2019届二轮复习第11练　数　列[小题提速练]学案（全国通用）

第11练　数　列[小题提速练]
[明晰考情]　1.命题角度：考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查数列的通项及求和. 2.题目难度：选择题中等偏下，填空题中档难度.

考点一　等差数列与等比数列
要点重组　(1)在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)若{an}是等差数列，则也是等差数列.
(3)在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列.
(4)在等比数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外).
1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　)
A.－12 B.－10　C.10 D.12
答案　B
解析　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a9＝1，S18＝0，当Sn取最大值时n的值为(　　)
A.7 B.8　C.9 D.10
答案　C
解析　方法一　设公差为d，
则a1＋8d＝1且18a1＋d＝0，
解得a1＝17，d＝－2，
所以Sn＝17n－n(n－1)＝－n2＋18n，
当n＝9时，Sn取最大值，故选C.
方法二　因为S18＝×18＝0，
所以a1＋a18＝a9＋a10＝0，所以a10＝－1，
即数列{an}中前9项为正值，从第10项开始为负值，故其前9项之和最大.故选C.
3.在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn等于(　　)
A.n(3n－1) B.
C.n(n＋1) D.
答案　C
解析　依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，
所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，
an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1).
4.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q＝________.
答案　－9
解析　由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18，36，81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0，又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24，36，－54，81，∴q＝＝－，∴6q＝－9.
考点二　数列的通项与求和
方法技巧　(1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.
(2)利用an＝求通项时，要注意检验n＝1的情况.
5.数列{an}满足a1＝0，－＝1(n≥2，n∈N*)，则a2 019等于(　　)
A. B.　C. D.
答案　C
解析　∵数列{an}满足a1＝0，－＝1(n≥2，n∈N*)，
∴＝1，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，
∴＝2 019，解得a2 019＝.
6.已知数列{an}满足a1a2a3…an＝(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋ A. B.
C. D.
答案　D
解析　∵数列{an}满足a1a2a3…an＝(n∈N*)，
∴当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，a1a2a3…an－1＝2(n－1)2，可得an＝22n－1，n≥2，当n＝1时，a1＝2满足上式，
∴＝，数列为等比数列，首项为，公比为.
∴＋＋…＋＝＝<.
∵对任意n∈N*都有＋＋…＋ ∴t的取值范围是.
7.(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
答案　－63
解析　∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2).
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，
∴Sn＝＝＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
8.在已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有＝1成立，则S2 017＝________.
答案　
解析　当n≥2时，由＝1，
得2(Sn－Sn－1)＝anSn－S＝－SnSn－1，
所以－＝1，又＝2，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以＝n＋1，故Sn＝，则S2 017＝.
考点三　数列的综合应用
方法技巧　(1)以函数为背景的数列问题、可以利用函数的性质等确定数列的通项an、前n项和Sn的关系.
(2)和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决.
9.(2018·黑龙江大庆一中模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S20的值为(　　)
A. B.　C. D.
答案　A
解析　因为f(x)＝x2＋ax，所以f′(x)＝2x＋a，又函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，所以f′(0)＝a＝2，所以f(x)＝x2＋2x，
所以＝＝，
所以S20＝＝×＝.
10.已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为(　　)
A.1 B.　C. D.无法确定
答案　A
解析　由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，
所以向量a＝(c，d)的模为1.
11.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.
答案　64
解析　由已知a1＋a3＝10，a2＋a4＝a1q＋a3q＝5，
两式相除得＝，
解得q＝，a1＝8，
方法一　∴a2＝4，a3＝2，a4＝1，∴a1a2a3＝a1a2a3a4，∴a1a2…an的最大值为64.
方法二　由a1a2…an＝8n·1＋2＋…＋(n－1)＝，抛物线f(n)＝－＋的对称轴为n＝＝，又n∈N*，所以当n＝3或4时，a1a2…an取最大值26＝64.
12.已知函数f(x)＝3|x＋5|－2|x＋2|，数列{an}满足a1<－2，an＋1＝f(an)，n∈N*.若要使数列{an}成等差数列，则a1的取值集合为______________.
答案　
解析　因为f(x)＝
所以若数列{an}成等差数列，则当a1为直线y＝x＋11与直线y＝－x－11的交点的横坐标，即a1＝－11时，数列{an}是以－11为首项，11为公差的等差数列；
当f(a1)＝a1，即5a1＋19＝a1或－a1－11＝a1，即a1＝－或a1＝－时，数列{an}是以0为公差的等差数列，因此a1的取值集合为.

1.在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15等于(　　)
A.210 B.211 C.224 D.225
答案　B
解析　当n＞1时，Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，
∴an＋1＝an＋2，n≥2，∴an＋1－an＝2，n≥2.
∴数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，
∴S15＝a1＋(a2＋…＋a15)＝1＋×14＝211.
2.已知数列{an}满足：an＋1＝an(1－2an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝an·an＋1，则数列{bn}的前2 017项的和S2 017＝________.
答案　
解析　由an＋1＝an(1－2an＋1)，可得－＝2，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
故＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以an＝.
又bn＝an·an＋1＝＝，
所以S2 017＝＝×＝.
3.已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________.
答案　
解析　由题意，得a2－a1＝2，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
累加整理可得an＝n2－n＋33，n≥2，
当n＝1时，a1＝33也满足，
∴＝n＋－1(n∈N*).
由函数f(x)＝x＋－1(x＞0)的单调性可知，
的最小值为f(5)，f(6)中较小的一个.
又f(6)＝，f(5)＝，
∴min＝.
解题秘籍　(1)利用an＝Sn－Sn－1寻找数列的关系，一定要注意n≥2这个条件.
(2)数列的最值问题可以利用基本不等式或函数的性质求解，但要考虑最值取到的条件.

