2019届二轮复习不等式与合情推理学案（全国通用）

第3练　不等式与合情推理

年份
卷别
考查内容及考题位置
命题分析
2018
卷Ⅰ
利用线性规划求线性目标函数的最值·T13
1.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．
2．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上.
卷Ⅱ
利用线性规划求线性目标函数的最值·T14
卷Ⅲ
不等式的性质及对数的运算·T12
2017
卷Ⅰ
利用线性规划求线性目标函数的最值·T14
卷Ⅱ
利用线性规划求线性目标函数的最值·T5
合情推理·T7
卷Ⅲ
利用线性规划求线性目标函数的最值·T13
分段函数与不等式的解法·T15
2016
卷Ⅰ
线性规划的实际应用·T16
卷Ⅱ
合情推理·T15
卷Ⅲ
利用线性规划求线性目标函数的最值·T13



不等式的性质及解法
一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
简单分式不等式的解法
(1)>0(0(0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．
[考法全练]
1．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2　　　　　　　 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
解析：选D.因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log22(3a＋4b)＝log2，所以log2(3a＋4b)＝log2，所以log2(3a＋4b)＝2log2，所以log2(3a＋4b)＝log2ab，所以3a＋4b＝ab，即＋＝1，故a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋4.故选D.
2．已知向量a＝(x－1，3)，b＝(1，y)，其中x，y都为正实数．若a⊥b，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C.因为a⊥b，所以a·b＝x－1＋3y＝0，即x＋3y＝1.又x，y为正实数，所以＋＝(x＋3y)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C.
3．(2018·合肥调研)已知a＞b＞0，则a＋＋的最小值为(　　)
A. B．4
C．2 D．3
解析：选D.因为a＞b＞0，所以a＋＋＝≥＋＝2＋＝3，当且仅当a＝，b＝时等号成立．
4．(2018·高考天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
解析：由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立．
答案：
5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：由题意知一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30.
答案：30

线性规划问题
常见的3种目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
[考法全练]
1．(2018·南昌调研)设变量x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最大值为(　　)
A．－2　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝x，平移该直线，当直线经过C(1，0)时，在y轴上的截距最小，z最大，此时z＝3×1－0＝3，故选C.
2．(2018·南昌模拟)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC(含边界)，由得点A(2，1)，由得点C(1，2)，又直线OA的斜率为kOA＝，直线OC的斜率为kOC＝2，而直线y＝kx表示过原点O的直线，因此根据题意可得kOA≤k≤kOC，即≤k≤2，故选C.

3．(2018·广州模拟)若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1的几何意义是平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－，故选D.
4．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知实数x，y满足若目标函数z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|－1≤a≤1} B．{a|a≤－1}
C．{a|a≤－1或a≥1} D．{a|a≥1}
解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，所以目标函数z＝ax＋y的图象经过点A(3，9)时，z取得最大值，经过点B(3，－3)时，z取得最小值，由图象得，－1≤－a≤1，所以－1≤a≤1，故选A.

5．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为(　　)
A．1 800元 B．2 100元
C．2 400元 D．2 700元
解析：选C.设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元．根据题意，有z＝300x＋400y.作出所表示的可行域，为图中阴影部分中的整点，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0，6)时，z有最大值，zmax＝400×6＝2 400，故选C.


合情推理
破解归纳推理题的思维3步骤
(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)．
(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．
(3)检验，得结论：对所得的一般性命题(猜想)进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．
破解类比推理题的3个关键
(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征．
(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想．
(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．
[考法全练]
1．(2018·南昌模拟)已知13＋23＝，13＋23＋33＝，13＋23＋33＋43＝，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝(　　)
A．8　　　　　　　　　　 B．9
C．10 D．11
解析：选C.13＋23＝＝，
13＋23＋33＝＝，
13＋23＋33＋43＝＝，
…
由此归纳可得13＋23＋33＋43＋…＋n3＝，
因为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，所以＝3 025，所以n2(n＋1)2＝(2×55)2，所以n＝10，故选C.
2．平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.设空间中三棱锥O­ABC的三条两两垂直的侧棱OA，OB，OC的长分别为a，b，c，不妨设三个侧面的面积分别为S△OAB＝ab＝S1，S△OAC＝ac＝S2，S△OBC＝bc＝S3，则ab＝2S1，ac＝2S2，bc＝2S3.
过O作OD⊥BC于D，连接AD，由OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，得OA⊥平面OBC，所以OA⊥BC，又OA∩OD＝O，所以BC⊥平面AOD，
又BC⊂平面OBC，
所以平面OBC⊥平面AOD，
所以点O在平面ABC内的射影O′在线段AD上，连接OO′.
在直角三角形OBC中，OD＝.
因为AO⊥OD，所以在直角三角形OAD中，
OO′＝＝
＝＝
＝＝，故选C.
3．(2018·长春质量检测)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”则张老师的生日是________．
解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．
答案：8月4日

