2019届二轮复习复数＆向量学案（全国通用）
展开2018二模汇编高考最后冲刺讲义——复数 向量
一、考纲解读
内容 | 要求 | ||||
记忆水平 | 解释性理解水平 | 探究性理解水平 | |||
一 、 复数初步 | 数的概念 的扩展 | 知道数集扩展的意义和基本原理 |
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复数的概念 |
| 理解复数及有关概念 |
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复平面 | 建立复平面，用复平面上的点表示复数 |
| 掌握复数的向量表示、复数的模、共轭复数等概念；具有数形结合的思想方法；会用复数关系式描述复平面上简单的几何图形 | ||
复数的 四则运算 |
| 理解复数加、减法的几何意义 | 掌握复数的四则运算及其运算性质。会用复数方程表示平面区域和线段的垂直平分线、圆等，并用来解决简单的问题 | ||
实系数 一元二次 方程的解 |
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| 会解决负数开平方的问题。会在复数集内解实系数一元二次方程，掌握实系数一元二次方程的解的特征 | ||
一 、 平面向量的坐标表示
| 平面向量 的数量积 |
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| 掌握向量的数量积运算 及其性质 | |
平面向量 分解定理 |
| 理解平面向量分解定理 |
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向量的 坐标表示 |
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| 掌握平面直角坐标系中的向量的坐标表示 | ||
向量运算的 坐标表示 |
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| 掌握平面向量运算的坐标表示 | ||
向量平行及 向量垂直的 坐标关系 |
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| 会利用坐标讨论两个向量平行或垂直的条件 | ||
向量的 度量计算 |
| 会求向量的长度以及两个向量的夹角。初步懂得运用向量方法进行简单的几何证明（如：三角形的中位线定理，等腰三角形的性质定理）和计算，并能用于解决一些简单的平面几何问题 |
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二、第三轮知识梳理
1、复数问题实数化时，设复数，不要忘记条件.两复数，，的条件是.这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作实数化处理.
［举例 若复数满足：，则＿＿＿＿＿.
分析：设，原式化为，得，求得.
2、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.
［举例 若方程的两根满足，求实数的值.
分析：在复数范围内不一定成立，但一定成立.对于二次方程，韦达定理在复数范围内是成立的.，，则或，所以或.
3、的几何意义是复平面上对应点之间的距离，的几何意义是复平面上以对应点为圆心，为半径的圆.
［举例 若表示的动点的轨迹是椭圆，则的取值范围是＿＿＿.
分析：首先要理解数学符号的意义：表示复数对应的动点到复数与对应的两定点之间的距离之和等于4.而根据椭圆的定义知，两定点之间的距离要小于定值4，所以有，而此式又表示对应的点在以对应点为圆心，4为半径的圆内，由模的几何意义知.
4、对于复数，有下列常见性质：（1）为实数的充要条件是；（2）为纯虚数的充要条件是且；（3）；（4）.
［举例 设复数满足：（1）（2），求复数.
分析：由则或.当时，则，由得或（舍去）；当时，可求得.综上知：.
5、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，表示△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、（或）.
［举例 已知非零向量满足：，则向量的关系是――――（ ）
A、平行； B、垂直； C、同向； D、反向.
分析：注意到向量运算的几何意义：与表示以和为一组邻边的平行四边形的两对角线的长.我们知道：对角线相等的平行四边形是矩形，从而有.选B.
另一方面，本例也可以利用向量的运算来进行求解.，化简得：，有.
6、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量同向的单位向量，反向的单位向量.
［举例 已知△ABC，点P满足则点P的轨迹是（ ）
A、BC边上的高所在直线； B、BC边上的中线所在直线；
C、平分线所在直线； D、BC边上中垂线所在直线.
分析：这是一道很“漂亮”的与向量相关的问题.，它涵盖了单位向量、向量加法的意义、数与向量乘积的概念等.注意到分别是上的单位向量，则是以上的单位向量为邻边的菱形的对角线上的向量，所以所在直线是平分线所在直线，则P点的轨迹是平分线所在直线.选C.
7、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积；其中可视为向量在向量上的射影.
［举例1 已知△ABC是等腰直角三角形，＝90°，AC＝BC＝2，则＝＿＿；
分析：特别注意的是，向量与的夹角不是△ABC的内角B， 与的夹角
是的外角.（如图）由，则，
则.
［举例2 P是△ABC边BC的中线AD上异于A、D的动点，
AD＝4，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由D是BC的中点知，与反向，它们所成角为.设，则.那么.所以其取值范围为.
8、向量运算中特别注意的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.
［举例 已知，且的夹角为，又，求.
分析：，则，由题知，所以.
注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解.请同学们自己完成.
9、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.已知
则.若，
则－，其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.
请注意：向量的坐标形式实质上是其分解形式的“简记”.其中分别表示与轴、轴正方向同向的单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量是非零向量则有：；.
［举例 设O是直角坐标原点，，在轴上求一点P，使最小，并求此时的大小.
分析：设，则则=
，所以当时，的最小值为此时，，所夹角等于，所以.所以.
