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2019届二轮复习（理）专题二第一讲函数图象与性质学案（全国通用）
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专题二 函数与导数
第一讲 函数图象与性质
考点一 函数及其表示
1．函数的三要素
定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．
2．分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
[对点训练]
1．(2018·广东深圳一模)函数y＝的定义域为( )
A．(－2,1) B．[－2,1]
C．(0,1) D．(0,1]
[解析] 由题意得解得0
2．(2018·山西名校联考)设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为( )
A．(－9，＋∞) B．(－9,1)
C．[－9，＋∞) D．[－9,1)
[解析] f[f(x)]＝f[lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]，
则⇒－9
3．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析] 若a<0，则f(a)<1⇔a－7<1⇔a<8，解得a>－3，故－3
4．(2018·赣中南五校联考)函数f(x)＝x＋的值域为________．
[解析] 由题意得2x－1≥0，解得x≥，
又∵f(x)＝x＋在上为增函数，
∴当x＝时，f(x)取最小值，f(x)min＝f＝，且f(x)无最大值．
∴f(x)的值域为.
[答案]
[快速审题] (1)看到求定义域，想到解析式中自变量的限制条件．
(2)看到分段函数，想到在不同的定义区间上的对应关系不同．
(1)函数定义域问题的3种类型
①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式(组)求解即可．
②抽象函数：根据f[g(x)]中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解．
③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．
(2)函数值域问题的4种常用方法
公式法、分离常数法、图象法、换元法．
考点二 函数的图象及其应用
1．作图
常用描点法和图象变换法，图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．
2．识图
从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
3．用图
在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错．
角度1：以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式
【例1】 (2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
[解析] 因为f(x)的定义域关于原点对称且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A选项；由f(2)＝>1，排除C、D选项．故选B．
[答案] B
角度2：利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等
【例2】 设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[解析]
设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)
可知g(x)在上单调递减，
在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故
即所以≤a<1.
[答案] D
函数图象识别与应用的解题要领
(1)已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断．
(2)①运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．②图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．
[对点训练]
1．[角度1](2018·贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
[解析] 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B、C．若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A．
[答案] A
2．[角度2](2018·福建漳州八校联考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．
[解析]
令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，则函数g(x)＝f(x)－m有三个零点等价于函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：
当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝2－≥－，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－
考点三 函数的性质及其应用
1．函数的单调性
单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．
2．函数的奇偶性
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
(3)对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
3．函数的周期性
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2A．(a>0)
4．函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
角度1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值
【例1】 (2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
[解析] 易知函数f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又∵y＝3x在R上是增函数，y＝－x在R上是增函数，
∴f(x)＝3x－x在R上是增函数．故选A．
[答案] A
[快速审题] 看到奇偶性的判断，想到用－x代x；看到单调性的判断，想到函数的构成．
角度2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合
[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f(－)＝f()，
[答案] B
函数3个性质的应用要领
(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．
(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．
(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
[对点训练]
1．[角度1](2018·湖北荆州一模)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )
A．y＝ex B．y＝tanx
C．y＝x3－x D．y＝ln
[解析] 函数y＝ex不是奇函数，不满足题意；函数y＝tanx是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数y＝x3－x是奇函数，当x∈时，y′＝3x2－1<0，为减函数，不满足题意；函数y＝ln是奇函数，在定义域(－2,2)内，函数t＝＝－1－为增函数，函数y＝lnt也为增函数，故函数y＝ln在定义域内为增函数，满足题意，故选D．
[答案] D
2．[角度2]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，
得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
[解析] ∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，
∴f(0)＝0，
f(－x)＝－f(x)，①
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(－x)＝f(2＋x)，②
由①②得f(2＋x)＝－f(x)，③
用2＋x代替x得f(4＋x)＝－f(2＋x)．④
由③④得f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的最小正周期为4.
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝0＋2＋0＝2.故选C．
[答案] C
2．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
[解析] ∵f(x)＝－x4＋x2＋2，∴f′(x)＝－4x3＋2x，令f′(x)>0，解得x<－或0，此时，f(x)递减．由此可得f(x)的大致图象．故选D．
[答案] D
3．(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
4．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
[解析] 当x>时，f(x)＋f＝2x＋2x－>2x>>1；
当02x>1；当x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋＋1＝2x＋，∴f(x)＋f>1⇒2x＋>1⇒x>－，即－
[答案]
5．(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f[f(15)]的值为________．
[解析] ∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，
∴f(15)＝f(－1)＝，f＝cos＝，
∴f[f(15)]＝f＝.