1.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为(　　)
A.－24 B.－3 C.3 D.8
答案　A
解析　由已知条件可得a1＝1，d≠0，
由a＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，
解得d＝－2.
所以S6＝6×1＋＝－24.
2.设等比数列{an}的前6项和S6＝6，且1－为a1，a3的等差中项，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A.－2 B.8 C.10 D.14
答案　B
解析　依题意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，数列S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即数列2，4，S9－S6成等比数列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8，故选B.
3.已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|等于(　　)
A.9 B.15 C.18 D.30
答案　C
解析　由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)
A.2 B.3　C.4 D.5
答案　D
解析　＝＝＝＝＝＝7＋，
验证知，当n＝1，2，3，5，11时为整数.
5.在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于(　　)
A.2n＋1－2 B.3n　C.2n D.3n－1
答案　C
解析　设等比数列{an}的公比为q，由于{an＋1}也是等比数列，所以(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)，即a＋2a2＋1＝a1a3＋a1＋a3＋1，即2a2＝a1＋a3，即2q＝1＋q2，解得q＝1，所以数列{an}是常数列，所以Sn＝2n.
6.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则等于(　　)
A.2 B.　C. D.1或2
答案　B
解析　设S2＝k，则S4＝3k，
由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，
又S2＝k，S4－S2＝2k，
∴S6－S4＝4k，
∴S6＝7k，
∴＝＝，故选B.
7.(2018·唐山模拟)设{an}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)
A.2X＋Z＝3Y B.4X＋Z＝4Y
C.2X＋3Z＝7Y D.8X＋Z＝6Y
答案　D
解析　根据等差数列的性质X，Y－X，S3n－Y，Z－S3n成等差数列，
∴S3n＝3Y－3X，
又2(S3n－Y)＝(Y－X)＋(Z－S3n)，
∴4Y－6X＝Y－X＋Z－3Y＋3X，
∴8X＋Z＝6Y.
8.若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则＋＋…＋等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，
则a2－a1＝1＋1，
a3－a2＝2＋1，
a4－a3＝3＋1，
…，
an－an－1＝(n－1)＋1，n≥2.
以上等式相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n－1，n≥2，
把a1＝1代入上式得，
an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，n≥2，
＝＝2，n≥2，
当n＝1时，a1＝1也满足，
∴＝2，n∈N*，
则＋＋…＋＝2＝2＝.
9.公差不为0的等差数列{an}的部分项构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.
答案　22
解析　根据题意可知，等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1，
所以＝a1＋(k4－1)·(3a1)＝64a1，解得k4＝22.
10.若Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn＝an＋1an，a1＝4，则数列{an}的通项公式为an＝____.
答案　
解析　因为2Sn＝an＋1an，a1＝4，
所以n＝1时，2×4＝4a2，
解得a2＝2.
n≥2时，2Sn－1＝anan－1，
可得2an＝an＋1an－anan－1，
所以an＝0(舍去)或an＋1－an－1＝2.
n≥2时，an＋1－an－1＝2，可得数列{an}的奇数项与偶数项分别为等差数列.
所以a2k－1＝4＋2(k－1)＝2k＋2，k∈N*，
a2k＝2＋2(k－1)＝2k，k∈N*.
所以an＝
11.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这个女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为________.
答案　
解析　设这个女子每天分别织布an尺，则数列{an}是等比数列，公比q＝2.则＝5，解得a1＝.
所以a3＝×22＝.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋2n，bn＝anan＋1cos[(n＋1)π]，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是________.
答案　(－∞，－5]
解析　n＝1时，a1＝S1＝3.n≥2，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.n＝1时也成立，
所以an＝2n＋1.
所以bn＝anan＋1cos[(n＋1)π]＝(2n＋1)(2n＋3)cos[(n＋1)π]，
n为奇数时，cos[(n＋1)π]＝1，
n为偶数时，cos[(n＋1)π]＝－1.
因此当n为奇数时，Tn＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…＋(2n＋1)(2n＋3)＝3×5＋4×(7＋11＋…＋2n＋1)＝15＋4×＝2n2＋6n＋7.
因为Tn≥tn2对n∈N*恒成立，
所以2n2＋6n＋7≥tn2，t≤＋＋2＝72＋，
所以t≤2.
当n为偶数时，Tn＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…－(2n＋1)(2n＋3)
＝－4×(5＋9＋13＋…＋2n＋1)＝－2n2－6n.
因为Tn≥tn2对n∈N*恒成立，
所以－2n2－6n≥tn2，t≤－2－，
所以t≤－5.
综上可得t≤－5.