2019届二轮复习抛物线几何性质的应用很关键学案（全国通用）
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考纲要求:
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．
2．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．
3．掌握抛物线的简单几何性质,理解数形结合的思想．
基础知识回顾:
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
答案：相等 焦点 准线
＋x0 －x0 ＋y0 －y0
2．与焦点弦有关的常用结论(以图1为依据)
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
应用举例:
类型一、求抛物线的标准方程
【例1】【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第八次模拟考试】已知抛物线的焦点在轴负半轴，若，则其标准方程为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件，确定出抛物线的焦点所在轴以及开口方向，从而根据p的大小求得其标准方程.
【点睛】
该题考查的是有关抛物线的标准方程的问题，注意根据题中的条件，首先确定出抛物线的焦点所在轴和开口方向，结合p的值求得抛物线的标准方程.
【例2】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】如图，设抛物线的焦点为，过轴上一定点作斜率为的直线与抛物线相交于两点，与轴交于点，记面积为，面积为，若，则抛物线的标准方程为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据斜率与定点，求得直线方程，联立抛物线方程，并解得直线与抛物线的两个交点横坐标；根据三角形面积比值，转化为两个交点的横坐标比值，进而求得参数p的值。
联立方程 ，化简得
根据一元二次方程的求根公式，得
所以
因为，所以
化简得 ，即
因为 ，所以 即，
所以选C
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，并根据方程思想求得参数值，计算量较为复杂，属于难题。
【例3】【湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试】已知点，过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【解析】分析：由过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，可判定一定在抛物线上，讨论抛物线焦点位置，设出方程，将点代入即可得结果.学 ]
若抛物线焦点在轴上，设抛物线方程为，
代入方程可得得，
将物线的标准方程为，故选D.
点睛：本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线、点与抛物线的位置关系，属于中档题.求抛物线的标准方程，首项要判断抛物线的焦点位置以及开口方向，其次根据题意列方程求出参数，从而可得结果.
2、求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
类型二、抛物线的焦点弦问题
1、焦点弦的弦长问题
【例4】【四川省成都市双流中学2017-2018学年数学考前模拟】过抛物线y2=mx（m＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，，则m=（ ）
A． 6 B． 4 C． 10 D． 8
【答案】D
【解析】
分析：利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1 x2 +p，把线段PQ中点的横坐标为3，代入，可得m值
点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键．
2、焦点弦中距离之和最小
【例5】【河北衡水金卷2018届高三高考模拟一】已知抛物线： 的焦点为，过点分别作两条直线， ，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）
A． 16 B． 20 C． 24 D． 32
【答案】C
【解析】易知直线， 的斜率存在，且不为零，设 ，直线的方程为，联立方程，得， ，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，又
（当且仅当
时取等号），的最小值为，故选C.
3、焦点三角形问题
【例6】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点， 坐标原点，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
类型三、与抛物线有关的最值问题
1、动弦中点到坐标轴距离最短问题
【例7】已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )
A. B. C．1 D．2
解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.
2、到焦点与定点距离之和最小问题
【例8】【2017届黑龙江省佳木斯市第一中学高三下第三次模拟】为抛物线上任意一点， 在轴上的射影为，点，则与长度之和的最小值为 ．
【答案】
3、到点与准线的距离之和最小问题
【例9】已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与
点P到抛物线准线的距离之和的最小值是 ．
解析：由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的
定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.
4、到直线与准线的距离之和最小问题
【例10】已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值是 .
【答案】2
【解析】试题分析：设抛物线上的一点的坐标为，则到直线的距离；
5、到定直线的距离最小问题
【例11】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是 ．
故切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0
距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.学
法二：对y＝－x2，有y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与 学, , ,X,X,K]
抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率
k＝y′|x＝m＝－2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是.
点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
方法、规律归纳:
1、与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
2．与焦点弦有关的常用结论(以图1为依据)
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
实战演练:
1．【山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测】已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点分别为，的中点，与轴相交于点，若，则等于（ ）
A． B． 1 C． 2 D． 4
【答案】B
2．【河北省石家庄市2017届高三冲刺模考】正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，则满足条件的三角形的个数为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【答案】C
【解析】 学 ]
由题可知其焦点为作倾斜角为与倾斜角为的直线，分别与抛物线相交天两点．如图，则均为正三角形．故本题答案选．
3．【山西省太原市2017届高三第三次模拟】已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由导函数与原函数的关系可得函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，函数的最小值为 ，
由几何关系可得： 的最小值为 .
本题选择A选项.
4．【2017届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是上底面A1B1C1D1内一动点，PM垂直AD于M,PM=PB，则点P的轨迹为（ ）
A． 线段 B． 椭圆一部分
C． 抛物线一部分 D． 双曲线一部分
【答案】C
【解析】过做，连接，由于,所以，即到点的距离等于到直线的距离，故轨迹为抛物线的一部分.
5．【2017届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考】已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则
A． B． 1
C． 2 D． 3
【答案】B
由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即
，
代入整理得： ②，
由①②，解得：x0=2，p=2，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.
6．【2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模】已知抛物线的焦点为,准线为， 是上一点， 是直线与的一个交点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，焦点为，准线为，焦点到准线的距离为.设，则，
，根据抛物线的定义， 到焦点的距离等于到准线的距离，有，故.
7．【天津市十二重点中学2017届高三第二次联考】已知双曲线的离心率为，圆心在轴的正半轴上的圆与双曲线的渐近线相切，且圆的半径为2，则以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率双曲线的渐近线及抛物线的标准方程与性质，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
8．【2017届江西省南昌市高三第一次模拟考试】抛物线的焦点为，设， 是抛物线上的两个动点， ，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线定义得所以由得,因此
所以，选D.
点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为
，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
9．【山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试】若角终边上的点在抛物线的准线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的准线为，即，所以，选A.
【点睛】
抛物线需化标准式，如本题先化为准线为一次项系数除以-4,所以准线为.
10．【山西省太原市2018届高三3月模拟考试（一）】已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线定义得 ,在三角形AFB中
，所以
，选D.
11．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（八）】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（ ）
A． B． 1
C． 2 D． 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p的值即可.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（七）】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，若，则点的横坐标为（ ）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合抛物线的性质首先求得直线AB的方程，然后利用直线方程求解点D的横坐标即可.
【详解】
设AB的中点为H，抛物线y2=4x的焦点为F(1,0），准线为，
设A、B、H在准线上的射影分别为A'，B'，H'，
则，由抛物线的定义可得：
,，即，
则，
即点H的横坐标为2，设直线AB：y=kx+3，
代入抛物线方程整理得k2x2+（6k-4）x+9=0.
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．【江西省景德镇市第一中学等盟校2018届高三第二次联考】已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，且抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． 4 B． 5 C． D． 6
【答案】D
【解析】分析：设抛物线与的准线为，如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，分别过点作，垂足为，过点作交于点，则，，，在中，由，
可得，由于，可得即可得到，当直线的倾斜角为钝角时，同理可得.
详解：
轴，，，
直线方程， 由可得
点的坐标：, ，
代入抛物线的方程化简可得： ，
该抛物线的焦点到准线的距离为，故选D.
点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于难题.抛物线中与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
14．【安徽省芜湖市2017届高三5月教学质量检测】抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与抛物线在轴右侧的部分相交于点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
15．【山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟】已知是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于， 两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线AB方程为： 设，联立直线与抛物线方程可得：
， ， =
点睛：考察直线与抛物线的性质综合，要注意过焦点直线的弦的特征