[答案]
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2．此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．
热点课题4 动点变化中函数图象辨析
[感悟体验]
1．(2018·长沙模拟)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )
[解析] 由题意知，f(x)＝|cosx|·sinx，当x∈时，f(x)＝cosx·sinx＝sin2x；当x∈时，f(x)＝－cosx·sinx＝－sin2x，故选B．
[答案] B
2．(2018·南昌二模)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF上的动点(不与E，F重合)，FM＝x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V(x)，则函数V(x)的大致图象是( )
[解析] 当x∈时，V(x)增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x∈时，V(x)增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C．
[答案] C
专题跟踪训练(十)
一、选择题
1．(2018·河南濮阳检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为( )
A． B．
C．(－1,0)∪ D．(－∞，－1)∪
[解析] 要使函数有意义，需满足解得x<且x≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪.
[答案] D
2．(2018·山东潍坊质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝|log3x| B．y＝x3
C．y＝e|x| D．y＝cos|x|
[解析] A中函数是非奇非偶函数，B中函数是奇函数，D中函数在(0,1)上单调递减，均不符合要求，只有C正确．
[答案] C
3．(2018·湖北襄阳三模)已知函数f(x)＝则f(2)＝( )
A． B．－
C．－3 D．3
[解析] 由题意，知f(2)＝f(1)＋1＝f(0)＋2＝cos0＋2＝3，故选D．
[答案] D
4．(2018·太原阶段测评)函数y＝x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是( )
[解析] 因为y＝x＋1的图象过点(0,2)，且在R上单调递减，所以该函数关于直线y＝x对称的图象恒过点(2,0)，且在定义域内单调递减，故选A．
[答案] A
5．(2018·石家庄高三检测)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象的对称轴方程是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
[解析] ∵f(2x＋1)是偶函数，∴f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，故选A．
[答案] A
6．(2018·山东济宁二模)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln，b＝(lnπ)2，c＝ln，则( )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
[解析] 由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又
∵|a|＝lnπ>1，b＝(lnπ)2>|a|,0f(|a|)>f(b)．又由题意知f(a)＝f(|a|)，∴f(c)>f(a)>f(b)．故选C．
[答案] C
7．(2018·山西四校二次联考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 当a＝0时，f(x)＝|x|在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，由f(x)＝|(ax－1)x|＝0得x＝0或x＝<0，结合图象知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以充分性成立，反之必要性也成立．综上所述，“a≤0”是“f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件，故选C．
[答案] C
8．(2018·安徽淮北一模)函数f(x)＝＋ln|x|的图象大致为( )
[解析] 当x<0时，函数f(x)＝＋ln(－x)，易知函数f(x)＝＋ln(－x)在(－∞，0)上递减，排除C，D；当x>0时，函数f(x)＝＋lnx，f(2)＝＋ln2≠2，故排除A，选B．
[答案] B
9．(2018·山东济宁一模)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.则f(2017)＋f(2018)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
[解析] ∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，由f(x)的图象关于x＝1对称，得f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)的周期T＝4.∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.∴f(2017)＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(0)＝2－1＋1－1＝1.故选D．
[答案] D
10．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )
[解析]
如图，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α.
在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos＝＝1－t，
∴y＝cosx＝2cos2－1＝2(1－t)2－1.又0≤t≤1，故选B．
[答案] B
11．(2018·安徽池州模拟)已知函数的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x10；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数；
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a
∵f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝f(x)，
即函数f(x)是周期为8的周期函数．
∴b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(2017)＝f(1)＝f(7)．
∵对任意的x1，x2∈[4,8]，当x10，∴函数f(x)在[4,8]上单调递增，∴b
12．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
[解析] 因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以i＝0，i＝2×＝m，所以(xi＋yi)＝m.
[答案] B
二、填空题
13．(2018·石家庄质检)函数的定义域为________．
[解析] 由题意得解得
14．(2018·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝________.
[解析] 解法一：函数的定义域为{x|x≠0}，f(x)＝＝x＋＋a＋2.
因函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即－x－＋a＋2＝－＝－x－－(a＋2)，
则a＋2＝－(a＋2)，即a＋2＝0，则a＝－2.
解法二：由题意知f(1)＝－f(－1)，即3(a＋1)＝a－1，得a＝－2，
将a＝－2代入f(x)的解析式，得f(x)＝，经检验，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都满足f(－x)＝－f(x)，故a＝－2.
[答案] －2
15．(2018·河北石家庄一模)已知奇函数f(x)在x>0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为________．
[解析] ∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，则－11时，f(x)>0；x<－1或00即－11，解得02.
