2020届二轮复习 基本不等式 课时作业（全国通用） 练习
展开1.若两个正实数满足,且不等式有解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：不等式有解，即为大于的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．
详解：正实数 满足则 =4，
当且仅当，取得最小值4．
由x有解，可得 解得或．
故选 D ．
2.若，，，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可直接得到所求最小值.
【详解】，于是或（舍），
当时取等号，则a+b的最小值为4，
故选.
3.已知正实数，满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由变形为，利用1的用法整理展开后，利用基本不等式即可求解．
【详解】正实数，满足，两边同除以得：
=
当且仅当，时，等号成立。
的最小值为。
4.若函数，在处取最小值， 则
A. B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
当x>2时,x-2>0,
f(x)=x-2++2≥2+2=4,
当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号,
即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.故选C.
5.已知，则的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知，，运用基本不等式即可求出最小值。
【详解】由题意知，，
因为，所以，
则，（当且仅当，即时取“=”）
故的最小值是5.
故答案为D.
12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 0 C. -2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.
【详解】画出图像如下图所示， ,等号在，即为的中点时成立.故选C.
【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）
9.已知点分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
,又因为, ,当且仅当x=y时取等号, ,即的最大值为,故选C.
（江苏省南通市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文））
13.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】
设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，根据勾股定理，以及基本不等式的性质进行求解即可．
【详解】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，
由题意知，
则，
则三角形的面积，
，
，
则三角形的面积，当且仅当a=b=取等
即这个直角三角形面积的最大值等于，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查三角形面积的计算，利用基本不等式的性质结合勾股定理，三角形的面积公式是解决本题的关键．
（湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试 数学（文科）试题）
16.如图所示，在三棱锥中，、、两两垂直，且．，．设是底面内一点，定义，，，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，，，且恒成立，则正实数的最小值为___________．
【答案】1
【解析】
∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．∴=+x+y
即x+y=则2x+2y=1，又，解得a≥1
∴正实数a的最小值为1
（陕西省汉中市重点中学2019届高三下学期3月联考数学（文）试题）
12.已知，函数的最小值为6，则（ ）
A. -2 B. -1或7 C. 1或-7 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
将化简成，利用基本不等式求得最小值，即可得到a.
【详解】
，（当且仅当时等号成立），
即，解得或7.
故选B.
【点睛】本题考查了函数的最值，考查了基本不等式的应用，将函数进行合理变形是关键，属于中档题.
（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）
10.已知函数，若，则下列关系式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先由均值不等式和不等式的性质比较自变量的大小可得，然后结合函数区间上单调递增比较p,q,r的大小即可.
【详解】因为，所以，
，又，，
又因为函数在区间上单调递增，
所以，即．
【点睛】本题主要考查函数的单调性，均值不等式比较代数式的大小等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题）
16.在中，角所对的边分别是，若，且，则的周长取值范围为__________________。
【答案】
【解析】
【分析】
由余弦定理将化简为,利用基本不等式求得a+b的范围即可求解.
【详解】由余弦定理得,整理得即a+b≤4当且仅当a=b=2取等，又a+b>c=2,所以a+b+c
故答案为
【点睛】本题考查基本不等式的应用，余弦定理，准确将原式化简是关键，注意三角形两边之和大于第三边，是中档题.
（陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
16.在实数集中定义一种运算“”，具有性质：
（1）对任意，；
（2）对任意，；
（3）对任意，，则函数的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
通过赋值法，可得到一般性的结论，对解析式化简，然后即可求得最小值。
【详解】因为在（3）中，对任意，
令，代入得
由（1）中可得
由（2）中，化简可得
所以因为
由基本不等式可得
所以最小值为3
【点睛】本题考查了新定义的运算，考查了函数式的化简求值，基本不等式的用法，属于难题。
（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
15.若，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
【详解】由题意，，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值．
【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件。
