2020届二轮复习多变量的不等式恒成立与存在性问题学案（全国通用）
展开专题10 多变量的不等式恒成立与存在性问题
含参数不等式的恒成立或有解问题，是高考的热点.它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查.解决这类问题，主要是运用分离变量法,等价转化为求具体函数的最值；运用数形结合法，等价转化为临界点；运用分类讨论法，等价转化为研究含参函数的最值.
类型一 分类讨论差函数最值
典例1. 若不等式在上恒成立，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题可设则问题转化为在上恒成立，则
（ⅰ） 当时 则在上单调递增，所以 在上恒成立，与已知不符，
故不符合题意．
（ⅱ）当时，令
且
即时，
于是在 上单调递减，
所以 即 在上成立．
则在上单调递减，
故在上成立，符合题意．
，即 时，
若 则 在上单调递增；
若在 则在上单调递减，
又 则在上成立，即 在上恒成立，所以在上单调递增，则在上恒成立．与已知不符，故不符合题意．综上所述， 的取值范围.
即答案为.
【名师指点】恒成立等价与恒成立，记，则，本题中由于有参数，需要分类讨论，利用导数求最值．
【举一反三】已知函数若当时，恒成立，则的取值范围______．
【答案】
类型二 参变分离求具体函数最值
典例2 若不等式对任意都成立，则实数的最小值为________．
【答案】100
【解析】由正弦定理得
因此 ，即的最小值为100
【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“”形式，则只要求出的最大值，然后解即可．
【举一反三】若不等式对任意满足的实数， 恒成立，则实数的最大值为__________．
【答案】
【解析】∵不等式x2−2y2⩽cx(y−x)对任意满足x>y>0的实数x、y恒成立，
∴，令=t>1，
∴， ，
当时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增;
当时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减。
∴当时,f(t)取得最小值, .
∴实数c的最大值为.
类型三 数形结合求临界点
典例3 设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立， ，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时， 取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.
【名师指点】等价于在公共定义域区间内，函数的图像落在的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围．
【举一反三】已知函数,若||≥,则的取值范围是__________.
【答案】.
【解析】
1.对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为，所以，令 ，则
当时 ；当时
因此要有两个y，需
2.定义在R上的函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且f(x－2)是偶函数，若对一切实数x，不等式f(2sinx－2)>f(sinx－1－m)恒成立，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为 是偶函数，所以函数f(x)的图象关于 对称，由题意知 在 上为增函数，则在 上为减函数，所以不等式 恒成立等价于 即 两边同时平方，得 即 ，即 或，即或，即或，即 或 ，故的取值范围为
即答案为
3.设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值__________．
【答案】
【解析】∵
∴
∵对任意，不等式恒成立
∴，简可得
∴且，即
∴
∴
∴
∴
令，则
∴当时， ，当且仅当时取等号
当时，
综上所述， 的最大值为
故答案为
4.若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为______
【答案】
【解析】原不等式等价于.令，则，因在上是单调减函数，且，故当， ， 在内是单调增函数；当，当， ， 在内是单调减函数，所以 ，所以，解得，填．
5．设点满足条件，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是 ．
【答案】
【解析】
不等式组在平面直角坐标系中所表示的区域如下图所示：
因为 ，所以由得：
设目标函数为：，因为，所以其最优解只可能在顶点处取得，
所以，要使恒成立，一定有：
此不等式组在坐标平面内所表示的区域是长为1，宽为 的矩形，面积为.
所以答案应填: .
6．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
7．不等式对于任意的，存在成立，则实数的取值范围
为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得对于任意的成立，即对于任意的成立，所以存在使得成立，因此学科网
8．函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是 ．
【答案】20
【解析】对于区间上的任意都有，等价于对于区间上的任意，都有，∵，∴，∵，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴∴，∴．
9．已知变量x，y满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】.
【解析】
10．若关于的不等式在（0，+）上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令，
令．
（1）当时，，不符合题意；
（2）当时，在上恒为负，在上恒为正；在上单调递增，则需,此时，符合题意；
（3）当时，在恒为负；在单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值也即是最大值，，解得．学科网
11．若对，不等式恒成立，则正实数的最大值是____________．
【答案】．
【解析】
12．已知：函数，若对使得，则实数的取值范围__________．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意只要在上的最小值大于在上的最小值即可，显然当时，的最小值为0，当时，的最小值为，所以，所以．
13．设，不等式对恒成立，则的取值范围________．
【答案】
【解析】根据题意有，即，结合题中所给的角的范围，求得的取值范围是．
14．已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围 .
【答案】.
【解析】∵在恒成立，即在恒成立，
∵，∴，即.学科网
15．设是定义在R上的奇函数，且当，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】