10、利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是.特别注意不能等同于所成角是锐角.当同向时也满足.
［举例1 已知△ABC，则“”是“△ABC为钝角三角形”的――――（ ）
A、充分不必要条件； B、必要不充分条件；
C、充分必要条件； D、既不充分又不必要条件.
分析：对于△ABC，由可知是钝角，但△ABC为钝角三角形，不一定A是钝角.选A.
［举例2 是过抛物线焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO是――――――――――――――――――――――――――（ ）
A、锐角三角形； B、直角三角形； C、钝角三角形； D、不确定与P值有关.
分析：由直线过焦点，设其方程为，联立得：，
即：，设，则，又=
.则，则一定是钝角.选C.
11、关注向量运算与其它知识的联系，与三角函数综合是高考中的常见题型.
［举例 已知向量.设.
（1）若且，求的值；
（2）若函数的图像按向量平移后得到函数的图像，求实数的值.
分析：
（1）由题知：，由题：，又，所以.
（2）函数是由函数向左平移，再向上平移1个单位而得，所以.
三、2018二模汇编
四、近年高考真题
1、填空题
（2010年春季高考3）计算： .（为虚数单位）
答案：
（2010年高考理 2文 4）若复数（为虚数单位），则 .
答案：
（2010年高考文 13）.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 。
答案：
（2010年高考理 13）如图所示，直线与双曲线的渐近线交于、两点，记，，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是________．
答案：
（2011年高考文 12理 11）在正三角形中，是边上的点，若，则
=
答案：
（2011年春季高考14）为求解方程的虚根，可以把原方程变形为
，再变形为，
由此可得原方程的一个虚根为 .
答案：，中的一个．
（2012年春季高考4）若复数 满足（为虚数单位），则__________.
答案：
（2012年高考理 1文 1）计算： .（为虚数单位）
答案：
（2012年高考文 4）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）
答案：
（2012年高考理 4）若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
答案：
(2012年高考文 12)在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是
答案：
(2012年高考理 12)在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是
答案：
（2013年春季高考7）复数（是虚数单位）的模是 .
答案：
（2013年高考理 2文 3）设，是纯虚数，其中是虚数单位，
则 ．
答案：
（2013年高考文 14）已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是 ．
答案：
（2014年高考文理 2）若复数，其中是虚数单位，则 ．
答案：
（2014年高考文理14）已知曲线，直线．若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为 ．
答案：
（2015年高考文理2）若复数满足，其中为虚数单位，则 ．
【答案】
（2015年高考文13）已知平面向量满足，且，则的最大值
为___________.
分析：首先考查了集合元素的互异性，可能很多同学会填9；解决本题的最好方法就是数形结合，因为已知和之间的关系，在通过向量平行且同向时相加模最大，就能够很容易解决本题目。
答案：
（2015年高考理14）在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则 ．
【答案】
【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此
【考点定位】向量数量积，解三角形
（2016年高考理 2）设，期中为虚数单位，则=__________
【答案】
（2016年高考理 14）如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形
的中心，.任取不同的两点，点P满足，则点P
落在第一象限的概率是__________
【答案】
（2017年高考5）已知复数满足，则
【答案】
2、选择题
（2011年高考文 18）设是平面上给定的4个不同点，则使成立的点的个数为（ ）
（A） （B）1 （C）2 （D）4
答案：B
（2011年高考理 17）设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．5 D．10
答案：B
（2013年高考理 18）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（ ）.
(A) (B) (C) (D)
答案：作图知，只有，其余均有，故选D．
（2014年高考文 16理 11）．已知互异的复数满足，集合，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：
（2014年高考文 17）如图，四个边长为的小正方体排成一个大正方形，是
大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，
则的不同值的个数为（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：
（2014年高考理 16）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是
一条侧棱，是上底面上其余的八个点，
则的不同值的个数为（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：
（2015年高考文理 15）设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
3、解答题
（2009年高考文 19）
已知复数（a、b）(是虚数单位)是方程的根。复数满足，求 u 的取值范围.
解析：原方程的根为
（2010年高考文 23）
已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.
答案：(1) ；
(2) 由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以>0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程( 2 1)xp，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率 2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．
，直线OF的斜率，直线l的斜率，
解方程组，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．
（2011年高考理 19文 19）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求.
解析：
设，则，
∵ ，∴ .
（2012年高考理 23）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．
（1）若，且具有性质，求的值；
（2）若具有性质，求证：，且当时，；
（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式。
解：（1）选取，中与垂直的元素必有形式.所以,从而.
（2）证明：取.设满足.
由得，所以异号.
因为是中唯一的负数，所以中之一为，另一为，故.
假设，其中，则
选取，并设满足，即，
则异号，从而之中恰有一个为.
若，则，矛盾；
若，则，矛盾；
所以.
（3）设，则等价于.记，
则数集具有性质当且仅当数集关于原点对称.
注意到是中的唯一负数，共有个数，
所以也只有个数.由于，已有个数，
对以下三角数阵:
注意到，所以，从而数列的通项公式为