[答案] (0,1)∪(2，＋∞)
16．(2018·河南许昌二模)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于________．
[解析] f(x)＝＝2＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)，
∴g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0.
∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，
m＝f(x)min＝2＋g(x)min，
∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
[答案] 4
第一讲 函数图象与性质
考点一 函数及其表示
1．函数的三要素
定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．
2．分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
[对点训练]
1．(2018·广东深圳一模)函数y＝的定义域为( )
A．(－2,1) B．[－2,1]
C．(0,1) D．(0,1]
[解析] 由题意得解得0
2．(2018·山西名校联考)设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为( )
A．(－9，＋∞) B．(－9,1)
C．[－9，＋∞) D．[－9,1)
[解析] f[f(x)]＝f[lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]，
则⇒－9
3．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析] 若a<0，则f(a)<1⇔a－7<1⇔a<8，解得a>－3，故－3
4．(2018·赣中南五校联考)函数f(x)＝x＋的值域为________．
[解析] 由题意得2x－1≥0，解得x≥，
又∵f(x)＝x＋在上为增函数，
∴当x＝时，f(x)取最小值，f(x)min＝f＝，且f(x)无最大值．
∴f(x)的值域为.
[答案]
[快速审题] (1)看到求定义域，想到解析式中自变量的限制条件．
(2)看到分段函数，想到在不同的定义区间上的对应关系不同．
(1)函数定义域问题的3种类型
①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式(组)求解即可．
②抽象函数：根据f[g(x)]中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解．
③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．
(2)函数值域问题的4种常用方法
公式法、分离常数法、图象法、换元法．
考点二 函数的图象及其应用
1．作图
常用描点法和图象变换法，图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．
2．识图
从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
3．用图
在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错．
角度1：以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式
【例1】 (2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
[解析] 因为f(x)的定义域关于原点对称且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A选项；由f(2)＝>1，排除C、D选项．故选B．
[答案] B
角度2：利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等
【例2】 设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[解析]
设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)
可知g(x)在上单调递减，
在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故
即所以≤a<1.
[答案] D
函数图象识别与应用的解题要领
(1)已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断．
(2)①运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．②图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．
[对点训练]
1．[角度1](2018·贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
[解析] 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B、C．若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A．
[答案] A
2．[角度2](2018·福建漳州八校联考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．
[解析]
令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，则函数g(x)＝f(x)－m有三个零点等价于函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：
当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝2－≥－，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－
考点三 函数的性质及其应用
1．函数的单调性
单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．
2．函数的奇偶性
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
(3)对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
3．函数的周期性
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2A．(a>0)
4．函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
角度1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值
【例1】 (2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
[解析] 易知函数f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又∵y＝3x在R上是增函数，y＝－x在R上是增函数，
∴f(x)＝3x－x在R上是增函数．故选A．
[答案] A
[快速审题] 看到奇偶性的判断，想到用－x代x；看到单调性的判断，想到函数的构成．
角度2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合
[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f(－)＝f()，
[答案] B
函数3个性质的应用要领
(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．
(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．
(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
[对点训练]
1．[角度1](2018·湖北荆州一模)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )
A．y＝ex B．y＝tanx
C．y＝x3－x D．y＝ln
[解析] 函数y＝ex不是奇函数，不满足题意；函数y＝tanx是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数y＝x3－x是奇函数，当x∈时，y′＝3x2－1<0，为减函数，不满足题意；函数y＝ln是奇函数，在定义域(－2,2)内，函数t＝＝－1－为增函数，函数y＝lnt也为增函数，故函数y＝ln在定义域内为增函数，满足题意，故选D．
[答案] D
2．[角度2]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，
得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
[解析] ∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，
∴f(0)＝0，
f(－x)＝－f(x)，①
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(－x)＝f(2＋x)，②
由①②得f(2＋x)＝－f(x)，③
用2＋x代替x得f(4＋x)＝－f(2＋x)．④
由③④得f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的最小正周期为4.
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝0＋2＋0＝2.故选C．
[答案] C
2．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
[解析] ∵f(x)＝－x4＋x2＋2，∴f′(x)＝－4x3＋2x，令f′(x)>0，解得x<－或0
[答案] D
3．(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
4．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
[解析] 当x>时，f(x)＋f＝2x＋2x－>2x>>1；
当0
[答案]
5．(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f[f(15)]的值为________．
[解析] ∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，
∴f(15)＝f(－1)＝，f＝cos＝，
∴f[f(15)]＝f＝.
