2020届二轮复习不等式恒成立课时作业（全国通用） 练习
展开第三十四讲 不等式恒成立
A组
一、选择题
1,如果不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A （ B C D
解析：当，即时，不对任意实数都成立，故，则要使对任意实数都成立，只需，解得，故选C。
2,已知若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A B C D
解析：恒成立，，又解得，故选D 。
3.若对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A B C D
解析：设，因为当时，恒成立，所以，即，解得或，故选C。
4.若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A B C D
解析：将转化为于是问题转化为在区间上，函数图像恒在函数图像的上方（包括与图像的交点），当时，函数在上的图像恒在轴下方，而的图像在轴的上方，故不满足。当时，由于越大，函数的图像在（0,1）之间越靠近直线，显然在内，，其临界条件是，所以，于是满足条件的的取值范围是，故选A。
二、填空题
5.已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是--------------
解：由题意可将问题转化为不等式对恒成立，即有，解得或，故实数的取值范围为
6.不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为---------------
解：以为主元，即,要使对任意的实数不等式恒成立，只需，即，从而，解得。
三、解答题
7.设，且恒成立，求的取值范围。
解：由知，所以原不等式等价于，要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于即可。，当且仅当，即时，等号成立，，即。
8.若时，不等式恒成立，求的取值范围。
解：令即时，。
（1）当无解。
（2）当，解得。
（3）当恒成立。
综上可得，的取值范围为
9.设，若对的一切实数，都有，求实数的取值范围。
解：由对一切恒成立，令，则，即，亦即，从而，解得。
10.设函数，对任意，恒成立，求实数的取值范围。解：依据题意得在上恒成立，即上恒成立。当时，函数取得最小值，所以，解得，故实数的取值范围为。
B组题
一、选择题
1.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A B C D
解析：当恒成立，，当，设,递增，，当，易知上递减，在上递增，故，综上，的取值范围为，故选C。
2.设函数对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A B C D
解析：如图所示，要使恒成立，则，即，故选D
3.设函数在R上的导函数为，且，则下列不等式在R上恒成立的是（ ）
A B C
D
解析：当时，可得，当时，将的两侧同时乘以可得，即，则上单调递增，即，当的两侧同时乘以可得，则在上单调递减，即，所以，综上，，故选A。
4.已知函数的定义域为，都有，且当时，有，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A B C D
解析：令，，故是奇函数，任取，，又是定义在上的奇函数，， ，在区间上单调递增，，对任意的恒成立，，故选C。
二、填空题
5.设，若时均有，则=------------
解析：作出函数的图像（如图），由图可知，两函数图像都过定点（0，-1），在的右半平面上，绕定点（0，-1）旋转直线可以看到，两函数图像或者同时不在轴下方，或者同时不在轴上方，满足条件的图形只能是：两函数图像的另一交点在轴上（三线共点），即，对恒成立的充要条件是，故为所求。
6.设奇函数在上是单调函数，且，若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是----------
解析：因为为奇函数，，所以，又因为上是单调函数，所以，故当时，恒成立，即恒成立，令，所以,，所以。答案为
三、解答题
7,已知，函数，当时，若不等式对任意的都成立，试求的取值范围。
解：当时，不等式恒成立，下面讨论当时，不等式恒成立时的值，将变形为，注意到，即，令，不等式对任意恒成立，等价于，下面求函数，对于函数当时，函数单调递增，于是，而函数，当且仅当时，等号成立，由于，因此，故，综上，的取值范围为。
8,已知函数，
（1）讨论函数在定义域内极值点的个数。
（2）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）的定义域为，当在上恒成立，函数在上单调递减，故在上没有极值点。当时，，由，所以在上递减，在上递增，即在处有极小值。综上，当时，在上无极值点，当时，在上有一个极值点。
（2）函数在处取得极值，故，令，则，令，得，则在上递减，在上递增，，即，即实数的取值范围为。
9,已知，求证：（1）对任意；（2）对任意恒成立。
证明：（1）设，则，故在区间上单调递减，故的最大值为，所以，即。
（2）由（1）得，对任意，都有，即,设，则，设则，所以在上单调递增，故，即，所以在区间内单调递增，故，即，因为，所以，综上可知，对任意成立。
10,已知函数，
（1）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围。
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解： （1），，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，则函数在处取极大值。又由于函数在区间（）上存在极值，则有，解得
（2）不等式，即，设，再令,则，在单调递增，故，从而，故在上单调递增，则。
C组
一、选择题
1.已知函数，若，且对任意恒成立，则的最大值为（ ）
Ａ ３ Ｂ ４ Ｃ ５ Ｄ ６
解析：不妨考虑直线与曲线相切的情形，如图所示，设切点为，此时，即，化简得，设，易知在上是增函数，因为，则，所以切线的斜率的取值范围为，由此可知整数的最大值是４，故选Ｂ。
２，已知数列是各项均不为０的等差数列，为其前项和，且满足，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
解析：由题意知，则，当为偶数时，由，得，即，因为，所以；当为奇数时，原不等式即为，因为，故，综上，实数的取值范围为，故选Ｃ。
３，已知等差数列的前项和，若不等式对任意正整数都成立，则实数的最大值为（ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
解析：易知，故原不等式可化为，整理得，即，若不等式对任意正整数都成立，则，故实数的最大值为，答案为Ｄ。
4.当时，不等式，对任意恒成立，则=（ ）
A -7 B 6 C 7 D 8
解：由，知不等式对任意恒成立等价于，即对任意恒成立，故，解得，由题意知，故选B。
二、填空题
5.实数满足，若恒成立，则实数的最大值为―――
解析：由线性约束条件画出可行域如图，直线过定点Ｂ，当时，表示的是直线及右上方的区域，当时，可行域内的点恒满足，当时，表示的是直线及其左上方的区域，要使恒成立，所以，此时，综上可得，所以的最大值为。
6，已知函数，其中，若对任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围是---------
解析：关于的一次函数，对任意的，不等式恒成立，则，即，因此不等式在上恒成立，不等式在上恒成立，所以，即。
7.已知时偶函数，当时，，且当时，恒成立，则的最小值是-------
解析：因为当时，恒成立，所以，且，故的最小值为，又由偶函数的图像关于轴对称知，当时，函数的最值与的最值相同，又当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，故，即最小值为1.
三、解答题
8.已知函数，
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值。
解：（1），故，，由得，又所以，故的单调递减区间为
（2）令，，当时，由于，所以，则在上是增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立；当时，，令，得，所以当时，，当时，，因此函数在内是增函数，在内是减函数，故函数的最大值为，令，因为，又因为在内是减函数，所以当时，，所以整数的最小值为2.
9.设函数，其中，若成立，求的取值范围。
解：,设恒成立得恒成立，时，恒成立，时，因为抛物线的对称轴为直线上为增函数，知需要满足，即，得，故时，，即，在上为增函数，又，所以，若时，所以，使在上为减函数，所以，与恒成立矛盾。若时，，因为，所以时，，得，与恒成立矛盾。综上可得。
10,设函数，其中是的导函数，若时，恒成立，求实数的取值范围。
解：，由，得，设，，若恒成立，即，因为，所以，此时在上为增函数，因为，所以恒成立，时，，所以使得，则在上为减函数，于是得，与在上满足恒成立矛盾，综上可知。
11.已知，（其中）,当时，的值恒为正，求的取值范围。
解：由，设，则，其中，于是该问题转化为当时，恒成立，求的取值范围，由，解得，故当时，；当 时，。