一、选择题
1．设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值与最大值的和为(　　)
A．7　　　　　　　　　　　　 B．8
C．13 D．14

解析：选D.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移直线2x＋y＝0，当直线经过点A(1，2)时，z＝2x＋y取得最小值4，当经过点B(3，4)时，z＝2x＋y取得最大值10，故z的最小值与最大值的和为4＋10＝14.故选D.
2．(2018·长春质量检测(一))已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)
A．8 B．9
C．12 D．16
解析：选B.由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.
3．(一题多解)(2018·福州模拟)设函数f(x)＝则满足不等式f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(，＋∞)
解析：选C.法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由f(x2－2)＞f(x)得，或解得x＞2或x＜－，所以x的取值范围是(－∞，－)∪(2，＋∞)，故选C.
法二：取x＝2，则f(22－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1.1，则f((－1.1)2－2)＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不满足题意，排除A，故选C.
4．(一题多解)若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
解析：选B.法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，
当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，
当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；
当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.
综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)，故选B.
5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是(　　)
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
解析：选C.由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.
6．若max{s1，s2，…，sn}表示实数s1，s2，…，sn中的最大者．设A＝(a1，a2，a3)，B＝，记A⊗B＝max{a1b1，a2b2，a3b3}．设A＝(x－1，x＋1，1)，B＝，若A⊗B＝x－1，则x的取值范围为(　　)
A．[1－，1] B．[1，1＋]
C．[1－，1] D．[1，1＋]
解析：选B.由A＝(x－1，x＋1，1)，B＝，得A⊗B＝max{x－1，(x＋1)(x－2)，|x－1|}＝x－1，则化简，得由①，得1－≤x≤1＋.由②，得x≥1.所以不等式组的解集为1≤x≤1＋，则x的取值范围为[1，1＋]．故选B.
7．(2018·长沙模拟)某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B“感觉”到学生A的运动是(　　)
A．逆时针方向匀速前跑
B．顺时针方向匀速前跑
C．顺时针方向匀速后退
D．静止不动
解析：选C.令操场的周长为C，则学生B每隔50秒看一次，学生A都距上一次学生B观察的位置(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的，故选C.
8．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最小值为2，则＋的最小值为　(　　)
A．2＋ B．5＋2
C．8＋ D．2
解析：选A.作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分．因为a＞0，b＞0，所以－＜0.所以目标函数z＝ax＋by在点A(1，1)处取得最小值2，即2＝a×1＋b×1，所以a＋b＝2.所以＋＝×(a＋b)＝≥(4＋2)＝2＋.故选A.
9．(一题多解)(2018·合肥质量检测)设x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最大值为，则a的值为(　　)
A．－ B．0
C．1 D．－或1
解析：选C.法一：由z＝2x＋y存在最大值，可知a＞－1，显然a＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x＋y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x＋y－2＝0与ax－y－a＝0的交点时，z取得最大值，由得把代入2x＋y＝得a＝1，故选C.

法二：由z＝2x＋y存在最大值，可知a＞－1，显然a＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x＋y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x＋y－2＝0与ax－y－a＝0的交点时，z取得最大值，由得把代入ax－y－a＝0得a＝1，故选C.
10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为　(　　)

甲
乙
原料限额
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8
A.15万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解析：选D.设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，由得所以M(2，3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.

11．(2018·兰州模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种(如图所示)．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3 266用算筹表示就是，则8 771用算筹应表示为(　　)


解析：选C.由算筹的定义，得
8　　　 　　7　　　 　　7　　 　　　1
(千位)横式　(百位)纵式　(十位)横式　(个位)纵式，所以8 771用算筹应表示为，故选C.
12．(2018·太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则＝(　　)
A．3 B.
C．6 D．2
解析：选A.令 ＝x(x＞0)，两边平方，得3＋2＝x2，即3＋2x＝x2，解得x＝3，x＝－1(舍去)，故＝3，选A.
二、填空题
13．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝－≥－，则a2－a－1≤－，解得－≤a≤.
答案：
14．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，

由图可知当0≤－k