2019届二轮复习（理）立体几何综合学案（全国通用）

【母题原题1】【2018新课标1，理18】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.

点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.   

【母题原题2】【2017新课标1，理18】

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

【解析】(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.

由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.

又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.

(2)

在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.

由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.

以F为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F-xy .

由(1)及已知可得A,P,B,C.

【母题原题3】【2016新课标1，理18】

如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;

(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.

【解析】 (Ⅰ)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,

所以AF⊥平面EFDC.

又AF⊂平面ABEF　,故平面ABEF⊥平面EFDC.

(Ⅱ)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF.

以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xy .

由(Ⅰ)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角　,

故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,]

可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).

设n=(x,y, )是平面BCE的法向量　,

则

所以可取n=(3,0,-).

设m是平面ABCD的法向量　,则

同理可取m=(0,,4),

则cos<n,m>==-.

故二面角E-BC-A的余弦值为-.    

【命题热点】从近几年的高考试题来看,线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、二面角等是高考的热点,题型既有选择题、填空题又有解答题,难度中等偏高,客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质,考查二面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容,同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．而直线与平面平行的判定,以及平面与平面平行的判定高考大题连续三年都没涉及,而在小题中考查,从高考试题来看,利用空间向量证明平行与垂直,以及求空间角是高考的热点,题型主要为解答题,难度属于中等,主要考查向量的坐标运算,以及向量的平行与垂直的充要条件,如何用向量法解决空间角问题等,同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．高考考查的热点可能以锥体或斜棱柱为几何背景,第一问以线面平行,面面平行为主要考查点,第二问可能是求二面角或探索性命题,突出考查空间想象能力和逻辑推理能力,以及分析问题、解决问题的能力,也有可能求线面角．

【应试经验】

1．在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误．

2．可以考虑向量的工具性作用,能用向量解决的尽可能应用向量解决,可使问题简化．

3．在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直定义,判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．

4．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可．

5．用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证直线a∥b,只需证明它们的方向向量满足(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外．

6．利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．

【基础知识理顺】

1. 线线平行与垂直的证明

证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性,垂直关系的多样性.

2.线面平行与垂直的证明方法

线面平行与垂直位置关系的确定,也是高考考查的热点,在小题中考查关系的确定,在解答题考查证明细节.

线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.

线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行.

线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.

线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.

3.面面平行与垂直的证明

（1）面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行,则它们必相交,在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.

（2）面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.

解题时要由已知相性质,由求证想判定,即分析法和综合法相结合寻找证明思路,关键在于对题目中的条件的思考和分析,掌握做此类题的一般技巧和方法,以及如何巧妙进行垂直之间的转化.

4.探索性问题

探求某些点的具体位置,使得线面满足平行或垂直关系,是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在,再去推理,下结论；二是运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算.

5. 如何求线面角

（1）利用面面垂直性质定理,巧定垂足：由面面垂直的性质定理,可以得到线面垂直,这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.

（2）利用三棱锥的等体积,省去垂足

在构成线面角的直角三角形中,其中垂线段尤为关键.确定垂足,是常规方法.可是如果垂足位置不好确定,此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置,照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h！利用三棱锥的等体积,只需求出h,然后利用进行求解.

（3）妙用公式,直接得到线面角

课本习题出现过这个公式：,如图所示：.其中为直线AB与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时,可直接应用.但是一定要注意三个角的位置,不能张冠李戴.

（4）万能方法,空间向量求解不用找角

设AB是平面的斜线,BO是平面的垂线,AB与平面所成的角,向量与的夹角,则.

6.如何求二面角

（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；

（2）射影面积法.利用射影面积公式＝ ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱,作法有“平移法”“延伸平面法”等.

法二：设,是二面角的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧（同等异补）,

则二面角的平面角

7.如何建立适当的坐标系

根据几何体本身的几何性质,恰当建立空间直角坐标系最为关键,如果坐标系引入的恰当,合理,即能够容易确定点的坐标,需要总结一些建系方法.常见建系方法：

（1）借助三条两两相交且垂直的棱为坐标轴,如正方体,长方体等规则几何体,一般选择三条线为三个坐标轴,如图1、2；

（2）借助面面垂直的性质定理建系,若题目中出现侧面和底面垂线的条件,一般利用此条件添加辅助线,确定 轴,如图3；

（3）借助棱锥的高线建系等.对于正棱锥,利用定点在底面的射影为底面的中心,可确定 轴,然后在底面确定互相垂直的直线分别为x,y轴.如图4.

8.如何确定平面的法向量

（1）首先观察是否与存在于面垂直的法向量,若有可直接确定,若不存在,转化为待定系数法；

（2）待定系数法：由于法向量没有规定长度,仅规定了方向,所以有一个自由度,于是可把法向量的某个坐标设为1,再求另两个坐标.由于平面法向量是垂直于平面的向量,所以取平面的两条相交向量,设由解方程组求得.

9. 向量为谋求解立体几何的探索性问题

空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在”问题,转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解”等,所以使问题的解集更加简单、有效,应善于运用这一方法解题.

1．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）】如图，五边形中，四边形为长方形，三角形为边长为2的正三角形，将三角形沿折起，使得点在平面上的射影恰好在上.

（Ⅰ）当时，证明：平面平面；

（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值.

【解析】试题分析：

，又四边形为长方形，.

取中点为，得∥，连结，

其中，，

由以上证明可知互相垂直，不妨以为轴建立空间直角坐标系.，

，

设是平面的法向量，

则有即，

令得

设是平面的法向量，

则有即

令得.

