2020届二轮复习不等式与合情推理课时作业（全国通用） 练习

第4讲　不等式与合情推理

一、选择题

1．已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．a2＜－ab   B．|a|＜|b|

C．＞  D．＞

解析：选C．通解：当a＝1，b＝－1时，满足a＞0＞b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，＜，所以A，B，D不一定成立．因为a＞0＞b，所以b－a＜0，ab＜0，所以－＝＞0，所以＞一定成立，故选C．

优解：因为a＞0＞b，所以＞0＞，所以＞一定成立，故选C．

2．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)

A．6＋2   B．7＋2

C．6＋4  D．7＋4

解析：选D．因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log22(3a＋4b)＝log2，所以log2(3a＋4b)＝log2，所以log2(3a＋4b)＝2log2，所以log2(3a＋4b)＝log2ab，所以3a＋4b＝ab，即＋＝1，故a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋4.故选D．

3．(一题多解)(2019·武汉调研)设实数x，y满足，则z＝x＋3y的最大值为(　　)

A．15  B．

C．5  D．6

解析：选D．法一：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．作出直线x＋3y＝0并平移，可知当直线经过点A时z取得最大值，由可得，故A(0，2)，此时zmax＝0＋6＝6.故选D．

法二：作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域的顶点坐标为A(0，2)，B，C(5，0)，分别代入目标函数，对应的z的值为6，，5，故z的最大值为6，故选D．

4．(一题多解)设函数f(x)＝则满足不等式f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－)∪(，＋∞)

C．(－∞，－)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(，＋∞)

解析：选C．法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由f(x2－2)＞f(x)得，或解得x＞2或x＜－，所以x的取值范围是(－∞，－)∪(2，＋∞)，故选C．

法二：取x＝2，则f(22－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1.1，则f((－1.1)2－2)＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不满足题意，排除A，故选C．

5．(2019·重庆调研)甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是(　　)

A．甲  B．乙

C．丙  D．丁

解析：选D．假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学．从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选D．

6．(一题多解)若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(0，＋∞)  B．[－1，＋∞)

C．[－1，1]  D．[0，＋∞)

解析：选B．法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，

当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．

法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，

当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；

当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.

综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)，故选B．

7．(2019·昆明模拟)下面是(a＋b)n(n∈N)*，当n＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式

(a＋b)11　1 　

(a＋b)21　2　1

(a＋b)31　3　3　1

(a＋b)41　4　λ　4　1

(a＋b)51　5　μ　10　5　1　

(a＋b)61　6　15　20　15　6　1

借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是(　　)

A．5，9  B．5，10

C．6，10  D．6，9

解析：选C．由题意知，题中的二项式系数表示形式为杨辉三角数阵，杨辉三角数阵中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，易得λ＝6，μ＝10.故选C．

8．某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B“感觉”到学生A的运动是(　　)

A．逆时针方向匀速前跑

B．顺时针方向匀速前跑

C．顺时针方向匀速后退

D．静止不动

解析：选C．令操场的周长为C，则学生B每隔50秒看一次，学生A都距上一次学生B观察的位置(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的，故选C．

9．已知实数x，y满足.若z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是(　　)

A．  B．[0，5]

C．[0，5)  D．

解析：选C．通解：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．令t＝2x－2y－1，则z＝|t|.t＝2x－2y－1可变形为y＝x－t－，作出直线y＝x，并平移，当直线经过点A时，t取得最小值，所以tmin＝2×－2×－1＝－；当直线y＝x向右下方平移，并接近点C(2，－1)时，t的值趋近于2×2－2×(－1)－1＝5.所以z的取值范围为[0，5)，故选C．

优解：令t＝2x－2y－1，则z＝|t|，易知t＝2x－2y－1的最值在可行域的顶点处取得．易得A，B，C(2，－1)为可行域的顶点，分别将A，B，C三点的坐标代入t＝2x－2y－1，对应的t的值为－，0，5，又可行域不包括点B，C，所以z的取值范围为[0，5)，故选C．

10．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最小值为2，则＋的最小值为　(　　)

A．2＋  B．5＋2

C．8＋  D．2

解析：选A．作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分．因为a＞0，b＞0，所以－＜0.所以目标函数z＝ax＋by在点A(1，1)处取得最小值2，即2＝a×1＋b×1，所以a＋b＝2.所以＋＝×(a＋b)＝≥(4＋2)＝2＋(当且仅当＝，即b＝a时取等号)．故选A．

11．若max{s1，s2，…，sn}表示实数s1，s2，…，sn中的最大者．设A＝(a1，a2，a3)，B＝，记A⊗B＝max{a1b1，a2b2，a3b3}．设A＝(x－1，x＋1，1)，B＝，若A⊗B＝x－1，则x的取值范围为(　　)

A．[1－，1]  B．[1，1＋]

C．[1－，1]  D．[1，1＋]

解析：选B．由A＝(x－1，x＋1，1)，B＝，得A⊗B＝max{x－1，(x＋1)(x－2)，|x－1|}＝x－1，则化简，得由①，得1－≤x≤1＋.由②，得x≥1.所以不等式组的解集为1≤x≤1＋，则x的取值范围为[1，1＋]．故选B．

12．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝x3＋3x2＋4x＋2，则不等式|f(x－1)|＜|f(x)|的解集为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选A．当x＝0时，f(0)＝2，|f(0)|＝2，f(－1)＝－1＋3－4＋2＝0，|f(－1)|＝0，|f(－1)|＜|f(0)|，即x＝0满足题意，排除C与D选项(不含 x＝0)；当x＝1时f(0)＝2，|f(0)|＝2，f(1)＝1＋3＋4＋2＝10，|f(1)|＝10，|f(0)|＜|f(1)|，即x＝1满足题意，排除B选项(不含x＝1)，故选A．

二、填空题

13．若a＋b≠0，则a2＋b2＋的最小值为________．

解析：法一：因为2ab≤a2＋b2，所以(a＋b)2≤2(a2＋b2)，由a＋b≠0，知a2＋b2＋≥a2＋b2＋≥2＝，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝，即a＝b＝±时，等号成立．

法二：因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，所以a2＋b2≥，所以a2＋b2＋≥＋≥2＝，当且仅当a＝b，且＝，即a＝b＝±时，等号成立．

答案：

14．(2019·河北省九校第二次联考)学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：

甲说：“是C或D作品获得一等奖”；

乙说：“B作品获得一等奖”；

丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；

丁说：“是C作品获得一等奖”．

若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．

解析：若获得一等奖的是A，则甲、乙、丙、丁四位同学说的话都错；若获得一等奖的是B，则乙、丙两位同学说的话对，符合题意；若获得一等奖的是C，则甲、丙、丁三位同学说的话都对；若获得一等奖的是D，则只有甲同学说的话对，故获得一等奖的作品是B.

答案：B

15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则＝________．

解析：令 ＝x(x＞0)，两边平方，得3＋2＝x2，即3＋2x＝x2，解得x＝3，x＝－1(舍去)，故＝3.

答案：3

16．若x，y满足约束条件目标函数z＝2x＋3y的最小值为2，则a＝________，z的最大值是________．

解析：x，y满足约束条件的可行域如图，

目标函数z＝2x＋3y经过可行域内的点A时，z取得最小值，经过点B时，z取得最大值．

由解得A(1，0)．又点A在直线x＝a上，可得a＝1.由

解得B，则z的最大值是z＝2×1＋3×＝.

答案：1