2019届二轮复习　圆锥曲线的定义、方程及性质[小题提速练]学案（全国通用）

第18练　圆锥曲线的定义、方程及性质[小题提速练]
[明晰考情]　1.命题角度：圆锥曲线是高考的热点，每年必考，小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等.2.题目难度：中档难度或偏难．

考点一　圆锥曲线的定义与标准方程
方法技巧　(1)椭圆和双曲线上的点到两焦点的距离可以相互转化，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．
(2)求圆锥曲线方程的常用方法：定义法、待定系数法．
1．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　　)
A．y2－＝1 B．x2－＝1
C．y2－＝1(y≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
答案　C
解析　由两点间距离公式，可得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支．由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)，故选C.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　由e＝知a＝b，且c＝a.∴双曲线渐近线方程为y＝±x.
又kPF＝＝＝1，∴c＝4，则a2＝b2＝＝8.
故双曲线方程为－＝1.
3．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是________．
答案　
解析　由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，
所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.
又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，
所以＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝.
4．已知抛物线y＝x2，A，B是该抛物线上两点，且|AB|＝24，则线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为________．
答案　8
解析　由题意得抛物线的标准方程为x2＝16y，
焦点F(0,4)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AB|≤|AF|＋|BF|＝(y1＋4)＋(y2＋4)＝y1＋y2＋8，
∴y1＋y2≥16，则线段AB的中点P的纵坐标y＝≥8，
∴线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为8.
考点二　圆锥曲线的几何性质
要点重组　在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；
在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝　.
5．(2018·全国Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　A
解析　双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.
又∵离心率＝＝，
∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0)．
∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.
故选A.
6．(2018·全国Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B．2 C. D.
答案　C
解析　如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．

因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.
又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，
所以|F2P|＝a＝b，
所以c＝＝a，所以e＝＝.
7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为______．
答案　y＝±x
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴＝p，即＝，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
答案　
解析　如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，

∴点A到l的距离d＝.
又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b，
∴△MAN为等边三角形，
∴d＝|MA|＝b，即＝b，∴a2＝3b2，
∴e＝＝＝.
考点三　圆锥曲线的综合问题
方法技巧　(1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法
定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法．
(2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明．
9．如图，点F1，F2是椭圆C1的左、右焦点，椭圆C1与双曲线C2的渐近线交于点P，PF1⊥PF2，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，则(　　)

A．e＝ B．e＝
C．e＝ D．e＝
答案　D
解析　设椭圆C1的方程为＋＝1，
点P的坐标为(x0，y0)，由图知x0＞0，y0＞0，
因为点P在椭圆C1上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a.①
又因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，②
在Rt△PF1F2中，易得|PF1|·|PF2|＝2c·y0，③
联立①②③，得y0＝，
代入椭圆方程，得x0＝.
因为点P在双曲线的渐近线上，
所以双曲线的渐近线的斜率k＝＝＝＝，
又在双曲线中易得其渐近线的斜率k＝，
所以＝，
化简得e＝，故选D.
10．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)
A. B.
C. D．1
答案　C
解析　如图，

由题意可知F，设P点坐标为，显然，
当y0<0时，kOM<0；
当y0>0时，kOM>0.
要求kOM的最大值，不妨设y0>0，
则＝＋
＝＋＝＋(－)
＝＋
＝，
kOM＝＝≤＝，
当且仅当y＝2p2时等号成立．故选C.
11．过抛物线y＝ax2 (a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则＝________.
答案　
解析　显然直线AB的斜率存在，故设直线方程为y＝kx＋，与y＝ax2联立，消去y得ax2－kx－＝0，
设A(x1，ax)，B(x2，ax)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，
x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋，∴mn＝·，m＋n＝，∴＝.
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围为________．
答案　[1，4]
解析　由已知得2b＝2，故b＝1，
∵△F1AB的面积为，
∴(a－c)b＝，
∴a－c＝2－，
又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，
∴a＝2，c＝，
∴＋＝
＝＝，
又2－≤|PF1|≤2＋，
∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，
∴1≤＋≤4，
即＋的取值范围为[1，4].

1．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C. D.
答案　B
解析　由题意，得22＝a2＋1，即a＝，
设P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，
则·＝(x＋2)x＋y2
＝x2＋2x＋－1＝2－，
因为x≥，所以·的取值范围为[3＋2，＋∞)．
2．若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的方程为________________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　由题意，得所以
所以b2＝a2－c2＝9.
所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；
当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.
故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
3．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案　(1,2)
解析　设P(x，y)，由题设条件，
得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，
即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．
又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
由题意，可得>1，即>1，
所以e＝<2，
又e>1，故1 解题秘籍　(1)椭圆的焦点位置不明确时，要分焦点在x轴上或y轴上进行讨论．
(2)范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件．

1. (2018·全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.
故选C.
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.
故选B.
3．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝4x B．y2＝2x C．y2＝8x D．y2＝6x
答案　C
解析　设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由抛物线的定义可知，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋＋x2＋
＝(x1＋x2)＋p，
∵线段PQ中点的横坐标为3，
又|PQ|＝10，
∴10＝6＋p，可得p＝4，
∴抛物线的方程为y2＝8x.
4．已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
答案　A
解析　由题意可得m2－1＝n2＋1，
即m2＝n2＋2，
∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵e·e＝·＝·
＝＝1＋＞1，
∴e1e2＞1.
5．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为l，圆C：(x－a)2＋y2＝8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且＝5(其中O为坐标原点)，则双曲线Γ的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　双曲线的渐近线方程为y＝x，圆(x－a)2＋y2＝8的圆心为(a,0)，半径r＝2，由于∠ACB＝，由勾股定理得|AB|＝＝4，故|OA|＝|AB|＝1.在△OAC，△OBC中，由余弦定理得cos∠BOC＝＝，解得a2＝13.由圆心到直线y＝x的距离为2，得＝2，结合c2＝a2＋b2，解得c＝，故离心率为＝＝.
6．(2018·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　C
解析　如图，不妨设A在B的上方，

则A，B.
其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3.
又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝.
∴双曲线的方程为－＝1.
故选C.
7．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设M(－c，m)(m≠0)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，
所以＝，a＝3c，所以e＝.
8．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D．3
答案　B
解析　不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.
又r1·r2＝ab，所以·＝ab，解得＝(负值舍去)，故e＝＝＝＝，故选B.
9．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
答案　15
解析　因为在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3，得焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的定义，得|PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a－|PF2|)＝10＋(|PM|－|PF2|)．
因为|PM|－|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立，
此时|PM|＋|PF1|的最大值为10＋5＝15.
10．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
答案　6
解析　如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.

由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.
11．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M(1，t)(t>0)到焦点的距离为5，双曲线－＝1(a>0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为________．
答案　3
解析　由题意知1＋＝5，∴p＝8.∴M(1,4)，
由于双曲线的左顶点A(－a，0)，
且直线AM平行于双曲线的一条渐近线，
∴＝，则a＝3.
12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M是线段PF1上一点，且满足＝2，·＝0，则椭圆C的离心率的取值范围为________．
答案　
解析　设P(x，y)(y≠0)，取MF1的中点N，
由＝2知，＝，

解得点N，
又·＝0，
所以⊥，
连接ON，由三角形的中位线可知⊥，
即(x，y)·＝0，
整理得(x－c)2＋y2＝c2(y≠0)，
所以点P的轨迹为以(c，0)为圆心，c为半径的圆(去除两点(0,0)，(2c，0))，要使得圆与椭圆有公共点，则
a－c＜c，所以e＝＞，又0 所以椭圆的离心率为.