[答案]
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2．此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．
热点课题4 动点变化中函数图象辨析
[感悟体验]
1．(2018·长沙模拟)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )
[解析] 由题意知，f(x)＝|cosx|·sinx，当x∈时，f(x)＝cosx·sinx＝sin2x；当x∈时，f(x)＝－cosx·sinx＝－sin2x，故选B．
[答案] B
2．(2018·南昌二模)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF上的动点(不与E，F重合)，FM＝x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V(x)，则函数V(x)的大致图象是( )
[解析] 当x∈时，V(x)增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x∈时，V(x)增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C．
[答案] C
专题跟踪训练(十)
一、选择题
1．(2018·河南濮阳检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为( )
A． B．
C．(－1,0)∪ D．(－∞，－1)∪
[解析] 要使函数有意义，需满足解得x<且x≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪.
[答案] D
2．(2018·山东潍坊质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝|log3x| B．y＝x3
C．y＝e|x| D．y＝cos|x|
[解析] A中函数是非奇非偶函数，B中函数是奇函数，D中函数在(0,1)上单调递减，均不符合要求，只有C正确．
[答案] C
3．(2018·湖北襄阳三模)已知函数f(x)＝则f(2)＝( )
A． B．－
C．－3 D．3
[解析] 由题意，知f(2)＝f(1)＋1＝f(0)＋2＝cos0＋2＝3，故选D．
[答案] D
4．(2018·太原阶段测评)函数y＝x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是( )
[解析] 因为y＝x＋1的图象过点(0,2)，且在R上单调递减，所以该函数关于直线y＝x对称的图象恒过点(2,0)，且在定义域内单调递减，故选A．
[答案] A
5．(2018·石家庄高三检测)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象的对称轴方程是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
[解析] ∵f(2x＋1)是偶函数，∴f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，故选A．
[答案] A
6．(2018·山东济宁二模)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln，b＝(lnπ)2，c＝ln，则( )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
[解析] 由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又
∵|a|＝lnπ>1，b＝(lnπ)2>|a|,0
[答案] C
7．(2018·山西四校二次联考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 当a＝0时，f(x)＝|x|在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，由f(x)＝|(ax－1)x|＝0得x＝0或x＝<0，结合图象知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以充分性成立，反之必要性也成立．综上所述，“a≤0”是“f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件，故选C．
[答案] C
8．(2018·安徽淮北一模)函数f(x)＝＋ln|x|的图象大致为( )
[解析] 当x<0时，函数f(x)＝＋ln(－x)，易知函数f(x)＝＋ln(－x)在(－∞，0)上递减，排除C，D；当x>0时，函数f(x)＝＋lnx，f(2)＝＋ln2≠2，故排除A，选B．
[答案] B
9．(2018·山东济宁一模)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.则f(2017)＋f(2018)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
[解析] ∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，由f(x)的图象关于x＝1对称，得f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)的周期T＝4.∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.∴f(2017)＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(0)＝2－1＋1－1＝1.故选D．
[答案] D
10．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )
[解析]
如图，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α.
在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos＝＝1－t，
∴y＝cosx＝2cos2－1＝2(1－t)2－1.又0≤t≤1，故选B．
[答案] B
11．(2018·安徽池州模拟)已知函数的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数；
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a
∵f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝f(x)，
即函数f(x)是周期为8的周期函数．
∴b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(2017)＝f(1)＝f(7)．
∵对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1
12．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
[解析] 因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以i＝0，i＝2×＝m，所以(xi＋yi)＝m.
[答案] B
二、填空题
13．(2018·石家庄质检)函数的定义域为________．
[解析] 由题意得解得
14．(2018·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝________.
[解析] 解法一：函数的定义域为{x|x≠0}，f(x)＝＝x＋＋a＋2.
因函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即－x－＋a＋2＝－＝－x－－(a＋2)，
则a＋2＝－(a＋2)，即a＋2＝0，则a＝－2.
解法二：由题意知f(1)＝－f(－1)，即3(a＋1)＝a－1，得a＝－2，
将a＝－2代入f(x)的解析式，得f(x)＝，经检验，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都满足f(－x)＝－f(x)，故a＝－2.
[答案] －2
15．(2018·河北石家庄一模)已知奇函数f(x)在x>0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为________．
[解析] ∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，则－1
[答案] (0,1)∪(2，＋∞)
16．(2018·河南许昌二模)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于________．
[解析] f(x)＝＝2＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)，
∴g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0.
∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，
m＝f(x)min＝2＋g(x)min，
∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
[答案] 4
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