2019届二轮复习　函数的概念、图象和性质[小题提速练]学案（全国通用）

第20练　函数的概念、图象和性质[小题提速练]
[明晰考情]　1.命题角度：(1)以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；(2)利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题.2.题目难度：中档难度．

考点一　函数及其表示
要点重组　(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同．
(2)对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1]
B．[－1,1]
C.∪
D.∪
答案　C
解析　函数有意义，则即
所以函数的定义域为.
2．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　C
解析　若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)，
得＝2(a＋1－1)，
∴a＝，∴f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．
综上，f ＝6.
故选C.
3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是__________．
答案　[0,1)
解析　由得0≤x＜1，
∴函数g(x)的定义域为[0,1)．
4．函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域为______．
答案　(－2 017,2)
解析　f(x)＝＝＝2－，
因为ax＞0，所以ax＋1＞1，
所以0＜＜2 019，所以－2 017＜2－＜2，
故函数f(x)的值域为(－2 017,2)．
考点二　函数的图象及应用
方法技巧　(1)函数图象的判断方法，①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到．
(2)利用图象可确定函数的性质、方程与不等式的解问题．
5．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)


答案　D
解析　当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除选项B.
当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除选项A，C.
故选D.
6．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)| A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
答案　C
解析　画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|
综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，
因此h(x)有最小值－1，无最大值．
7．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．
答案　8
解析　如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和为8.

8．设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，则a的取值范围是________．
答案　
解析　设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，
由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线h(x)＝ax－a的下方，如图．

∵g′(x)＝ex(2x－1)＋2ex＝ex(2x＋1)，
∴当x＜－时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，
当x>－时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，
∴当x＝－时，g(x)取最小值，
当x＝0时，g(x)＝－1，
当x＝1时，g(x)＝e＞0，
直线h(x)＝ax－a恒过定点(1,0)且斜率为a，
故－a＞g(0)＝－1且g＝－3e－1≥－a－a，解得≤a＜1.
考点三　函数的性质与应用
要点重组　(1)利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
(2)函数单调性的应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．
(3)函数周期性的常用结论：若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝，则2a是函数f(x)的周期．
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为(　　)
A．4 B．－4 C．6 D．－6
答案　B
解析　由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝1＋m＝0，解得m＝－1，f(－log35)＝－f(log35)＝－(－1)＝－4，故选B.
10．设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且任意x∈R，满足f ＝f ，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)＝__________.
答案　3－|x＋1|
解析　f(x)的周期T＝2，
当x∈[0,1]时，x＋2∈[2,3]，∴f(x)＝f(x＋2)＝x＋2.
又f(x)为偶函数，
∴当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，f(－x)＝－x＋2，
∴f(x)＝－x＋2；
当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0,1]，
f(x)＝f(x＋2)＝x＋4.
综上，当x∈[－2,0]时，f(x)＝3－|x＋1|.
11．已知偶函数f ，当x∈时，f(x)＝＋sin x．设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)
答案　c 解析　因为函数f 为偶函数，
所以f ＝f ，
即函数f(x)的图象关于直线x＝对称，即f(x)＝f(π－x)．
又因为当x∈时，f(x)＝＋sin x，
所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，
因为2<π－1<3，所以f(2)>f(π－1)＝f(1)>f(3)，即c 12．已知函数y＝f(x)，x∈R，有下列四个命题：
①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；
②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确命题的序号为________．
答案　①②④
解析　＝1，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0，即x＝2对称，故②正确；由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4k(k∈Z)对称，不能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③错误；由于函数f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，由于＝1，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确．

1．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(　　)
A．(－2,0) B．(－2,2)
C．(0,2) D.
答案　C
解析　由题意得解得
故0＜x＜2.故选C.
2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案　C
解析　由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，
得即∴－1＜x＜0或0＜x＜1.
3．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　)
A．(1,2 016) B．[1,2 016]
C．(2,2 017) D．[2,2 017]
答案　C
解析　在平面直角坐标系中画出f(x)的图象，如图所示．设a＜b＜c，要满足存在互不相等的a，b，c，使f(a)＝f(b)＝f(c)，则a，b关于直线x＝对称，可得a＋b＝1,1＜c＜2 016，故a＋b＋c的取值范围是(2,2 017)．

