2019届二轮复习 平面向量框图与合情推理 教案 （全国通用）

第2讲　平面向量、框图与合情推理

1.(2018·全国Ⅱ卷,理4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(　B　)

(A)4 (B)3 (C)2 (D)0

解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.

因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.

故选B.

2.(2018·全国Ⅰ卷,理6)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则等于(　A　)

(A)- (B)-

(C)+ (D)+

解析:=+=+

=×(+)+(-)

=-.

故选A.

3.(2018·全国Ⅱ卷,理7)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入(　B　)

(A)i=i+1 (B)i=i+2

(C)i=i+3 (D)i=i+4

解析:把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.

续表

因为N=N+,由上表知i是1→3→5,…,

所以i=i+2.故选B.

4.(2017·全国Ⅱ卷,理8)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S等于(　B　)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

解析:程序执行如下

a=-1,S=0,K=1⇒S=0+(-1)×1=-1,a=1,K=2.

⇒S=-1+1×2=1,a=-1,K=3,

⇒S=1+(-1)×3=-2,a=1,K=4,

⇒S=-2+1×4=2,a=-1,K=5,

⇒S=2+(-1)×5=-3,a=1,K=6,

⇒S=-3+1×6=3,a=-1,K=7>6,

⇒输出S=3.

故选B.

5.(2017·全国Ⅱ卷,理7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则(　D　)

(A)乙可以知道四人的成绩

(B)丁可以知道四人的成绩

(C)乙、丁可以知道对方的成绩

(D)乙、丁可以知道自己的成绩

解析:乙、丙一定是一优一良,可推出甲、丁一优一良,乙知道丙的成绩,就可推理出自己成绩,丁看到甲的成绩同样可推理出自己成绩,故D正确,而他们仍无法知道其余两人成绩.

1.考查角度

(1)平面向量:考查平面向量的线性运算、数量积运算及其简单应用(求模、夹角,根据平行、垂直关系求参数值等).

(2)框图:考查程序框图的算法功能、完善框图的条件等.

(3)合情推理:考查逻辑推理与合情推理的综合运用.

2.题型与难易度

选择题、填空题,难度中等或中等偏上.

(对应学生用书第4~5页)

平面向量

考向1　平面向量线性运算

【例1】 (1)(2018·山西一模)在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设=a,=b,则向量等于(　　)

(A)a+b (B)-a-b

(C)-a+b (D)a-b

(2)

(2018·河北武邑中学调研二)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于(　　)

(A)1 (B) (C) (D)

解析:(1)

如图所示,

因为点E为CD的中点,

CD∥AB,

所以==2,

所以=,=+=b-a,

所以=b-a=-a+b,故选C.

(2)因为E为线段AO的中点,

所以=+

=+

=+

=λ+μ,

所以λ+μ=+=.故选B.

平面向量的线性运算是指加减和数乘运算,注意如下几点:(1)=-(O为任意一点,下同);(2)若D为AB中点,=(+);(3)如果=t+(1-t),则A,B,C三点共线,反之亦然.

考向2　平面向量的数量积运算

【例2】 (1)(2018·天津二模)已知向量与的夹角为120°,||=5,||=2,若=λ+,且·=-6,则实数λ的值为(　　)

(A)- (B) (C)- (D)

(2)(2018·临沂二模)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-3a-4b|=1,则|c|的取值范围是(　　)

(A)[-1,+1] (B)[1,+1]

(C)[5,6] (D)[4,6]

解析:(1)<,>=120°,||=5,||=2,

=λ+;

所以·=(λ+)·(-)

=-λ+(λ-1)||||cos 120°+

=-25λ-5(λ-1)+4

=-6,

解得λ=.故选B.

(2)令=3a,=4b,=3a+4b,=c.

如图所示:

则||=5,又|c-3a-4b|=1,

所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上,

易知点C与O,D共线时||达到最值,

最大值为5+1,最小值为5-1,

所以|c|的取值范围为[4,6].

故选D.

(1)平面向量的数量积运算既可以使用定义,即a·b=|a||b|cos<a,b>,也可以使用坐标运算,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),a·b=x1x2+y1y2;(2)向量的夹角和模的求解是根据数量积的定义和坐标运算得出的,特别注意|a|=.

