2019届二轮复习复数学案（全国通用）
展开第十四讲 复数
一、知识要点
- 复数的三角形式
①定义：复数表示成的形式叫复数的三角形式。其中，，为辐角，若，则称为辐角主值。
② 非零复数辐角的多值性：
如右图，以轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫复数的辐角。
因此，复数的辐角是
③ 辐角主值：
表示法：用表示复数的辐角主值。
定 义：当时，叫辐角主值，即 。
唯一性：复数的辐角主值是确定的，唯一的。
④不等于零的复数的模是唯一的。
⑤时，其辐角是任意的。
- 复数三角形式的运算
复数三角形式的运算其实是辅角的三角运算。具体规则如下：
①
证明：
②
证明：
③又若复数，则它的次方根是以下个复数：
- 复数的几何意义
（1）复数的向量表示
在复平面内与复数、对应的点分别
为、（如图） 向量，
向量，
向量
（2）常见几何图形的复数表达式：设复数已知，，则
①线段的中垂线方程；
②以为圆心，半径为的圆的方程；
③以为焦点，长轴长为的椭圆方程；
④以为焦点，实轴长为的双曲线方程；
- 欧拉公式:
小结： 复数的三种表示方法:
代数表示: ，
三角表示: ,
指数表示： ， ( = ， )
二、典型例题
例1.（五校2010选拔样题）已知是实数，，且当时，.则 （ ）
- B.
C. D.
解析：设 （，则
所以，
又，所以，即。选C.
例2.（交大2006保送推优）已知，是实数，是复数，求的最大值.
解析：利用性质
立即得.
例3.（同济2004自招）已知复平面上段A与点B非别对应复数2与，线段AB上的动点P对应复数，若复数对应点Q，点Q坐标为，则点Q的轨迹方程为 .
解析：设，则.
由P在线段AB上可得.
又,
消参可得, (.
例4(复旦2009自招),则在复平面内的轨迹为 .
解析:设,
则
所以复数对应的点满足:
消去参数可得
所以点P的轨迹是椭圆,其焦距.选A.
例5(清华2006)求最小正整数,使得为纯虚数,并求出.
解析:是纯虚数,
因此,所求的最小值为3,此时.
例6、(清华2009自招)求的模.
解析:利用欧拉公式.
三、练习巩固
A组:
1.（11卓越）为虚数单位，设复数满足，则的最大值为（ C ）
（A） （B） （C） （D）
2.（11复旦）设有复数，令，则复数（ A ）
（A） （B） （C） （D）
3.（08复旦）在复平面上，满足方程的复数所对应的点构成的图形是（ A ）
（A）圆 （B）两个点 （C）线段 （D）直线
4.（07复旦）已知，若，则的值是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
5.（07复旦）复数在复平面上对应的点不可能位于（ A ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
6.（07复旦）设为复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程为，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（ B ）
（A）一条直线 （B）以为圆心，为半径的圆
（C）焦距为的双曲线 （D）以上均不对
7.（06复旦）设、为一对共轭复数，如果，且为实数，那么（ A ）
（A） （B）2 （C）3 （D）
8.（09复旦）复平面上点关于直线的对称点的复数表示是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
9.（10复旦）已知复数，则复数的辐角是（ A ）
（A） （B） （C） （D）
10.（10复旦）设复数，满足，则（ C ）
（A） （B） （C） （D）
11.（10复旦）复平面上圆周的圆心是（ C ）
（A） （B） （C） （D）
B组
1.（06复旦）在实数范围内分解因式： 。
2.（08交大）复数，若存在负数使得，那么 。
3.（06交大）是的非实数根， 。
4.（05复旦）复数满足，则 2 。
5.（05交大）若，且，则 19或25 。
6.（04复旦）的非零解是 。
7.（03复旦）已知，则 。
8.（09南大）为模大于1的复数，，则 。
9.（11华约）已知，，求。
10.（03复旦）已知，求的最小值。
11.（10五校），的实部为2，求虚部。
