2020届二轮复习15直线与圆作业 练习

专题能力训练15　直线与圆

　专题能力训练第36页　 

一、能力突破训练

1.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为(　　)

A.+y2= B.+y2=

C.+y2= D.+y2=

答案:C

解析:因为圆心在x轴的正半轴上,排除B;代入点A(0,1),排除A,D.故选C.

2.若直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为(　　)

A. B.2 C. D.

答案:B

解析:由题意知圆心坐标为C(2,-3),半径为r=3,则△ECF的高h为圆心到直线的距离d=,底边长为l=2=2=4,所以S△ECF=×4×=2,故选B.

3.已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)

A.[2,6] B.[4,8] 

C.[,3] D.[2,3]

答案:A

解析:设圆心到直线AB的距离d==2.

点P到直线AB的距离为d'.

易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.又|AB|=2,

∴S△ABP=·|AB|·d'=d',∴2≤S△ABP≤6.

4.已知实数a,b满足a2+b2-4a+3=0,函数f(x)=asin x+bcos x+1的最大值记为φ(a,b),则φ(a,b)的最小值是(　　)

A.1 B.2 C.+1 D.3

答案:B

解析:由题意知φ(a,b)=+1,且a,b满足a2+b2-4a+3=0,即点(a,b)在圆C:(a-2)2+b2=1上,圆C的圆心为(2,0),半径为1,表示圆C上的动点(a,b)到原点的距离,最小值为1,所以φ(a,b)的最小值为2.故选B.

5.已知两条直线l1:x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1⊥l2,则a=　　　　　. 

答案:0或

解析:当a=0时,l1⊥l2;当a≠0时,由-·2a2=-1,解得a=,所以a=0或a=.

6.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该圆的方程为　　　　　　　　　　　　. 

答案:(x-1)2+y2=1

解析:因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以a=1,b=0.又根据=1=r,所以圆的方程为(x-1)2+y2=1.

7.(2019天津十二重点中学联考(二))已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,且y轴和直线3x+4y+4=0均与圆C相切,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　. 

答案:(x-2)2+y2=4

解析:设圆C的方程为(x-a)2+y2=a2(a>0).

∵直线3x+4y+4=0与圆C相切,

∴=a,解得a=2(舍去负值).

故圆C的方程为(x-2)2+y2=4.

8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是　　　　　. 

答案:-1

解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=-1.

9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.

(1)求圆O的方程;

(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;

(3)设圆O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.

解:(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,

即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.

(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.

则圆心O到直线MN的距离d=.

由垂径定理,得+()2=22,即m=±.

所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.

(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).

由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,

得=x2+y2,

即x2-y2=2.

因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),

且点P在圆O内,所以

由此得0≤y2<1.

所以的取值范围为[-2,0).

10.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.

(1)求曲线Γ的方程;

(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.

解:(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.

取点A关于y轴的对称点A',连接A'B,

则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.

所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,故曲线Γ的方程为+y2=1.

(2)连接OB.因为B为CD的中点,

所以OB⊥CD,即.设B(x0,y0),

则x0(x0-)+=0.

又=1,解得x0=,y0=±.

则kOB=±,kAB=∓,

则直线AB的方程为y=±(x-),

即x-y-=0或x+y-=0.

11.已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.

(1)求k的取值范围;

(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.

解:(1)由题意可知直线l的方程为y=kx+1.

因为l与C交于两点,所以<1,

解得<k<.

所以k的取值范围为.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).

将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,

整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.

所以x1+x2=,x1x2=.

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.

由题设可得+8=12,解得k=1,

所以l的方程为y=x+1.

故圆心C在l上,所以|MN|=2.

二、思维提升训练

12.在矩形ABCD中,|AB|=1,|AD|=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(　　)

A.3 B.2 C. D.2

答案:A

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,

则A(0,1),B(0,0),D(2,1).

设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=,

即圆的方程是(x-2)2+y2=.

易知=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0).

由=λ+μ,

得所以

所以λ+μ=x-y+1.

设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.

因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,

所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r,

即,解得1≤z≤3,

所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,

故选A.

13.已知直线k(x+1)+y+2=0恒过定点C,且以C为圆心,5为半径的圆与直线3x+4y+1=0相交于A,B两点,则弦AB的长为　　　　　. 

答案:2

解析:由即直线恒过定点C(-1,-2),

所以以C为圆心、5为半径的圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=25.

圆心到直线3x+4y+1=0的距离d==2,

则AB的长度为|AB|=2=2.

14.在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是　　　　　. 

答案:[-5,1]

解析:设P(x,y),由≤20,得x2+y2+12x-6y≤20.

把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20,得2x-y+5≤0.

由

可得由2x-y+5≤0表示的平面区域及点P在圆上,可得点P在劣弧上,所以点P横坐标的取值范围为[-5,1].

15.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=　　　　　. 

答案:4

解析:因为|AB|=2,且圆的半径R=2,

所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-=0的距离为=3.

由=3,解得m=-.

将其代入直线l的方程,得y=x+2,即直线l的倾斜角为30°.

由平面几何知识知在梯形ABDC中,

|CD|==4.

16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).

(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;

(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.

解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.

(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).

因为圆N与x轴相切,与圆M外切,

所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,

从而7-y0=5+y0,解得y0=1.

因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.

(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.

设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,

则圆心M到直线l的距离

d=.

因为|BC|=|OA|==2,

而|MC|2=d2+,

所以25=+5,解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).

因为A(2,4),T(t,0),,

所以①

因为点Q在圆M上,

所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②

将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.

于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,

从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,

所以5-5≤≤5+5,

解得2-2≤t≤2+2.

因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].

17.已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.

(1)求证:△AOB的面积为定值;

(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;

(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.

(1)证明由题设知,圆C的方程为(x-t)2+=t2+,化简,得x2-2tx+y2-y=0.当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或,则B,故S△AOB=|OA|·|OB|=|2t|·=4为定值.

(2)解∵|OM|=|ON|,∴原点O在MN的中垂线上.

设MN的中点为H,则CH⊥MN,

∴C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k=,

∴t=2或t=-2.

∴圆心为C(2,1)或(-2,-1),

∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.

由于当圆的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,舍去,故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

(3)解点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|.

又点B'到圆上点Q的最短距离为|B'C|-r==3=2,

所以|PB|+|PQ|的最小值为2,直线B'C的方程为y=x,则直线B'C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为.