热点训练1:(1)(2018·齐鲁名校教研协作体冲刺卷)已知☉O1,☉O2,☉O3的半径依次为1,2,3,☉O1,☉O2外切于点M,☉O2,☉O3外切于点N,☉O3,☉O1外切于点P,则·(+)等于(　　)

(A) (B) (C) (D)

(2)(2018·河南郑州二次质检)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=1,若a·b=,则(a+b)·(2b-c)的最小值为(　　)

(A)-2 (B)3- (C)-1 (D)0

解析:(1)

如图所示,O1O2=3,O2O3=5,O3O1=4,

所以O2O1⊥O3O1,=+=+=+(-)=+,

所以·(+)=+·(+)=++=×3+×4=.故选B.

(2)由a·b=,可得<a,b>=,

不妨设a=(1,0),b=,,c=(cos θ,sin θ),

原式=2a·b-a·c+2b2-b·c

=3-cos θ+cos θ+sin θ

=3-sinθ+,

所以最小值为3-,故选B.

框图

【例3】 (1)(2018·安徽安庆二模)阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,则输出的x值为(　　)

(A)0 (B)1 (C)16 (D)32

(2)(2018·福建厦门第二次质检)执行如图的程序框图,若输出S的值为55,则判断框内应填入(　　)

(A)n≥9? (B)n≥10? (C)n≥11? (D)n≥12?

解析:(1)x=0,t=1,k=10;x=2,t=2,k=8;x=16,t=3,k=6;x=1,t=4,k=4.此时满足条件结束循环.故选B.

(2)程序运行中变量值依次为S=-1,n=2;S=3,n=3;S=-6,n=4;S=10,n=5;S=-15,n=6;S=21,n=7;S=-28,n=8;S=36,n=9;S=-45,n=10;S=55,n=11,此时应结束循环,条件应为n≥11.故选C.

(2)根据输出结果填写判断条件时,注意分析算法的功能,填写的判断条件必须在第一次满足时即输出已知的结果.

热点训练2:(2018·开封一模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完,现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是(　D　)

(A)i<7?,s=s-,i=2i (B)i≤7?,s=s-,i=2i

(C)i<7?,s=,i=i+1 (D)i≤7?,s=,i=i+1

解析:由题意可得:第一次剩下,第二次剩下,…由此得出第7次剩下,可得①为i≤7?,②s=,③i=i+1.故选D.

合情推理

【例4】 (1)(2018·福建南平5月质检)我国古代著名的数学著作有《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《孙丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》等10部算书,被称为“算经十书”.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣.一天,他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话,甲:“乙比丁少”;乙:“甲比丙多”;丙:“我比丁多”;丁:“丙比乙多”,有趣的是,他们说的这些话中,只有一个人说的是真实的,而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同).甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是(　　)

(A)乙甲丙丁 (B)甲丁乙丙

(C)丙甲丁乙 (D)甲丙乙丁

(2)在中“…”即代表无限次重复,但原数中有个定数x,这可以通过=x确定出来x=2,类似地可得到1+++…++…=　　　　. 

解析:(1)由题意可列表格如下:

对于选项A,甲,丁说的都对,不符合只有一个人对,对于选项B,丙,丁说的都对,也不符合只有一个人对,对于选项C,乙说的对,但乙不是最少的,不符,对于选项D,甲说的对,也正好是最少的,符合,故选D.

点睛:对于逻辑推理题,由于关系较复杂,所以常用表格形式列出相互关系,再逐个进行推理验证.

(2)利用类比思想,令1+=x,解得x=.

答案:(1)D　(2)

(1)逻辑推理题通常使用类似反证法的方法进行分析判断,即在假定某种可能性成立时,查看已知关系,如果符合,则该假定成立,如果不符合,则该假定不成立;(2)类比推理的关键是发现类比对象之间的共性.

热点训练3:(1)(2018·福建百校考前冲刺)中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测,算筹最晚出现在春秋晚期战国初年,算筹记数的方法是:个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出;十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为.

1~9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示,则的运算结果可用算筹表示为(　　)

(2)(2018·吉林省吉林市三调)《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:2=,3=,4=,5=,…,则按照以上规律,若8=具有“穿墙术”,则n=　　　　. 

解析:(1)因为=36=729,从题中所给表示数码知729可用算筹表示,故选D.

(2)因为2=2=,3=3=,4=4=,5=5=,

所以按照以上规律8=8=,可得n=82-1=63.

