2020二轮复习(理)　三角函数的图象与性质作业 练习

专题限时集训(一)　三角函数的图象与性质

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．[易错题]为得到函数y＝2sin的图象，只需要将函数y＝2sin的图象(　　)

A．向左平行移动个单位

B．向右平行移动个单位

C．向左平行移动个单位

D．向右平行移动个单位

D　[将函数y＝2sin的图象向右平移个单位，得到y＝2sin＝2sin的图象．故选D.]

2．(2019·天津二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴．则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝4sin

B．f(x)＝2sin＋2

C．f(x)＝2sin＋2

D．f(x)＝2sin＋2

D　[函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA＞0，ω＞0，|φ|＜的最大值为4，最小值为0，

故解得A＝b＝2.

又最小正周期为，所以ω＝4，

直线x＝是其图象的一条对称轴，

则4·＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)，

∵当k＝0时，φ＝－，

故函数的关系式为f(x)＝2sin＋2.故选D.]

3．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)

A．f(x)＝|cos 2x|　　　 B．f(x)＝|sin 2x|

C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|

A　[A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x＜0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.]

4．已知函数f(x)＝cos在上有最小值－1，则a的最大值为(　　)

A．－　　　　 B．－

C．－ D．－

B　[函数f(x)＝cos，

∵x∈，∴2x－∈，

f(x)在上有最小值－1，根据余弦函数的性质，

可得2a－≤－π，即a≤－.故选B.]

5．(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)，若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)

A．－2 B．－

C. D．2

C　[∵f(x)是奇函数，∴φ＝0，则f(x)＝Asin ωx，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)，即g(x)＝Asin.

∵g(x)的最小正周期为2π，∴＝2π，得ω＝2，则g(x)＝Asin x，f(x)＝Asin 2x，

由g＝，得g＝Asin＝A＝，即A＝2，

则f(x)＝2sin 2x，则f＝2sin＝2sin ＝2×＝，故选C.]

6．[一题多解]已知函数f(x)＝5sin x－12cos x，当x＝x0时，f(x)有最大值13，则tan x0＝__________.

－　[法一：(直接法)f(x)＝5sin x－12cos x＝13sin(x－θ).

当x＝x0时，f(x)有最大值13，∴x0－θ＝＋2kπ，k∈Z，∴x0＝θ＋＋2kπ.tan x0＝tan＝tan＝＝＝－.

法二：(导数法)由f′(x)＝5cos x＋12sin x＝0得tan x＝－.

又f′(x0)＝0，∴tan x0＝－.]

7．(2019·黄冈模拟)当x∈时，函数f(x)＝2cos x－2sin2x的值域为________．

　[f(x)＝2cos x－2sin2x＝2cos2x＋2cos x－2，设t＝cos x，则y＝2t2＋2t－2＝22－.

∵x∈，∴t∈[－1,0]，

∴t＝－时，ymin＝－，

t＝－1或t＝0时，ymax＝－2，

∴函数f(x)的值域为.]

8．将y＝sin的图象向右平移φ个单位后(φ＞0)，得到y＝cos x的图象，则φ的最小值为________．

　[将y＝sin的图象向右平移φ个单位后(φ＞0)，可得y＝sin的图象，

又因为得到y＝cos x＝sin的图象，

∴sin＝sin，

∴＝2kπ－φ－，k∈Z，

∴φ＝2kπ－，则当k＝1时，φ取得最小值为.]

[能力提升练]

(建议用时：15分钟)

9.(2019·黄山二模)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B部分图象如图，则f(x)的一个对称中心是(　　)

A．(π，0)

B．

C．

D．

D　[函数的最大值为A＋B＝1，最小值为－A＋B＝－3，得A＝2，B＝－1，即f(x)＝2sin(ωx＋φ)－1，

＝－＝，即T＝π，即＝π，得ω＝2，

则f(x)＝2sin(2x＋φ)－1，

由五点对应法得×2＋φ＝得φ＝，

得f(x)＝2sin－1，

由2x＋＝kπ，得x＝－＋，k∈Z，

即函数的对称中心为，k∈Z，

当k＝0时，对称中心为，故选D.]

10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)

A．f(2)＜f(－2)＜f(0)  　 B．f(0)＜f(2)＜f(－2)

C．f(－2)＜f(0)＜f(2)   D．f(2)＜f(0)＜f(－2)

A　[由最小正周期为π，可得ω＝2，又x＝时，函数f(x)取得最小值，故可令φ＝，得函数f(x)＝Asin，即f(0)＝Asin ，f(2)＝Asin，f(－2)＝Asin，由正弦函数易得f(0)＞f(－2)＞f(2)．故选A.]

11．[重视题](2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：

①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在单调递增；④ω的取值范围是.

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①④ B．②③

C．①②③ D．①③④

D　[如图，根据题意知，xA≤2π＜xB，根据图象可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有2个或3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2π＜xB，有≤2π＜，得≤ω＜，所以④正确；当x∈时，＜ωx＋＜＋，因为≤ω＜，所以＋＜＜，所以函数f(x)在单调递增，所以③正确．

]

12．(2019·湖北模拟)函数f(x)＝cos(ω＞0)在[0，π]内的值域为，则ω的取值范围是________．

　[因为x∈[0，π]，所以ωx＋∈，由函数f(x)＝cos(ω＞0)在[0，π]内的值域为，则π≤ωπ＋≤，所以≤ω≤，故ω的取值范围是.]

【押题1】　已知函数f(x)＝|sin x|·|cos x|，则下列说法不正确的是(　　)

A．f(x)的图象关于直线x＝对称

B．f(x)的最小正周期为

C．(π，0)是f(x)图象的一个对称中心

D．f(x)在区间上单调递减

C　[f(x)＝|sin x|·|cos x|＝|sin 2x|，作出函数f(x)的图象如图所示，由图知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f(x)的最小正周期为，f(x)在区间上单调递减，f(x)的图象无对称中心，故选C.

]

【押题2】 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述正确的是________．

①R＝6，ω＝，φ＝－；

②当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6；

③当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减；

④当t＝20时，|PA|＝6.

①②④　[①由点A(3，－3)，可得R＝6，

由旋转一周用时60秒，可得T＝＝60，则ω＝，由点A(3，－3)，可得∠AOx＝，则φ＝－，故①正确；

②由①知，f(t)＝6sin，

当t∈[35,55]时，t－∈，

即当t－＝时，点P(0，－6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故②正确；

③当t∈[10,25]时，t－∈，由正弦函数的单调性可知，函数y＝f(t)在[10,25]上有增有减，故③错误；

④f(t)＝6sin，

当t＝20时，水车旋转了三分之一周期，

则∠AOP＝，所以|PA|＝6，故④正确．]