解题秘籍　(1)从映射的观点理解抽象函数的定义域，如函数y＝f(g(x))中，若函数y＝f(x)的定义域为A，则有g(x)∈A.
(2)利用函数的性质求函数值时，要灵活应用性质对函数值进行转换．
(3)解题过程中要利用数形结合的思想，将函数图象、性质有机结合．

1．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)
A. B.
C. D．[0,1)
答案　D
解析　要使函数有意义，需即0≤x＜1.
故函数的定义域为[0,1)，故选D.
2．若函数f(x)＝则f(f(2))等于(　　)
A．1 B．4 C．0 D．5－e2
答案　A
解析　由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，
所以f(f(2))＝1.
3．(2018·全国Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

答案　B
解析　∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝＝e－＞0，排除D选项．
又e＞2，∴＜，∴e－＞，排除C选项．
故选B.
4．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－.
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a＜0，且－≥4，解得－≤a＜0.
综上所述a的取值范围是.
5．已知函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，且g(x)≠0，设p：函数f(x)＝g(x)是偶函数；q：函数g(x)是奇函数，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　令h(x)＝－(x≠0)，易得h(x)＋h(－x)＝0，则h(x)为奇函数，又g(x)是奇函数，所以f(x)为偶函数；反过来也成立．因此p是q的充要条件．
6．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
答案　C
解析　由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数，得m＝0，则f(x)＝2|x|－1.当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2x－1单调递增，
又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且0＜log23＜log25，则f(0)＜f(log23)＜f(log25)，
即c＜a＜b，故选C.
7．已知函数f(x)＝若f(4)＝3，则f(x)>0的解集为(　　)
A．{x|x>－1}
B．{x|－1 C．{x|x>－1且x≠0}
D.
答案　D
解析　因为f(4)＝2＋a＝3，所以a＝1.
所以不等式f(x)>0等价于
即x>，或即－1 所以f(x)>0的解集为.
8．已知函数f(x＋2)(x∈R)为奇函数，且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝，则f(2 018)等于(　　)
A．2 018 B.
C. D．0
答案　D
解析　由题意知，f(x＋2)＝－f(－x＋2)，∴f(x)＝－f(－x＋4)，又f(x)＝f(－x＋2)，∴－f(－x＋4)＝f(－x＋2)，∴－f(－x＋2)＝f(－x)，∴f(－x＋4)＝f(－x)，∴f(x)的周期为4，故f(2 018)＝f(2 016＋2)＝f(2)＝f(0)＝0.
9. (2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
答案　－2
解析　∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.
10．设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
答案　
解析　由题意知，可对不等式分x≤0,0＜x≤，x＞三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1，
解得x＞－，∴－＜x≤0.
当0＜x≤时，原不等式为2x＋x＋＞1，显然成立．
当x＞时，原不等式为2x＋＞1，显然成立．
综上可知，x的取值范围是.
11．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为______________________．
答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析　当a>0时，a2＋a－[－3(－a)]>0⇒a2－2a>0⇒a>2；当a＜0时，－3a－[(－a)2＋(－a)]<0⇒a2＋2a>0⇒a<－2.综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
12．能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数是圆O的“和谐函数”的是________．(填序号)
①f(x)＝ex＋e－x；
②f(x)＝ln ；
③f(x)＝tan ；
④f(x)＝4x3＋x.
答案　②③④
解析　由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f(0)＝e0＋e－0＝2，所以f(x)＝ex＋e－x的图象不过原点，故f(x)＝ex＋e－x不是“和谐函数”；②中，f(0)＝ln ＝ln 1＝0，f(x)的定义域为(－5,5)，且f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)＝ln 为“和谐函数”；③中，f(0)＝tan 0＝0，f(x)的定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，且f(－x)＝tan ＝－tan ＝－f(x)，f(x)为奇函数，故f(x)＝tan 为“和谐函数”；④中，f(0)＝0，且f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，故f(x)＝4x3＋x为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”．