答案:(1)D　(2)63

【例1】 (1)(2018·四川绵阳三诊)△ABC中,AB=5,AC=10,·=25,点P是△ABC内(包括边界)的一动点,且=-λ(λ∈R),则||的最大值是(　　)

(A) (B) (C) (D)

(2)(2018·江西高三质量检测)已知向量,满足||=||=1,·=0,=λ+μ(λ,μ∈R),若M为AB的中点,并且||=1,则点(λ,μ)的轨迹方程是(　　)

(A)λ+2+μ-2=1

(B)λ-2+(μ+1)2=1

(C)(λ-1)2+(μ-1)2=1

(D)λ-2+μ-2=1

(3)(2018·河南郑州三检)已知P为椭圆+=1上一个动点,过点P作圆(x+1)2+y2=1的两条切线,切点分别是A,B,则·的取值范围为(　　)

(A),+∞ (B),

(C)2-3, (D)[2-3,+∞)

解析:(1)因为P为三角形ABC内(含边界)的动点,所以从而-1≤λ≤0.

又=-λ2=16λ2-12λ+9,

因为-1≤λ≤0,所以的最大值为37,

故||max=,故选B.

(2)由于M是AB的中点,

所以△ABC中,=(+),

所以||=|-|

=λ-+μ-

=1,

所以λ-+μ-2=1,

所以λ-2+μ-2=1.

故选D.

(3)

如图,由题意设∠APB=2θ,

则|PA|=|PB|=,

所以·=||||cos 2θ=·cos 2θ

=·cos 2θ,

设cos 2θ=t,则·==(1-t)+-3≥2-3=2-3,

当且仅当1-t=,

即t=1-时等号成立,此时cos 2θ=1-.

又当点P在椭圆的右顶点时,sin θ=,

所以cos 2θ=1-2sin2θ=,

此时·最大,且最大值×=.

所以·的取值范围是2-3,.

故选C.

【例2】 (1)(2018·山东潍坊三模)执行如图所示的程序框图,输出S的值为(　　)

(A)45 (B)55 (C)66 (D)78

(2)(2018·郴州二模)秦九韶是我国南宋时期著名的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x的值为3,每次输入a的值均为4,输出s的值为484,则输入n的值为(　　)

(A)6 (B)5 (C)4 (D)3

解析:(1)根据程序框图的运算功能可知,

该程序框图是计算2n≤2 018的正整数n的和,

因为210=1 024<2 018,211=2 048>2 018,

所以执行程序框图,输出的结果为S=1+2+3+…+10==55.故选B.

(2)模拟程序的运行,可得

x=3,k=0,s=0,a=4,s=4,k=1,

不满足条件k>n,执行循环体,a=4,s=16,k=2,

不满足条件k>n,执行循环体,a=4,s=52,k=3,

不满足条件k>n,执行循环体,a=4,s=160,k=4,

不满足条件k>n,执行循环体,a=4,s=484,k=5,

由题意,此时应该满足条件k>n,退出循环,输出s的值为484,

可得5>n≥4,所以输入n的值为4.故选C.

【例3】 (1)(2018·河南中原名校第六次质量考评)已知函数f(x)=++,由f(x-1)=++是奇函数,可得函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,类比这一结论,可得函数g(x)=++…+的图象关于点　　　　对称; 

(2)

(2018·山东济南一模)如图所示,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签:

原点处标数字0,记为a0;

点(1,0)处标数字1,记为a1;

点(1,-1)处标数字0,记为a2;

点(0,-1)处标数字-1,记为a3;

点(-1,-1)处标数字-2,记为a4;

点(-1,0)处标数字-1,记为a5;

点(-1,1)处标数字0,记为a6;

点(0,1)处标数字1,记为a7;

…

依此类推,格点坐标为(i,j)的点处所标的数字为i+j(i,j均为整数),记Sn=a1+a2+…+an,则S2 018=　　　　. 

解析:(1)由题意得g(x)-6=-1+-1+-1+-1+-1+-1

=+++++,

gx--6=+++++,

设gx--6=+++++=h(x),

所以h(-x)=+++++=-h(x),

所以h(x)是奇函数,所以函数g(x)=++…+的图象关于点-,6对称.

(2)设an坐标为(x,y),由归纳推理可知,an=x+y,第一圈从(1,0)点到(1,1)点共8个点,由对称性可得a1+

a2+…+a8=0;第二圈从点(2,1)到(2,2)共16个点,由对称性可得a9+…+a24=0,…,第n圈共有8n个点,这8n项的和也为零,设a2 018在第n圈,由Sn=8+16+…+8n=4(n+1)n,可得前22圈共有2 024个数,S2 024=0,S2 018=S2 024-(a2 024+a2 023+…+a2 019),a2 024所在点坐标为(22,22),a2 024=22+22,a2 023所在点坐标为(21,22),a2 023=21+22,a2 022=20+22,a2 021=19+22,a2 020=18+22,a2 019=17+22,可得a2 024+…+a2 019=249,所以S2 018=0-249=-249.

答案:(1)-,6　(2)-249