2020届二轮复习17直线与圆锥曲线作业 练习

专题能力训练17　直线与圆锥曲线

　专题能力训练第40页　 

一、能力突破训练

1.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.

设OE的中点为G,

由△OBG∽△FBM,得,

即,整理,得,

故椭圆的离心率e=,故选A.

2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:抛物线x2=4y的焦点为(0,1),双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,所以=2,双曲线的渐近线为y=±x=±2x,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是.故选B.

3.如果与抛物线y2=8x相切且倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为(　　)

A.4 B.2 C.2 D.

答案:C

解析:设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2.而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2=2.

4.已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(　　)

A. B.3 C.2 D.4

答案:B

解析:由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±x,

所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.

不妨设∠OMN=90°,

则|MN|=|OM|.

又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=,

所以|MN|=3.

5.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为　　　　　. 

答案:

解析:双曲线的渐近线方程为y=±x.

由得A.

由得B.

∵F为△OAB的垂心,∴kAF·kOB=-1.

即=-1,解得,

∴,即可得e=.

6.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).

(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.

(1)解由已知得F(1,0),l的方程为x=1.

由已知可得,点A的坐标为.

所以AM的方程为y=-x+或y=x-.

(2)证明当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,

当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,

所以∠OMA=∠OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=.

由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得

kMA+kMB=.

将y=k(x-1)代入+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,

所以x1+x2=,x1x2=.

则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

==0.

从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,

所以∠OMA=∠OMB.

综上,∠OMA=∠OMB.

7.如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y)-<x<.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围;

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

解:(1)设直线AP的斜率为k,则k==x-.

因为-<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).

(2)联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是xQ=.

因为|PA|=(k+1),

|PQ|=(xQ-x)=-,

所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.

令f(k)=-(k-1)(k+1)3,

因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,

所以f(k)在区间内单调递增,在区间内单调递减,

因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值.

8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.

(1)解由题意得解得

所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)证明由(1)知,A(2,0),B(0,1).

设P(x0,y0),则+4=4.

当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).

令x=0,得yM=-,

从而|BM|=|1-yM|=.

直线PB的方程为y=x+1.

令y=0,得xN=-,

从而|AN|=|2-xN|=.

所以|AN|·|BM|=

=

==4.

当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,

所以|AN|·|BM|=4.

综上,|AN|·|BM|为定值.

9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).

设A(x1,y1),B(x2,y2).

由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.

所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则

解得

因此所求圆的方程为

(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

二、思维提升训练

10.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=　　　　　. 

答案:2

解析:设直线AB:x=my+1,

联立⇒y2-4my-4=0,

则y1+y2=4m,y1y2=-4.

而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),

=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).

∵∠AMB=90°,

∴=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)

=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5

=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5

=4m2-4m+1=0.

∴m=.∴k==2.

11.(2019北京,理18)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).

(1)求抛物线C的方程及其准线方程.

(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

(1)解由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.

所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.

(2)证明抛物线C的焦点为F(0,-1).

设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).

由得x2+4kx-4=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4.

直线OM的方程为y=x.

令y=-1,得点A的横坐标xA=-.

同理得点B的横坐标xB=-.

设点D(0,n),则=-,-1-n,+(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=-4+(n+1)2.

令=0,

即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.

综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).

12.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;

(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

解:(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,

故∠EBD=∠ACD=∠ADC.

所以|EB|=|ED|,

故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,

从而|AD|=4,

所以|EA|+|EB|=4.

由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,

由椭圆定义可得点E的轨迹方程为=1(y≠0).

(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为

y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),

由

得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,

则x1+x2=,x1x2=,

所以|MN|=|x1-x2|=.

过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),点A到直线m的距离为,

所以|PQ|=2=4.

故四边形MPNQ的面积

S=|MN||PQ|=12.

可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).

当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.

综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).

13.已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).

(1)证明:k<-.

(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.

(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.

两式相减,并由=k,得·k=0.

由题设知=1,=m,于是k=-.①

由题设得0<m<,故k<-.

(2)解由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).

由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.

又点P在C上,所以m=,

从而P,||=.

于是||=

==2-.

同理||=2-.

所以||+||=4-(x1+x2)=3.

故2||=||+||,则||,||,||成等差数列,

设该数列的公差为d,则2|d|=|||-|||=|x1-x2|=.②

将m=代入①得k=-1.

所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.

故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.

所以该数列的公差为或-.