2019届二轮复习常考题型答题技巧几何概型学案（全国通用）

2019届二轮复习  常考题型答题技巧   几何概型 学案 （全国通用）

【知识梳理】

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2．几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．

(2)每个基本事件出现的可能性相等．

3．几何概型概率公式

在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：

P(A)＝.

【常考题型】

题型一、与长度有关的几何概型

【例1】　(1)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为        ．

[解析]　∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝.学  ]

[答案]　

(2)某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率．

[解]　设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．

记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．

∴P(A)＝＝＝，

即该乘客等车时间超过10 min的概率是.

【类题通法】

1．几何概型概率问题的一般步骤

(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；

(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；

(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；

(4)利用概率公式计算．

2．与长度有关的几何概型问题的计算公式 学   ]

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：

P(A)＝.

【对点训练】

一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

(1)红灯亮；

(2)黄灯亮；

(3)不是红灯亮．

解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．

(1)P＝＝＝.

(2)P＝＝＝.

(3)P＝＝＝＝，

或P＝1－P(红灯亮)＝1－＝.

题型二、与面积有关的几何概型

【例2】　(1)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为(　　)

(2)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　　　 　B．1－

C.   D．1－

[解析]　(1)根据几何概型的面积比，A中中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为＝，D游戏盘的中奖概率为＝，故A游戏盘的中奖概率最大．

学    ]

(2)长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝，取到的点到O的距离大于1的概率为1－.

[答案]　(1)A　(2)B

【类题通法】

1．与面积有关的几何概型的概率公式

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：

P(A)＝.

2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点

(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；

(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；

(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．

【对点训练】

在平面直角坐标系xOy中，设M是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M中随机投一点，则所投的点落入E中的概率是        ．

解析：如图，区域M表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝＝.

答案：

题型三、与角度有关的几何概型

【例3】　在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．

[解]　如图，在AB上取AC′＝AC，连接CC′，则∠ACC′＝＝67.5°.

设A＝，则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，

∴P(A)＝＝.

【类题通法】

与角度有关的几何概型概率的求法

(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为

P(A)＝. 学    ]

(2)解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的． 学    ]

【对点训练】

如图，在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内的概率是(　　)

A.    B.

C.   D.

解析：选A　如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT内的概率P＝＝，故选A.

题型四、与体积有关的几何概型

【例4】　(1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为(　　)

A.    B.

C.   D.

[解析]　由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R＝.球的体积V2＝πR3＝π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P＝＝＝.

[答案]　D

(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是        ．

[解析]　设正方体的棱长为2.正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球O的半径是其棱长的一半，其体积为V1＝π×13＝.则点M在球O内的概率是＝.

[答案]　

【类题通法】

与体积有关的几何概型概率的求法

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为

P(A)＝.

【对点训练】

有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率．

解：圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．

以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝××13＝，则构成事件A“P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－＝，由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.

【练习反馈】

1．下列概率模型中，几何概型的个数为(　　)

①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；

②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；

③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；

④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．

A．1　　　　　　　　　 　B．2

C．3   D．4

解析：选B　①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；

④是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性．

2．如图所示，在一个边长为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　S矩形＝ab，S梯形＝(a＋a)b＝ab.

故所投的点在梯形内部的概率为P＝＝＝.

3．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为       

解析：由于方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根，∴Δ≥0，即1－4n≥0，∴n≤，

又n∈(0,1)，∴有实根的概率为P＝＝.

答案：

4．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为        ．

解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，

则P(A)＝＝0.005.

答案：0.005

5．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率．

解：设正三角形ABC的边长为4，其面积为4.分别以A，B，C为圆心，1为半径在△ABC中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为4－3×××12＝4－，故所求概率P＝＝1－.