2019届二轮复习　复数与数学文化学案（全国通用）

第3练　复数与数学文化
[明晰考情]　1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；数学文化的考查内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：复数的考查难度为低档难度，数学文化的考查难度为中档难度．

考点一　复数的概念
要点重组　(1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
方法技巧　复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
1．(2018·全国Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|等于(　　)
A．0 B.
C．1 D.
答案　C
解析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
∴|z|＝1.故选C.
2．(2018·全国Ⅱ)等于(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
答案　D
解析　＝＝＝＝－＋i.故选D.
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于(　　)
A．5－4i B．5＋4i　C．3－4i D．3＋4i
答案　D
解析　由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，
∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.
4．(2018·杭州模拟)设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
答案　B
解析　(1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a，
∵(1＋3i)(1＋ai)∈R，
∴虚部为0，则a＋3＝0，∴a＝－3.
5．(2018·浙江省杭州市第二中学月考)若复数z满足(1－2i)·z＝3＋i(i为虚数单位)，则z＝______；|z|＝________.
答案　　
解析　由题设有z＝＝＝，故|z|＝.
6．(2017·浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
答案　5　2
解析　(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
由(a＋bi)2＝3＋4i，得
解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.
考点二　复数的几何意义
要点重组　(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
7．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
答案　A
解析　由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，
得解得－3 8．已知复数(i为虚数单位)在复平面上对应的点在虚轴上，则实数a＝________.
答案　2
解析　因为＝＝－i，
又因为对应的点在虚轴上，所以＝0，a＝2.
9．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则＝______.

答案　－1－2i
解析　由题意，根据复数的表示可知z1＝i，z2＝2－i，
所以＝＝＝－1－2i.
10．设复数z满足(2＋i)z＝，i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在第________象限．
答案　四
解析　由(2＋i)z＝|－i|＝＝2，
得z＝＝＝－i，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，
在第四象限．
11．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于第______象限．
答案　一
解析　因为i4n＋k＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0，
所以i＋i2＋i3＋…＋i2 017＝i，
所以z＝＝＝，
对应的点为，在第一象限．
考点三　几何中的数学文化
方法技巧　从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题．
12．我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是(　　)
A．3步 B．6步 C．4步 D．8步
答案　B
解析　由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，
设其内切圆半径为r，
则有＋＋＝×8×15(等积法)，
解得r＝3，故其直径为6步．
13．如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α等于(　　)

A. B. C．5 D.
答案　A
解析　由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，
∴2＝10cos α－10sin α，
∴cos α－sin α＝，
又α为锐角，易求得tan α＝.
14．(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)


答案　A
解析　由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.

15．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为(　　)

A．4－ B．8－
C．8－π D．8－2π
答案　C
解析　由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱．
V正方体＝23＝8，V半圆柱＝(π×12)×2＝π，
∴三视图对应几何体的体积V＝8－π.
根据祖暅原理，不规则几何体的体积V′＝V＝8－π.
16．我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为(　　)
A．5尺 B．9尺
C．10.6尺 D．21.2尺
答案　D
解析　设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则2πr＝54，r≈9.
粟米250斛，则体积为250×1.62＝×π×92×h，h≈5.
谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R尺．
则R2＝(h－R)2＋r2，解得R≈10.6(尺)．
∴2R≈21.2(尺)．
17．卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：

①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.
其中正确的式子的序号是(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案　D
解析　①由题图知2a1>2a2，2c1>2c2，
即a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，∴①不正确．
②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正确．
④∵a1>a2>0，c1>c2>0，∴a>a，c>c.
又∵a1－c1＝a2－c2，
即a1＋c2＝a2＋c1，
即a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1，
∴a－c＋c－a＋2a1c2＝2a2c1，
即(a1－c1)(a1＋c1)－(a2－c2)(a2＋c2)＋2a1c2＝2a2c1，
整理得(a1－c1)(a1－a2＋c1－c2)＋2a1c2＝2a2c1.
∵a1>c1，a1>a2，c1>c2，
∴2a1c2<2a2c1，即c1a2>a1c2，∴④正确．
③∵c1a2>a1c2，a1>0，a2>0，
∴>，即>，∴③不正确．故选D.
考点四　其他数学问题中的数学文化
方法技巧　数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型；其他数学问题与数学文化的结合，关键是构造数学模型．
18．《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.
19．(2018·北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)
A.f B.f C.f D.f
答案　D
解析　由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f、公比为的等比数列，则第八个单音的频率为()7f＝f.
20．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%.今共有粮m(m＞0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为(　　)
A．20%,369 B．80%,369
C．40%,360 D．60%,365
答案　A
解析　设“衰分比”为a，甲衰分得b石，
由题意，得
解得b＝125，a＝20%，m＝369.
21．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343、12 521等，两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　三位数的回文数为ABA，
A共有1到9共9种可能，即1B1,2B2,3B3，…，
B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，
共有9×10＝90(个)；
其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2,4B4,6B6,8B8，
B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，
其有4×10＝40(个)，
∴三位数的回文数中，偶数的概率P＝＝.
22．(2017·浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.
答案　
解析　作出单位圆的内接正六边形，如图，

