2019届二轮复习（理）第九章第52讲　直线的基本量与方程学案（江苏专用）

 第52讲　直线的基本量与方程
考试要求　1.直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式(B级要求)；2.确定直线位置的几何要素，直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)(C级要求)；3.斜截式与一次函数的关系(A级要求).

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示.(　　)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　　)
解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等.
(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，
－1)，则直线l的斜率为 .
解析　设P(m，1)，Q(7，n)，
由题意知解得
所以P(－5，1)，Q(7，－3)，
所以k＝＝－.
答案　－
3.已知两点A(4，0)，B(0，3)，点C(8，a)在直线AB上，那么实数a＝ .
解析　由kAB＝kBC，得＝，所以a＝－3.
答案　－3
4.若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是 .
解析　令y＝0，则(2m2＋m－3)x＝4m－1，
∴x＝＝1，∴m＝2或－.
答案　2或－
5.如图所示，直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 .

解析　设PA与PB的倾斜角分别为α、β，直线PA的斜率k1＝5，直线PB的斜率k2＝－.

当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增到90°，斜率的变化范围为[5，＋∞)；
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角为90°增至β，斜率的变化范围为，
故直线l的斜率的取值范围是∪[5，＋∞).
答案　∪[5，＋∞)
知 识 梳 理
1.直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°).
2.斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3.直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
不含直线x＝x1
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)
平面直角坐标系内的直线都适用

考点一　直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)(2018·镇江模拟)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是 .
(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .
解析　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.
因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，
所以0≤θ≤或≤θ