB的方程为：2x＋2y－1＝0.

【押题1】　已知直线l：x－2y＋4＝0，圆C：(x－1)2＋(y＋5)2＝80，那么圆C上到l的距离为的点一共有(　　 )

A．1个　　　　 B．2个

C．3个 D．4个

C　[由圆C：(x－1)2＋(y＋5)2＝80，可得圆心C(1，－5)，半径R＝4， 又圆心C(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝＝3， 如图所示，由图象可知，点A，B，D到直线x－2y＋4＝0的距离都为，所以圆C上到l的距离为的点一共3个，故选C.]

【押题2】　已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝16，点A(10,0)．

(1)设点P是圆C上的一个动点，求AP的中点Q的轨迹方程；

(2)直线l：kx－y－10k＝0与圆C交于M，N，求·的值．

[解](1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，则(x0－2)2＋(y0－2)2＝16，

由x＝，y＝，解得x0＝2x－10，y0＝2y.

代入圆的方程可得：(2x－10－2)2＋(2y－2)2＝16，

即(x－6)2＋(y－1)2＝4.

∴AP的中点Q的轨迹方程为：(x－6)2＋(y－1)2＝4.

(2)直线l：kx－y－10k＝0与圆C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)，

把直线l的方程代入圆的方程可得：(x－2)2＋(kx－10k－2)2＝16，

化为：(1＋k2)x2－(20k2＋4k＋4)x＋100k2＋40k－12＝0.

Δ＞0.

∴x1x2＝，x1＋x2＝.

∴·＝(x1－10，y1)(x2－10，y2)＝(x1－10)(x2－10)＋y1y2＝(x1－10)(x2－10)＋(kx1－10k)(kx2－10k)

＝(1＋k2)x1x2－(10k2＋10)(x1＋x2)＋100＋100k2

＝(1＋k2)－(10k2＋10)＋100＋100k2＝48.