则OA＝OB＝AB＝1，
S6＝6S△OAB＝6××1×＝.
23．(2018·浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z＝81时，x＝____，y＝____.
答案　8　11
解析　方法一　由题意，得
即解得
方法二　100－81＝19(只)，
81÷3＝27(元)，
100－27＝73(元)．
假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元)．
因为95－73＝22(元)，
所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，
鸡翁：19－11＝8(只)．

1．若复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．2 B．4　C．6 D．8
答案　B
解析　∵复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i为纯虚数，
∴
解得m＝4.
2．若复数z＝a＋i(a∈R，且a<0)，且|z|＝2，则z(1＋2i)的实部为(　　)
A．－(＋1) B.(4－1)
C.(1－4) D.(＋1)
答案　A
解析　因为复数z＝a＋i(a∈R，且a<0)，
所以|z|＝＝2，解得a＝－，
可得z(1＋2i)＝(1＋2i)＝－(＋1)＋i，
所以z(1＋2i)的实部为－(＋1)，故选A.
3．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z1z2等于(　　)
A．12＋13i B．13＋12i
C．－13i D．13i
答案　D
解析　点(a，b)关于直线y＝x的对称点坐标为(b，a)，
且z1＝3＋2i在复平面内对应的点的坐标为(3,2)，
据此结合题意可知z2在复平面内对应的点的坐标为(2,3)，即z2＝2＋3i，
据此可得z1z2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.
解题秘籍　(1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确．
(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到．

1．下列各式的运算结果为2i的是(　　)
A．i＋i2＋i3＋i4 B．|3－i|i
C．i(2＋i)－1 D.＋3i
答案　D
解析　i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0；|3－i|i＝i；
i(2＋i)－1＝2i＋i2 －1＝2i－2；
＋3i＝＋3i＝－i＋3i＝2i.
2．在复平面内，复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　∵z＝＝＝＝－1－2i，
∴＝－1＋2i,
则在复平面内对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限，故选B.
3．设为复数z＝－i的共轭复数，则(z－)2 016等于(　　)
A．22 016 B．－22 016　C．22 016i D．－i
答案　A
解析　∵z＝－i，∴共轭复数＝＋i，则(z－)2 016＝2 016＝(－2i)2 016＝22 016.
4．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，
由题意得即
解得d＝，
∴每一等人比下一等人多得斤金．
5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少升大米？(　　)
A．1 170 B．1 380
C．3 090 D．3 300
答案　D
解析　设第n天派出的人数为an，则{an}是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n天修筑堤坝的人数为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝64n＋×7，所以前5天共分发的大米数为3(S1＋S2＋S3＋S4＋S5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)×64＋(1＋3＋6＋10)×7]＝3 300(升)．
6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(　　)
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
A．1寸 B．2寸
C．3寸 D．4寸
答案　C
解析　如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．
∵积水深9寸，

∴水面半径为(14＋6)＝10(寸)，
则盆中水的体积为π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)．
∴平地降雨量等于＝3(寸)．
故选C.
7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．128π平方尺 B．138π平方尺
C．140π平方尺 D．142π平方尺
答案　B
解析　设四棱锥的外接球半径为r尺，
则(2r)2＝72＋52＋82＝138，
∴这个四棱锥的外接球的表面积为4πr2＝138π(平方尺)．故选B.
8．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第________天相逢．
答案　4
解析　由题意可知，大鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为＝2n－1；
同理，小鼠前n天打洞的距离为＝2－，
∴2n－1＋2－＝10，解得n∈(3,4)，取n＝4.
即两鼠在第4天相逢．
9．已知z是纯虚数，若(m＋2i)·z＝2－3i，则实数m＝__________.
答案　3
解析　设z＝ai(a∈R且a≠0)，
由(m＋2i)·z＝2－3i，得(m＋2i)·ai＝－2a＋mai＝2－3i，
∴解得m＝3.
10．(2018·浙江省杭州市学军中学模拟)若复数z＝2(i为虚数单位)，则z的虚部为________，|z|＝________.
答案　4　5
解析　由题意得z＝2＝2＝(1＋2i)2＝－3＋4i.所以复数z的虚部为4，|z|＝＝5.
11．已知i为虚数单位，复数z(1＋i)＝2－3i，则z的虚部为________．
答案　－
解析　由z(1＋i)＝2－3i，
得z＝＝＝＝－－i，
则z的虚部为－.
12．如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4 095个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为________．

答案　
解析　依题意，正方形的边长构成以为首项，公比为的等比数列．
因为共有4 095个正方形，
则1＋2＋22＋…＋2n－1＝4 095，所以n＝12.
所以最小正方形的边长为×12－1＝12＝.