则

所以平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值为.

2．【山东省肥城市2018届高三适应性训练】如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，.

（1）求二面角的大小；

（2）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

（2）假设存在点，设，

所以，

所以,解得,

所以存在点,且.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

3．【福建省三明市第一中学2018届高三下学期适应性练习（一）】如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.  ]

，，

，，.

设平面的法向量为，

则，即.

令，则.所以.

设平面的法向量为，

则，即.令，则.所以.

，

设二面角的大小为，由于为钝角，

所以，即二面角的余弦值为.

点睛：（1）证明面面垂直，转化为线面垂直，证明线面垂直转化为线线垂直，用分析法思考，用综合法书写。

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值，是立体几何中求角度问题的常见解法。

4．【浙江省台州中学2018届高三模拟考试】如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，点是棱的中点，平面.

（1）证明：平面；

（2）当长度为多少时，直线与平面所成角的正弦值为.

（2）过做垂直于交于点，连接，

，，，

点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，有关线面角的求解问题，在解题的过程中，需要铭记线面平行的判定定理的内容，找到平行线，即可证得结果，关于线面角的问题关键是找到对应的平面角.  学 .

5．【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．

（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；

（Ⅱ）若二面角CBFD的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．

，DE⊥平面ABCD，则平面.

过G做于点I，则BF平面，即角为

二面角CBFD的平面角，则60°.

，.

设平面BCF的法向量为m＝(x，y， )，   

则所以取x=，所以m＝(，-1，－)，

取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，

由，解得，则，

又,则，设CF与平面ABCD所成角为，

则sin=.

故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为

点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.

6．【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，且，与交于点，底面，.

（1）求证：无论为何值，在棱上总存在一点，使得平面；

（2）当二面角为直二面角时，求的值．

于是.

，

设平面的法向量为，则，即

解得：   ]

设平面的法向量为，则，即

解得：

因为二面角为直二面角，

所以，即，得.

点睛：运用空间向量解决立体几何问题的步骤

(1)建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系；

(2)定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标；

(3)向量运算：进行相关的空间向量的运算；   

(4)翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解．

7．【山东省实验中学2015级第二次模拟考试】已知三棱柱的侧面是菱形，.

（1） 求证：；

（ 2 ） 若，，，求的值，使得 二面角的余弦值的为 .

点睛：本题主要考查线面垂直的判断定理及其应用，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．【河北省石家庄二中2018届高三三模】在等腰直角中，，分别为，的中点，，将沿折起，使得二面角为.

（1）作出平面和平面的交线，并说明理由；

（2）二面角的余弦值.

所以二面角的余弦值为.   

点睛：用空间向量求二面角问题的解题步骤：

右手定则建立空间直角坐标系，写出关键点坐标

设两平面的法向量， 两法向量夹角为，求法向量及两向量夹角的余弦；

当两法向量的方向都向里或向外时，则二面角；当两法向量的方向一个向里一个向外时，二面角为.

9．【河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试】如图,在三棱柱中,四边形是矩形, ,平面平面.

(1)证明: ；

(2)若, ，求二面角的余弦值.

点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：

第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；

第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；

第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；

第四，破“应用公式关”.  

10．【安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试】在多面体 中， ，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，.

(1)求证:平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力.(2) 二面角常见的求法有两种，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）

11．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】如图，斜三棱柱中，为锐角，底面是以为斜边的等腰直角三角形， ．   ]

（1）证明：平面 平面；

（2）若直线与底面成角为， ，求二面角的余弦值．

点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力.(2) 二面角常见的求法有两种，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）

12．【河北省衡水中学2018届高三数学（理 ）三轮复习系列七】如图，在四棱锥中，，，，，，是棱中点且.

（1）求证：平面；

（2）设点是线段上一动点，且，当直线与平面所成的角最大时，求的值.

（2）因为为的中点，设，

在中，，设，则，

所以，    .

，

所以当时，即时，取得最大值.

所以与平面所称的角最大时.

点睛：空间向量的引入为空间角的求法提供了简捷的方法，只需借助于向量的运算便可得到所求的角．但解题时也需注意向量的夹角与空间角的关系，以及空间角的取值范围，这是在解题中比较容易忽视的问题，因此在求得向量的夹角后还得要根据题意再转化成所求的角．

13．【山东省日照市2018届高三校际联考】已知三棱锥（如图）的平面展开图（如图）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

（2）解：由平面，，如图建立空间直角坐标系，则

点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

14．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知在梯形中，，分别为底上的点，且，，，沿将平面折起至平面平面．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求的长度．

【解析】分析：（Ⅰ）根据题设中的面面垂直可以得到平面，从而，注意到是等腰

（Ⅱ）以为坐标原点，以为轴，为轴，以为轴建立空间直角坐标系．

设，则，则， 

显然平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，

则，，，

取，即，

，

依题意，解得，即．   

点睛：面面垂直的证明，关键在于一个面中找到另一个面的垂线，面的垂线来自于线线垂直，它可以平面图形的垂直关系（可以用解三角形等方法证明），也可以是空间直线垂直关系的转化（如）．二面角的计算可建立空间直角坐标系，然后计算法向量之间的夹角从而得到二面角的余弦值的大小．

15．【江西师范大学附属中学2018届高三年级测试（三模）】如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，现以为折痕将正方形折起，且重合，记重合后记为，重合后记为.

（1）求证：面面；

（2）求面与面所成二面角的余弦值.

（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则,,

设面的法向量,由，得：，取，得，

所以面的法向量.